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第12节　函数与方程
一、单选题
1.(2025·衡阳调研)已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点为(　　)
A.，0 B.，(0，0)
C.0 D.(0，0)
2.用二分法求函数f(x)＝ex－x－2的一个正零点的近似值(精确度为0.1)时，依次计算得到如下数据:f(1)≈－0.28，f(1.5)≈0.98，f(1.25)≈0.24，f(1.125)≈－0.04，关于下一步的说法正确的是(　　)
A.已经达到精确度的要求，可以取1.1作为近似值
B.已经达到精确度的要求，可以取1.125作为近似值
C.没有达到精确度的要求，应该接着计算f(1.187 5)
D.没有达到精确度的要求，应该接着计算f(1.062 5)
3.(2026·南昌调研)已知函数f(x)＝，那么在下列区间中含有函数f(x)零点的是(　　)
A. B.
C. D.(1，4)
4.函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0，1)内的零点个数是(　　)
A.0 B.1
C.2 D.3
5.已知函数f(x)＝3x－.若存在x0∈(－∞，－1)，使得f(x0)＝0，则实数a的取值范围是(　　)
A. B.
C.(－∞，0) D.
6.(2026·昆明诊断)已知函数f(x)＝g(x)＝f(x)－x－a.若g(x)有2个零点，则实数a的取值范围是(　　)
A.[－1，0) B.[0，＋∞)
C.[－1，＋∞) D.[1，＋∞)
7.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x－2)＝f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x，设函数g(x)＝f(x)－log7|x|，则函数g(x)的零点个数为(　　)
A.6 B.8
C.12 D.14
8.(2026·绍兴质检)设a，b，c分别为函数f(x)＝x－1，g(x)＝xln x－1，h(x)＝xex－1的零点，则a，b，c的大小关系为(　　)
A.a>b>c B.b>c>a
C.c>a>b D.b>a>c
二、多选题
9.(2025·徐州质检)已知函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，它的部分函数值如表所示，则(　　)
x 1 2 3 4 5 6
y 202.301 52.013 －10.581 3.273 －10.733 －156.314
A.f(x)在区间(2，3)上不一定单调
B.f(x)在区间(5，6)内可能存在零点
C.f(x)在区间(5，6)内一定不存在零点
D.f(x)至少有3个零点
10.下列说法正确的是(　　)
A.函数f(x)＝x2＋2x－8的零点是(－4，0)，(2，0)
B.方程ex＝3＋x在区间(－3，0)，(0，10)上有解
C.函数y＝3x，y＝log3x的图象关于y＝x对称
D.用二分法求方程3x＋3x－8＝0在(1，2)内的近似解的过程中得到f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则方程的解落在区间(1，1.25)上
11.已知函数y＝x＋10x的零点为x1，y＝x＋lg x的零点为x2，则(　　)
A.x1＋x2>0 B.x1x2<0
C.1＋lg x2＝0 D.4x1x2－2x1＋2x2<1
三、填空题
12.(2026·成都质检)已知定义域为R的偶函数f(x)的图象是连续不断的曲线，且f(x＋2)＋f(x)＝f(1)，f(x)在[0，2]上单调递增，则f(x)在区间[－100，100]上的零点个数为　　　　.
13.(2026·江西部分学校联考)已知函数f(x)＝若关于x的方程[f(x)]2＋(a＋1)f(x)＋a＝0恰有4个不同的实数根，则实数a的取值范围为　　　　.
14.(2026·合肥模拟)已知函数f(x)＝方程f(x)＝a有四个不同的实数根x1，x2，x3，x4，且满足x1第12节　函数与方程
一、单选题
1.(2025·衡阳调研)已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点为(　　)
A.，0 B.，(0，0)
C.0 D.(0，0)
答案　C
解析　f(x)＝
当x≤1时，令f(x)＝2x－1＝0，解得x＝0.
当x>1时，令f(x)＝1＋log2x＝0，
解得x＝(舍去)，
所以函数f(x)的零点为0.故选C.
2.用二分法求函数f(x)＝ex－x－2的一个正零点的近似值(精确度为0.1)时，依次计算得到如下数据:f(1)≈－0.28，f(1.5)≈0.98，f(1.25)≈0.24，f(1.125)≈－0.04，关于下一步的说法正确的是(　　)
A.已经达到精确度的要求，可以取1.1作为近似值
B.已经达到精确度的要求，可以取1.125作为近似值
C.没有达到精确度的要求，应该接着计算f(1.187 5)
D.没有达到精确度的要求，应该接着计算f(1.062 5)
答案　C
解析　由二分法的定义，可得正零点所在区间不断缩小，(1，1.5)→(1，1.25)→(1.125，1.25)，
因为|1.125－1.25|＝0.125>0.1，故没有达到精确度的要求，应该接着计算f＝f(1.187 5)的值.
