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北京市第一零一中学2025~2026学年下学期八年级数学6月第二次学情自测试题
一、选择题
1.下列计算正确的是( )
A. B. C. D.
2.下面的多边形中，内角和等于外角和的是( )
A. B. C. D.
3.把抛物线向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到的抛物线的解析式为( )
A. B.
C. D.
4.若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为( )
A. B. C. D.
5.某厂家年月份销售的电车数量如图所示．若从月份到月份，该厂家电车销售的平均月增长率为，根据题意可得方程( )
A. B.
C. D.
6.函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )
A. B.
C. D.
7.如图是八年级一班甲、乙、丙、丁四名同学抛实心球次训练成绩单位：米的方差与平均数．若要从中选出一名成绩好且发挥稳定的同学参加年级体测项目友谊赛，最合适的是同学．
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
8.如图，菱形的对角线、相交于点，点为边上一动点不与点、重合，于点，于点若，，则的最小值为( )
A. B. C. D.
9.如图，直线与直线交于点，两条直线分别交轴于点，点，则的面积为( )
A. B. C. D.
10.如图，四边形是平行四边形，连接，动点从点出发沿折线匀速运动，回到点后停止．设点运动的路程为，线段的长为，图是与的函数关系的大致图象，下列结论中正确的是( )
A.
B.
C. 平行四边形的面积是
D. 函数图象与轴交点坐标为和
二、填空题
11.已知、是关于的一元二次方程的两个实数根，则的值为 ．
12.已知点，在直线上，且，则 填“”“”或“”
13.如图，函数和的图像相交于点，则不等式的解集为 ．
14.如图，在正方形的外侧，作等边三角形，若则 ．
15.如图，已知四边形是矩形，点的坐标为，点为边上一点，连接，现将沿折叠，点落在轴上的点处，直线交轴于点，则点的坐标为 ．
16.定义：如果一个点能与另外两个点构成等腰三角形，那么称这个点为另外两个点的等腰点．当这个点是等腰顶角的顶点时，这个点又称为强等腰点．
如图，在中，，是、两点的等腰点，也是强等腰点，是、两点的等腰点，是、两点的等腰点．
如图，方格纸中的每个小正方形的边长均为，、两点均在格点上，线段上的个格点中，是、两点的等腰点的有 个．
如图，在中，，，，是的中点，是射线上一个动点，点恰好成为、或、的强等腰点时，的长为 ．
三、解答题
17.按要求完成下列各题：
计算：；
解方程：．
18.如图，在中，，、分别是、的中点，延长至点，使得，连接，，，．
求证：四边形是平行四边形；
若，，求的长．
19.某班级计划组织爱心公益活动，为福利院捐献件手工作品，手工作品有甲乙两种，其中甲种作品不少于件，乙种作品不少于件；甲种作品每一件的成本与其数量之间满足函数关系为，乙种作品每件成本为元．如何分配两种作品的数量，使甲乙两种作品总成本为元？
20.在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点．
求这个一次函数的解析式；
设直线，轴及直线围成的区域为含边界，若直线与区域有交点，直接写出的取值范围．
21.已知关于的一元二次方程
求证：方程总有两个实数根；
若方程的两个根均为整数，求的值．
22.每年月日为国际圆周率日节，为感受数学文化魅力，激发学生数学探究兴趣，年我校于当日举办“玩转圆周率”主题知识问答活动．为了解活动成效，从七、八年级参与活动学生的问答成绩单位：分中，各随机抽取名学生的成绩进行统计整理，下面给出了部分信息：
七年级：，，，，，，，，，，，；
八年级：，，，，，，，，，，，．
抽取的七、八年级学生成绩单位：分不完整的统计表如下：
年级 平均数 众数 方差 最小值 四分位数 最大值
七年级
八年级
抽取的七、八年级学生成绩绘制成的不完整箱线图如下：

