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第2课时　集合的表示
素养目标 思维导图
针对具体问题,能够在自然语言和图形语言的基础上,用符号语言刻画集合(直观想象).
课前自主学习
问题1.观察下面的两个集合.
①中国的五岳组成的集合;
②小于10的正偶数所构成的集合.
(1)上述两个集合中的元素能一一列举出来吗 若能,请列举出来.
提示:能.①中元素为泰山、华山、衡山、恒山、嵩山;
②中的元素为2,4,6,8.
(2)除了用自然语言描述这两个集合,还可以用其他方法表示上述两个集合吗
提示:①可表示为{泰山,华山,衡山,恒山,嵩山};
②小于10的正偶数所构成的集合可表示为A={2,4,6,8}.
问题2.(1)不等式x-2<3,x∈N的解集能用列举法表示吗
提示:能,表示为{0,1,2,3,4}.
(2)不等式x-2<3的解集能用列举法表示吗 为什么
提示:不能,由x-2<3,得x<5,因为比5小的数有无数个,不能将它们一一列举出来,故不能用列举法表示.
问题3.不等式x-2<3的解集中所含元素的共同特征是什么 如何用集合来表示不等式x-2<3的解
提示:元素的共同特征是x∈R且x<5.用集合可表示为{x∈R|x<5}.
【核心概念】
1.列举法
把集合的所有元素__________出来,并用花括号“{　}”括起来表示集合的方法.
2.描述法
设A是一个集合,把集合A中所有______________P(x)的元素x所组成的集合表示
为{x∈A|P(x)},这种表示集合的方法称为描述法.
3.集合的分类
有限集:含有有限个元素的集合;
无限集:含有无限个元素的集合.
一一列举
具有共同特征
课堂合作探究
探究点一　用列举法表示集合
【典例1】用列举法表示下列集合:
(1)方程(x-1)2(x-2)=0的解组成的集合;
(2)“Welcome”中的所有字母构成的集合;
(3)函数y=2x-1的图象与坐标轴交点组成的集合.
【思维导引】本题主要考查了集合的表示法.(1)(3)可直接求出相应的元素,然后利用列举法表示;(2)先确定元素,再用列举法表示出相应的集合.
【解析】(1)方程(x-1)2(x-2)=0的解为1或2,因此可以用列举法表示为{1,2}.
(2)由于“Welcome”中包含的字母有W,e,l,c,o,m共6个元素,因此可以用列举法表示为{W,e,l,c,o,m}.
(3)函数y=2x-1的图象与x轴的交点为(,0],与y轴的交点为(0,-1),因此可以用列举法表示为{(0,-1),(,0]}.
【类题通法】如何用列举法书写集合
(1)明确元素:先应明确集合中的元素是什么.注意点集{(x,y)},而非数集{x,y}.
(2)注意格式:集合的所有元素用“{　}”括起来,元素间用分隔号“,”.
【定向训练】
用列举法表示下列集合:
(1)中国古典长篇小说四大名著构成的集合;
(2)不大于10的非负偶数组成的集合;
(3)一次函数y=x-2与y=-x的图象的交点组成的集合.
【解析】(1)中国古典长篇小说四大名著构成的集合是{《三国演义》,《西游记》,《水浒传》,《红楼梦》}.
(2)因为不大于10是指小于或等于10,非负是大于或等于0的意思,所以不大于10的非负偶数组成的集合是{0,2,4,6,8,10}.
(3)解方程组得即交点是(1,-1),故两函数图象的交点组成的集合是{(1,-1)}.
探究点二　用描述法表示集合
【典例2】(2025·威海高一检测)给出下列说法:
①在直角坐标平面内,第一、三象限内的点组成的集合为{(x,y)|xy>0};
②所有奇数组成的集合为{x|x=2n+1};
③集合{(x,y)|y=1-x}与{x|y=1-x}是同一集合.
其中正确的有(　　)
A.1个 B.2个 C.3个 D.0个
【解析】选A.第一象限内的点的坐标x>0,y>0,即xy>0,第三象限内的点的坐标x<0,y<0,即xy>0,故①正确;
所有奇数组成的集合为{x|x=2n+1,n∈Z},故②错误;
集合{(x,y)|y=1-x}是点集,集合{x|y=1-x}表示数集,不是同一集合,故③错误.
【类题通法】用描述法表示集合的注意点
(1)代表元素:写清楚该集合代表元素的符号.
