资源简介

第10节　对数函数
一、单选题
1.函数f(x)＝的定义域为(　　)
A.(－∞，2] B.(1，＋∞)
C.(1，2] D.[2，＋∞)
2.若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数且f(2)＝1，则f(x)＝(　　)
A.log2x B.
C.lox D.2x－2
3.已知a＝log43，b＝log53，c＝log45，则(　　)
A.bC.a4.函数y＝lo(|x|－1)的图象可以是(　　)
5.函数f(x)＝loga(3－ax)(a>0，且a≠1)在区间(1，2)上单调递减，则实数a的取值范围是(　　)
A.(1，＋∞) B.(0，1)
C. D.
6.当00，且a≠1)，则实数a的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
7.(2026·沧州模拟)已知a>0，且f(x)＝ln为奇函数，则(　　)
A.f>f>0 B.f>f>0
C.f>0>f D.f>0>f
二、多选题
8.(2026·合肥调研)若函数f(x)＝lg＋lg(2x2)，则(　　)
A.f(x)为减函数 B.f(x)＝1 x＝5
C.f(x)的值域为R D.f(x)<2 x<50
9.已知函数y＝logax与y＝logb(－x)的图象关于坐标原点对称，则函数y＝ax与y＝logbx的大致图象可能是(　　)
三、填空题
10.已知函数f(x)＝lg(x2－2x－8)的单调递增区间为(a，＋∞)，则a＝　　　　.
11.函数f(x)＝log2·log (2x)的最小值为　　　　.
12.已知函数f(x)＝|log2x|在上的值域为[0，5]，则m的取值范围是　　　　.
四、解答题
13.已知函数f(x)＝loga(x＋1)，g(x)＝loga(1－x)(其中a>0且a≠1).
(1)判断f(x)－g(x)的奇偶性，并说明理由;
(2)求使f(x)－g(x)>0成立的x的集合.
14.已知函数f(x)＝loga(ax－1)(a>0，且a≠1).
(1)当a＝时，求函数f(x)的定义域;
(2)当a＝2时，若不等式f(x)－log2(1＋2x)>m对任意实数x∈[1，3]恒成立，求实数m的取值范围.
第10节　对数函数
一、单选题
1.函数f(x)＝的定义域为(　　)
A.(－∞，2] B.(1，＋∞)
C.(1，2] D.[2，＋∞)
答案　C
解析　依题意lo(x－1)≥0，
∴02.若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数且f(2)＝1，则f(x)＝(　　)
A.log2x B.
C.lox D.2x－2
答案　A
解析　函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数是f(x)＝logax，
又f(2)＝loga2＝1，所以a＝2，
所以f(x)＝log2x.故选A.
3.已知a＝log43，b＝log53，c＝log45，则(　　)
A.bC.a答案　A
解析　a＝log43log44＝1，
＝log340，b>0，
所以b4.函数y＝lo(|x|－1)的图象可以是(　　)
答案　D
解析　令f(x)＝lo(|x|－1)，由|x|－1>0，得|x|>1，得x>1或x<－1，
所以f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，故可以排除AB选项，
令x＝4，得f(4)＝lo(|4|－1)＝lo3<0，故C错误，D正确.
5.函数f(x)＝loga(3－ax)(a>0，且a≠1)在区间(1，2)上单调递减，则实数a的取值范围是(　　)
A.(1，＋∞) B.(0，1)
C. D.
答案　D
解析　设u＝3－ax，因为a>0，且a≠1，
所以函数u＝3－ax为减函数，
所以函数y＝logau为增函数，所以a>1，
且对任意的x∈(1，2)，3－ax>0恒成立，
即a<恒成立，则a≤，
所以16.当00，且a≠1)，则实数a的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　由题意可得当0因为y＝上单调递增，
所以
即
所以≤a<1.