根据以上信息，回答下列问题：
统计表中，处应填 ，处应填 ；
请补全箱线图；
请你从两个不同的角度对两个年级的成绩进行评价．
23.快递站点使用甲、乙两台自动分拣机分拣包裹，统计开机后至小时不同工作时长 单位：小时对应的累计分拣总量 单位：万件，数据如下：
工作时长
甲分拣机
乙分拣机
观察甲分拣机的数据变化规律，直接写出 的值 ；
在平面直角坐标系中，大致画出，在 范围内的图象；
结合表格数据分析，两台机器累计分拣包裹总量相等时，对应的工作时长为 小时结果保留一位小数；
如果有万件的包裹需要分拣，在甲乙两台机器同时工作小时后乙分拣机出现了故障，甲分拣机还需要再单独工作 小时后才能完成剩下包裹的分拣工作．
24.在平面直角坐标系中，二次函数的对称轴为直线，且经过点．
当，时
直接写出这个二次函数的解析式为 ；
在平面直角坐标系中画出抛物线；
当时，直接写出的取值范围．
点，是抛物线上两点，当时，对于，总有，求的取值范围．
25.已知，如图，正方形中，点、分别在、的延长线上，且．
证明：．
在延长线上取点，使得，连接，点为中点，连接补全图形，用等式表示与的数量关系，并证明．
26.在平面直角坐标系中，记点关于轴的对称点为时与重合，若线段上存在两点，，满足，且，则称为线段的“衡角点”
已知点
在点，，中，线段的“衡角点”是 ；
若点是线段的“衡角点”，则的取值范围是 ；
已知点，点，点，，若线段上至少存在一个点是的“衡角点”，则的取值范围是 ．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
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6.【答案】
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9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】【小题】
【小题】
或

17.【答案】【小题】
解：，
，
，
，
；
【小题】
解：，
因式分解得：，
解得：．

18.【答案】【小题】
证明：分别是的中点，
是的中位线，
且，
又，
，
四边形是平行四边形．
【小题】
解：设与的交点为．
点是的中点，，
，
在中，，
是中点，
，
四边形是平行四边形，
，．
是的中位线，
，，
，
在中，，
．

19.【答案】解：设甲种作品数量为件，则乙种作品数量为件，
由题意得约束条件：
即．
总成本为元，列方程：
化简得，
解得不符合，舍去，，
此时，满足乙种作品不少于件的要求．
答：甲种作品件，乙种作品件时，总成本为元．

20.【答案】【小题】
解：一次函数由平移得到，故，
将代入得
，
解得，
一次函数解析式为．
【小题】
解：原题中区域由、轴及围成，
三边顶点分别为、、．
直线恒过定点，
当直线经过时：，得，
当直线经过时：，得，
当直线经过时：，得，
直线与区域有交点时，的取值范围为．

21.【答案】【小题】
证明：方程为一元二次方程，故即，
判别式，
方程总有两个实数根．
【小题】
解：由求根公式得
计算得，，
两根均为整数，为整数，
，
解得或．

22.【答案】【小题】

【小题】
如图所示：
【小题】
平均数角度：八年级平均成绩分，高于七年级的分，整体成绩更好；
稳定性角度：八年级成绩的方差更小，分数分布更集中，成绩更稳定；
高分段角度：七年级最高分为分，高于八年级的分，七年级高分段学生表现更突出．

23.【答案】【小题】
【小题】
解：如图，
【小题】
【小题】

24.【答案】【小题】
解：当，时，对称轴，
，
解得；
过点，
，
二次函数解析式为；
列表如下：
图象如图所示：
当时，当时取最小值，
时，
时，
故的取值范围为；
【小题】
解：二次函数开口向上，对称轴为，，点关于对称轴的对称点为．
要使时总有，
需在点及其对称点的外侧，
即，
解得，
结合，
的取值范围为．

25.【答案】【小题】
证明：正方形中，，，
，
，即，
在和中：
，
，
，
，
，即．
【小题】
证明：连接，延长使得，
连接，，交于点，
点为中点，
在和中：
，
，
，
由可知
，
在和中：
，
是等腰直角三角形，
，
是等腰直角三角形，

26.【答案】【小题】

或
【小题】

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