(2)格式:所有描述的内容都要写在花括号内.
(3)确定性:不能出现未被说明的字母.
(4)特殊情况:在通常情况下,集合中竖线左侧元素的所属范围为实数集时可以省略不写.
【定向训练】
用描述法表示下列集合:
(1)所有被3整除的整数组成的集合;
(2)不等式2x-3>5的解集;
(3)方程x2+x+1=0的所有实数解组成的集合;
(4)函数y=-x2+3x-6图象上所有点组成的集合.
【解析】(1)所有被3整除的整数组成的集合,用描述法可表示为{x|x=3k,k∈Z}.
(2)不等式2x-3>5的解集,用描述法可表示为.
(3)方程x2+x+1=0的所有实数解组成的集合,
用描述法可表示为{x|x2+x+1=0,x∈R}.
(4)函数y=-x2+3x-6图象上所有点组成的集合,用描述法可表示为{(x,y)|y=-x2+3x-6}.
探究点三　集合表示法的综合应用
【典例3】(一题多问)
已知集合A={x|ax2-2x+1=0},解决下列问题:
(1)若集合A中恰有一个元素,试用列举法表示实数a构成的集合;
(2)若集合A中恰有两个元素,试用描述法表示实数a构成的集合;
(3)若集合A与集合P=相等,试求a的值;
(4)若集合A与集合P=相等,试求a的值.
【问题解读】(1)(2)注意讨论二次项系数是否为0,利用判别式,(3)(4)利用集合相等确定集合A中元素.
【解析】(1)当a=0时,方程可化为-2x+1=0,解得x=,满足题意;
当a≠0时,若方程ax2-2x+1=0只有一个根,则Δ=(-2)2-4a=4-4a=0,解得a=1,所以若集合A中恰有一个元素,则实数a构成的集合是{0,1}.
(2)因为集合A中恰有两个元素,故方程ax2-2x+1=0有两个根,所以a≠0且Δ=(-2)2-4a=4-4a>0解得a<1,所以实数a构成的集合是{a|a<1且a≠0}.
(3)集合P=={1},因为集合A与集合P=相等,所以1∈A,故1是方程ax2-2x+1=0的根,得a=1,验证当a=1时,方程为x2-2x+1=0,此时只有一个根1,故a=1时,集合A与集合P={x|x-1=0,x∈R}相等.
(4)因为集合A与集合P=相等,所以方程ax2-2x+1=0恰有两个根2-,2+,所以(2-)(2+)=,得a=.
【题后反思】最高次项的系数含有字母时,应先讨论系数是否为零,以确定方程是几次,从而用不同的方法解决问题.
【类题通法】解决描述法表示集合的关键
明确代表元素:若已知集合是用描述法给出的,读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键.
【定向训练】
用列举法表示集合M={m|∈Z,m∈Z}=　　　　　　　　　　.
【解析】因为∈Z,m∈Z,
所以m+1=-15,-5,-3,-1,1,3,5,15,
所以m=-16,-6,-4,-2,0,2,4,14.
答案:{-16,-6,-4,-2,0,2,4,14}
课堂练习
1.(多选题)已知集合A={x|-1A.-1∈A B.∈A C.0∈A D.1∈A
【解析】选CD.可知0∈A,1∈A.
2.方程组的解集是(　　)
A.(-5,4) B.(5,-4) C.{(-5,4)} D.{(5,-4)}
【解析】选D.解方程组得
故解集为{(5,-4)}.
√
√
√
3.集合{x∈N+|x<5}的另一种表示法是 (　　)
A.{0,1,2,3,4} B.{1,2,3,4} C.{0,1,2,3,4,5} D.{1,2,3,4,5}
【解析】选B.因为x∈N+且x<5,
所以x=1,2,3,4.
4.集合{2,4,6,8,10}可用描述法表示为　　　　.
【解析】2,4,6,8,10均为偶数,故该集合可用描述法表示为{x|x=2n,n∈N+,且n≤5}.
答案:{x|x=2n,n∈N+,且n≤5}
5.已知0∈,求a的值.
【解析】由已知条件得:若a=0,则集合为{0,-1,-1},不满足集合元素的互异性,所以a≠0;若a-1=0,a=1,则集合为{1,0,0},显然a≠1;
若a2-1=0则a=±1,由上面知a=1不符合条件,a=-1时,集合为{-1,-2,0},所以a=-1.
√
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