3.(2026·南昌调研)已知函数f(x)＝，那么在下列区间中含有函数f(x)零点的是(　　)
A. B.
C. D.(1，4)
答案　B
解析　因为y＝，y＝－在(0，＋∞)上均单调递减，
则f(x)＝在(0，＋∞)上单调递减，
可得f(0)＝＝1－0＝1>0.
f>0，
f<0，
f(1)＝－1＝－<0，
f(4)＝<0，
可知f(x)在内有零点，在和(1，4)内均无零点.
4.函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0，1)内的零点个数是(　　)
A.0 B.1
C.2 D.3
答案　B
解析　法一　∵f(0)f(1)＝(－1)×1＝－1<0，且函数在定义域上单调递增且连续，
∴函数f(x)在区间(0，1)内有且只有1个零点.
法二　设y1＝2x，
y2＝2－x3，
在同一坐标系中画出两函数的图象如图所示，
在区间(0，1)内，两图象的交点个数即为f(x)的零点个数.
故函数f(x)在区间(0，1)内有且只有1个零点.
5.已知函数f(x)＝3x－.若存在x0∈(－∞，－1)，使得f(x0)＝0，则实数a的取值范围是(　　)
A. B.
C.(－∞，0) D.
答案　B
解析　由f(x)＝3x－＝0，
可得a＝3x－，
令g(x)＝3x－，x∈(－∞，－1)，
由于存在x0∈(－∞，－1)，使得f(x0)＝0，
则实数a的取值范围即为函数g(x)在(－∞，－1)上的值域.
由于函数y＝3x，y＝－在区间(－∞，－1)上均单调递增，
所以函数g(x)在(－∞，－1)上单调递增.
当x∈(－∞，－1)时，
g(x)＝3x－又g(x)＝3x－>0，
所以函数g(x)在(－∞，－1)上的值域为.
因此实数a的取值范围是.
6.(2026·昆明诊断)已知函数f(x)＝g(x)＝f(x)－x－a.若g(x)有2个零点，则实数a的取值范围是(　　)
A.[－1，0) B.[0，＋∞)
C.[－1，＋∞) D.[1，＋∞)
答案　D
解析　x>0时，f(x)＝－x在(0，＋∞)上单调递减，f(1)＝0.
令g(x)＝0可得f(x)＝x＋a，作出函数y＝f(x)与函数y＝x＋a的大致图象如图所示.
由图可知，当a≥1时，函数y＝f(x)与函数y＝x＋a的图象有2个交点，此时，函数y＝g(x)有2个零点.
因此，实数a的取值范围是[1，＋∞).
7.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x－2)＝f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x，设函数g(x)＝f(x)－log7|x|，则函数g(x)的零点个数为(　　)
A.6 B.8
C.12 D.14
答案　C
解析　依题意可知，函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x－2)＝f(x)，
所以f(x)＝f(－x)＝f(－x－2)＝f(x＋2)，
即函数f(x)是以2为周期的偶函数，
令g(x)＝f(x)－log7|x|＝0，
即f(x)＝log7|x|，
在同一平面直角坐标系中分别作出y＝f(x)和y＝log7|x|的图象，如图所示.
由图象可知，两函数图象共有12个交点，
即函数g(x)共有12个零点.
8.(2026·绍兴质检)设a，b，c分别为函数f(x)＝x－1，g(x)＝xln x－1，h(x)＝xex－1的零点，则a，b，c的大小关系为(　　)
A.a>b>c B.b>c>a
C.c>a>b D.b>a>c
答案　D
解析　因为x＝1时，x－1＝0，
又因为y＝x在[0，＋∞)上单调递增，所以a＝1;
若01，即b>1;
若x≥1，则xex>1，所以xex－1＝0时，0综上所述，0二、多选题
9.(2025·徐州质检)已知函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，它的部分函数值如表所示，则(　　)
x 1 2 3 4 5 6
y 202.301 52.013 －10.581 3.273 －10.733 －156.314
A.f(x)在区间(2，3)上不一定单调
B.f(x)在区间(5，6)内可能存在零点
C.f(x)在区间(5，6)内一定不存在零点
D.f(x)至少有3个零点
答案　ABD
解析　由题表可知f(2)>0，f(3)<0，
f(4)>0，f(5)<0，
所以f(2)f(3)<0，f(3)f(4)<0，
f(4)f(5)<0，
因为函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，所以函数f(x)在区间(2，3)，(3，4)，(4，5)均存在零点，即f(x)至少有3个零点，故D正确;
对于A，由于只知道f(2)，f(3)的函数值，
故无法判断f(x)在区间(2，3)上的单调性，故A正确;
对于B，C，虽然f(5)<0，f(6)<0，但是函数f(x)在(5，6)内的取值情况未知，
所以函数f(x)在(5，6)内可能存在零点，故B正确，C错误.故选ABD.
