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第一章　集合与常用逻辑用语
1.1　集合的概念
第1课时　集合的含义
素养目标 思维导图
1.通过实例,了解集合的含义(数学抽象). 2.理解元素与集合的“属于”关系(数学抽象).
问题1.观察下列实例,回答问题:
①亚洲的所有国家;
②不等式组的整数解;
③方程(x-1)(x-2)=0的实数根.
上述实例中的研究对象各是什么 这些研究对象都是确定的吗
提示:它们的研究对象分别是国家、整数解、实数根.这些实例中的研究对象都是确定的.
问题2.结合教材,完成下面填空:
常用的数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 ___ ____或____ __ ___ __
N
N*
N+
Z
Q
R
【核心概念】
1.元素与集合
(1)元素:__________.
(2)集合:一些元素组成的______.
(3)特性:________、________、________.
(4)表示:用_____…表示元素,用_______…表示集合.
研究对象
总体
确定性
互异性
无序性
a,b,c
A,B,C
2.两个集合相等
构成两个集合的元素是______的.
3.元素与集合的关系
(1)属于:如果a是集合A中的元素,就说____________,记作______.
(2)不属于:如果a不是集合A中的元素,就说______________,记作_____.
一样
a属于集合A
a∈A
a不属于集合A
a A
探究点一　集合中元素的特性
【典例1】(多选题)下列各组对象能组成集合的是(　　)
A.中国古典文学四大名著 B.中国最美乡村
C.清华大学2025年入校的全体学生 D.的近似值的全体
【思维导引】判断一组对象能否组成集合的关键是看该组对象是否有明确的标准,即给定的对象是确定的.
【解析】选AC.B选项中“最美”的标准不明确,不符合确定性,不能组成集合,D选项中“的近似值”的标准不确定,不能构成集合.
【类题通法】判断一些对象能否构成集合的方法
(1)确定性:判断每个对象是否具有确定性是判断其能否构成集合的关键;
(2)标准:判断一个对象是不是确定的,关键就是要找到一个明确的衡量标准.
提醒:注意集合中元素的互异性、无序性.
【定向训练】
下列所给对象能构成集合的是(　　)
A.某校高一(5)班数学成绩非常突出的男生能组成一个集合
B.《数学必修第一册》教科书中所有的难题能组成一个集合
C.性格开朗的女生可以组成一个集合
D.圆心为定点,半径为1的圆内的点能组成一个集合
【解析】选D.对于A.某校高一(5)班数学成绩非常突出的男生不确定,无法确定集合的元素,不能构成集合;
对于B.《数学必修第一册》教科书中所有的难题不确定,无法确定集合的元素,不能构成集合;对于C.性格开朗的女生不确定,无法确定集合的元素,不能构成集合;
对于D.圆心为定点,半径为1的圆内的点,元素确定,能构成集合.
探究点二　元素与集合的关系
【典例2】(2025·大理高一检测)给出下列关系:
①∈R;②2∈Z;③|-3| N*;④|-|∈Q,其中正确的个数为(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】选B.对于①,为实数,而R表示实数集,所以∈R,所以①正确;
对于②,2为整数,而Z表示整数集,所以2∈Z,所以②正确;
对于③,|-3|=3为正整数,而N*表示正整数集,所以|-3|∈N*,所以③错误;
对于④,因为|-|=为无理数,Q表示有理数集,所以|-| Q,所以④错误.
【类题通法】判断元素与集合关系的两个步骤
(1)看集合:确定集合中元素的特征及范围.
(2)定元素:判断给定元素是否具有已知集合中元素的特征及是否在限定的范围内.
【定向训练】
集合A中的元素x满足∈N,x∈N,则集合A中的元素为　　　　　.
【解析】因为∈N,所以3-x=1或2或3或6,即x=2或1或0或-3.又x∈N,故x=0或1或2.即集合A中的元素为0,1,2.
答案:0,1,2
【题后反思】确定元素与集合的关系,关键是从元素的互异性、确定性、无序性三个特征着手,一个元素与集合的关系只有属于和不属于两种关系.
探究点三　集合相等
【典例3】(一题多问)
根据下列集合P与Q中元素情况回答问题.
问题1:P是由元素1,,π构成的集合,Q是由元素π,1,构成的集合,P与Q是否表示同一个集合
问题2:P是由π构成的集合,Q是由3.141 59构成的集合,P与Q是否表示同一个集合
问题3:P是由2,3构成的集合,Q是由有序数对(2,3)构成的集合,P与Q是否表示同一个集合
问题4:P是满足不等式-1≤x≤1的自然数构成的集合,Q是方程x2=1的解集,P与Q是否表示同一个集合.
【问题解读】问题1:从元素个数及构成观察;
问题2:看元素是否相同;
问题3:看元素的含义;
问题4:看元素的个数.
【解析】对于问题1,集合P,Q中的元素完全相同,所以P与Q表示同一个集合,对于问题2,3,4,集合P,Q中的元素不相同,所以P与Q不能表示同一个集合.
【典例4】(多选题)集合A={2,-1},B={m2-m,-1},且集合A与集合B相等,则实数m的值可以为 (　　)
A.2 B.-1 C.-2 D.4
【解析】选AB.因为集合A与集合B相等,
所以m2-m=2,
所以m=2或-1.
【类题通法】由集合相等求参数
(1)紧扣集合相等的概念:从集合相等的概念入手,寻找元素之间的关系.
(2)注意讨论:若集合中的未知元素不止一个,需进行分类讨论.
(3)明确元素特征:注意利用集合中元素的互异性对得到的结果进行取舍.
√
√
【定向训练】
由三个元素2,a,b组成的集合与由三个元素2a,2,b2组成的集合相等,求a,b的值.
【解析】根据集合相等的定义,有或解得或或
再根据集合中元素的互异性,得或
课堂练习
1.若以集合A的四个元素a,b,c,d为边长构成一个四边形,则这个四边形可能是 (　　)
A.梯形 B.平行四边形 C.菱形 D.矩形
【解析】选A.由于a,b,c,d四个元素互不相同,故它们组成的四边形的四条边都不相等,符合四条边都不相等的只有可能是梯形.
√
2.(多选题)下列说法正确的是 (　　)
A.N*中最小的数是1
B.若-a N*,则a∈N*
C.若a∈N*,b∈N*,则a+b的最小值是2
D.x2+4=4x的实数解组成的集合中含有2个元素
【解析】选AC.N*是正整数集,最小的正整数是1,故A正确;当a=0时,-a N*,且a N*,故B错误;若a∈N*,则a的最小值是1,又b∈N*,b的最小值也是1,当a和b都取最小值时,a+b取最小值2,故C正确;由集合元素的互异性知D是错误的.
√
√
3.已知3属于由元素1,a,a-2构成的集合,则实数a的值为 (　　)
A.3 B.5 C.3或 5 D.无解
【解析】选B.3属于由元素1,a,a-2构成的集合,
当a=3时,a-2=1,不满足集合元素的互异性,舍去.当a-2=3时,a=5,集合为{1,5,3}满足题意.所以实数a的值为5.
√
4.已知集合A是不等式2x-1>3的解集,则 (　　)
A.2∈A B.∈A C.3∈A D.-1∈A
【解析】选C.由2x-1>3得x>2,所以3∈A.
5.方程x2-2x-3=0的解集与集合A相等,若A中元素是a,b,则a+b=　　　　　.
【解析】由题意可知,a,b是方程x2-2x-3=0的两个根,所以a+b=2.
答案:2
√

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