7.(2026·沧州模拟)已知a>0，且f(x)＝ln为奇函数，则(　　)
A.f>f>0 B.f>f>0
C.f>0>f D.f>0>f
答案　A
解析　因为f(x)的定义域为，f(x)为奇函数，所以a＝3，
则f(x)＝ln＝ln，
由于y＝1－3x为减函数且值恒为正数，
则为单调递增函数，
因此f(x)为增函数.
因为a＝3>0，所以0<2a<3a，
所以0<<，
故f>f>f(0)＝0.
二、多选题
8.(2026·合肥调研)若函数f(x)＝lg＋lg(2x2)，则(　　)
A.f(x)为减函数 B.f(x)＝1 x＝5
C.f(x)的值域为R D.f(x)<2 x<50
答案　BC
解析　因为f(x)＝lg＋lg(2x2)
＝lg＝lg(2x)＝lg 2＋lg x，x>0，
所以f(x)为增函数，f(x)的值域为R，故A错误，选项C正确;
f(x)＝1 lg(2x)＝1 2x＝10 x＝5，故B正确;
f(x)<2 lg(2x)<2 0<2x<100 09.已知函数y＝logax与y＝logb(－x)的图象关于坐标原点对称，则函数y＝ax与y＝logbx的大致图象可能是(　　)
答案　AC
解析　在函数y＝logax的图象上任取点(x，y)，
则点(－x，－y)在y＝logb(－x)的图象上，
即于是logbx＝－logax＝lox对任意x>0成立，则b＝，
当01，
则y＝logbx是(0，＋∞)上的增函数，
C符合，D不符合;
当a>1时，函数y＝ax是R上的增函数，
0则y＝logbx是(0，＋∞)上的减函数，A符合，B不符合.
三、填空题
10.已知函数f(x)＝lg(x2－2x－8)的单调递增区间为(a，＋∞)，则a＝　　　　.
答案　4
解析　由x2－2x－8>0，得x>4或x<－2，
所以f(x)的定义域为{x|x>4，或x<－2}.
又μ＝x2－2x－8在(4，＋∞)上单调递增，在(－∞，－2)上单调递减，
而y＝lg μ在定义域上单调递增，
所以f(x)＝lg(x2－2x－8)的单调递增区间为(4，＋∞)，故a＝4.
11.函数f(x)＝log2·log (2x)的最小值为　　　　.
答案　－
解析　依题意得f(x)＝log2x·(2＋2log2x)＝(log2x)2＋log2x＝≥－，
当log2x＝－，即x＝时等号成立，
所以函数f(x)的最小值为－.
12.已知函数f(x)＝|log2x|在上的值域为[0，5]，则m的取值范围是　　　　.
答案　[1，32]
解析　因为f(1)＝0，
f(32)＝f＝5，
作出函数f(x)的大致图象，如图所示，
而函数f(x)＝|log2x|在上的值域为[0，5]，
所以结合函数f(x) 的图象，可得m的取值范围是[1，32].
四、解答题
13.已知函数f(x)＝loga(x＋1)，g(x)＝loga(1－x)(其中a>0且a≠1).
(1)判断f(x)－g(x)的奇偶性，并说明理由;
(2)求使f(x)－g(x)>0成立的x的集合.
解　(1)依题意，h(x)＝f(x)－g(x)
＝loga(x＋1)－loga(1－x)，
由得－1即函数h(x)的定义域为{x|－1h(－x)＝loga(1－x)－loga(1＋x)＝－h(x)，则函数h(x)是奇函数，
所以函数f(x)－g(x)是奇函数.
(2)由f(x)－g(x)>0，
得loga(x＋1)>loga(1－x)，
当0当a>1时，解得0所以00成立的x的集合为{x|－1a>1时，使f(x)－g(x)>0成立的x的集合为{x|014.已知函数f(x)＝loga(ax－1)(a>0，且a≠1).
(1)当a＝时，求函数f(x)的定义域;
(2)当a＝2时，若不等式f(x)－log2(1＋2x)>m对任意实数x∈[1，3]恒成立，求实数m的取值范围.
解　(1)当a＝时，
此时f(x)＝lo，而不等式－1>0等价于2x<1，
得x<0，故函数f(x)的定义域为(－∞，0).
(2)当a＝2时，此时f(x)＝log2(2x－1)，
设g(x)＝f(x)－log2(1＋2x)＝log2，
不等式log2(2x－1)－log2(1＋2x)>m对任意x∈[1，3]成立.
所以m设t＝＝1－，x∈[1，3]，
故2x＋1∈[3，9]，t＝1－∈，
故g(x)min＝log2，
所以m故实数m的取值范围是(－∞，－log23).

展开更多......

收起↑