10.下列说法正确的是(　　)
A.函数f(x)＝x2＋2x－8的零点是(－4，0)，(2，0)
B.方程ex＝3＋x在区间(－3，0)，(0，10)上有解
C.函数y＝3x，y＝log3x的图象关于y＝x对称
D.用二分法求方程3x＋3x－8＝0在(1，2)内的近似解的过程中得到f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则方程的解落在区间(1，1.25)上
答案　BC
解析　对于A，令f(x)＝x2＋2x－8＝0，解得x1＝－4，x2＝2，即函数f(x)＝x2＋2x－8的零点是－4和2，故A错误;
对于B，令f(x)＝ex－x－3，则f(－3)＝e－3>0，f(0)＝－2<0，f(10)＝e10－13>210－13＝1 024－13＝1 011>0，
所以由函数零点存在定理可知f(x)＝ex－x－3在区间(－3，0)，(0，10)内有零点，即方程ex＝3＋x在区间(－3，0)，(0，10)内有解，故B正确;
对于C，函数y＝3x，y＝log3x互为反函数，所以函数y＝3x，y＝log3x的图象关于y＝x对称，故C正确;
对于D，用二分法求方程3x＋3x－8＝0在(1，2)内的近似解的过程中得到f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则方程的解落在区间(1.25，1.5)上，故D错误.
11.已知函数y＝x＋10x的零点为x1，y＝x＋lg x的零点为x2，则(　　)
A.x1＋x2>0 B.x1x2<0
C.1＋lg x2＝0 D.4x1x2－2x1＋2x2<1
答案　BCD
解析　分别作出函数y＝－x，y＝10x，y＝lg x的大致图象如图所示，不妨设点A的横坐标为x1，点B的横坐标为x2，
∵函数y＝10x与函数y＝lg x的图象关于直线y＝x对称，直线y＝－x关于直线y＝x对称，
∴点A，B关于直线y＝x对称，又点A，B在直线y＝－x上，
∴点A，B关于原点对称.
对于A，易知x1＋x2＝0，故A错误;
对于B，易知x1x2<0，故B正确;
对于C，∵1＝－x1，lg x2＝－x2，x1＋x2＝0，∴1＋lg x2＝0，故C正确;
对于D，由函数零点存在定理易知－∴<0，
即x1x2－x1＋x2－<0，
即4x1x2－2x1＋2x2<1，故D正确.
三、填空题
12.(2026·成都质检)已知定义域为R的偶函数f(x)的图象是连续不断的曲线，且f(x＋2)＋f(x)＝f(1)，f(x)在[0，2]上单调递增，则f(x)在区间[－100，100]上的零点个数为　　　　.
答案　100
解析　令x＝－1，得f(1)＋f(－1)＝f(1)，
即f(－1)＝0，
因为f(x)为偶函数，所以f(1)＝0，
则f(x＋2)＋f(x)＝f(1)＝0，
则f(x＋2)＝－f(x)，
所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，
所以f(x)是以4为周期的函数.
因为f(x)在[0，2]上单调递增，
则f(x)在[－2，0]上单调递减，
所以f(x)在一个周期内有两个零点，
且f(－100)＝f(100)≠0，
故f(x)在区间[－100，100]上的零点个数为50×2＝100.
13.(2026·江西部分学校联考)已知函数f(x)＝若关于x的方程[f(x)]2＋(a＋1)f(x)＋a＝0恰有4个不同的实数根，则实数a的取值范围为　　　　.
答案　(－∞，1)∪(1，3)∪{4}
解析　画出函数f(x)的图象，如图所示，
设f(x)＝t，则原方程可化为t2＋(a＋1)t＋a＝0，
解得t＝－1或t＝－a.
由图可知当t＝－1时，
f(x)＝－1有2个根.
因为原方程有4个不同的实数根，
则f(x)＝－a有2个根，
所以－a＝－4或－3<－a<－1或－a>－1，
解得a＝4或1则实数a的取值范围为(－∞，1)∪(1，3)∪{4}.
14.(2026·合肥模拟)已知函数f(x)＝方程f(x)＝a有四个不同的实数根x1，x2，x3，x4，且满足x1答案　
解析　作出函数图象，可得＝－2，－log2x3＝log2x4，
从而得x3x4＝1，且－log2x3∈(1，2]，
从而得∈(2，4]，
∴原式＝＋2，
∵∈(2，4]，∴∈(4，16]，
令t＝，则f(t)＝t＋，t∈(4，16]，
∵f(t)在(4，16]上单调递增，
∴f(t)∈，
∴最大值为.

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