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绝密★考试结束前
高一数学试题
考生须知：
1．本卷共 4 页满分 150 分，考试时间 120 分钟。
2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。
3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效。
4．考试结束后，只需上交答题纸。
选择题部分
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1 2．已知集合 A 1,1,2,3 ， B x | x 5 ，则 A B （ ）
A． 1 B． 1,3 C． 1,1,2 D． 1,1,2,3
2．已知 , R ，则“ ”是“ sin sin ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．若关于 x的不等式 (m2 4)x2 (m 2)x 1 0的解集为R ，则实数m的取值范围为（ ）
6 6 6 2, , 6A． B． 2, C． , 2 D． , 2

5 5 5 5
4．如图， A B C 是利用斜二测画法画出的 ABC的直观图，其中
A B B C 1，A B // x 轴且 A B B C ，则 ABC的面积是（ ）
A． 2 2 B． 4
C． 2 D．8
5．若正实数 a,b满足 2a 8b 2b a，则下列不等关系一定成立的是（ ）
A． a 3b B． a 3b C． a b3 D． a b3

6. 如图，在四边形 ABCD中，E, F分别为 AD, BC的中点，已知 AB 2, CD 3，则
EF AB CD （ ）
5 5
A． B．
2 2
19 19
C． D．
2 2
7．衢州天王塔始建于南朝梁天监年间，于 1952年拆除后在 2015年重建．某同学为了估算
高一数学学科 试题 第 1页（共 4页）
天王塔的高度，设计了如图所示的测量方案：用无人机沿水平方向由远及近航拍天王塔 AB
（无人机行进路线和塔身在同一铅垂平面内），若在C处测得塔尖 A的俯角为15 ，在 D处
测得塔底 B的俯角为 75 ，同时测得塔尖 A的俯角为 30 ，且CD 16.5m，则由此算得衢州
天王塔的高度为（ ）
33
A． 2
3 33 3
m B． 3
33
m C． 2 1 33m D． 3 1 m2 2 2 2 2 2
4
8 f x
x ， x 1
．已知函数 x ，若方程 f x a a R 有四个不同的解

log2 x 1 ， x 1
x1, x2 , x3 , x4 ，且 x1 x2 x3 x4 ，则 x1x2 x3 x4的取值范围是（ ）
11 29 11 81
A． , B． , 2 4 2
C． 4, D． 4, 8
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错或不选的得 0分．
1+2i
9．已知复数 z （i为虚数单位），则（ ）
1+i
1 3 1
A． z的虚部为 B． z的共轭复数为 i
2 2 2
C | z | 10． D． z在复平面内对应的点位于第四象限
2
10．已知 x 0， y 0， x 2y 1，则下列结论正确的是（ ）
x y 1
1 2
A． B． 9
8 x y
x2 y2 1C． D． x 1 2y 1 6
4
11．如图，AC 为圆锥 SO底面圆O的直径，点 B是圆O上异于
A,C的动点，SO 2，OC 2 ，则下列结论正确的是（ ）
A．圆锥 SO的侧面积为 2 3π
B．三棱锥 S ABC体积的最大值为 4
高一数学学科 试题 第 2页（共 4页）
C．圆锥 SO外接球的表面积为 9π
D．若 AB BC ,E 为线段 AB上的动点，则 SE CE的最小值为 10 4 5
非选择题部分
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5分，共 15 分．

12．已知 a 1, 2 , b 2, 3 ，则 a在b方向上的投影向量的坐标为_________．
13．已知 ABC的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c．若 c 2,a 2b， sin2 B cos2B
1
，
2
则 ABC的面积为_________．
14．函数 f x sin x 0,
π
π ，直线 x 为 f x
2
的一条对称轴， ,0

为
2 6 3
f x 的一个对称中心，且 f x 在区间 , 上单调，则 的最大值为_________．
6 4
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．如图，在封闭图形 ABCD中，CD段是以直线 AD上的点 E为圆
心， DE长为半径的四分之一圆弧， DAB 90 ， AB 5，
AD DE 2，求图中封闭图形 ABCD绕 AD所在直线旋转一周所形
成几何体的表面积和体积．

16．已知 e1,e2 是平面内两个不共线的向量， AB e1 2e2 ，BC 3e1 e2 ，CD 2e1 me2 ．
(1)若 A，C，D三点共线，求实数m的值；

(2)若 e1 2,0 ， e2 1,2 ， ABD是钝角，求实数m的取值范围．
17．已知函数 f x 2cos2 x 2 3sin x cos x 1．
(1)求函数 f x 的单调增区间；
(2)将函数 f x π的图象向左平移 个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的 2
6
π π
倍，纵坐标不变，得到函数 g x 的图象．若函数 y g x m在区间 , 上有两个不同 3 2
的零点，求实数m的取值范围．
高一数学学科 试题 第 3页（共 4页）
18．请从下面三个条件中任选一个，补充在下面横线上，并解答．
① 2sin B sinC 2sin AcosC ；② a b sinB sin A c b sinC 0 ；
③ a sin B bsin A 2 3 c a cosB ．
在 ABC中，内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c，已知____．
(1)求角 A；

(2)若 BD 2DC ， AE EB．

(ⅰ)若 AD 1，求 2b c的最大值；

(ⅱ)若 ABC为锐角三角形， CE tb，求实数 t的取值范围．
19．已知函数 f x log2 2 a 4
x 1 2 x ，函数 g x x 3．x
(1)若 a 1，判断函数 f x 的奇偶性并证明；
(2)是否存在实数 0 m n 2，使得函数 y g x 在区间 m,n 上单调，且此时 y g x 的
取值范围是 km,kn ．若存在，求出实数 k的取值范围；若不存在，请说明理由．
(3) f x x若关于 x的方程 2 g 2 在区间 1,2 上只有一解，求实数 a的取值范围．
高一数学学科 试题 第 4页（共 4页）
2025 学年第二学期期中考试
高 数学学科 答案
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1 2 3 4 5 6 7 8
C A D C A B D C
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错或不选的得 0 分.
9 10 11
AC ABD ACD
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12． 16 , 24 13．2 14．11
13 13
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
原牛考院15．解：(1)过点C作CF AB，垂足为 F ，则CF 4， BF 3，
所以 BC 5 ……3分
S表 S下底面 S半球 S侧 25 8 35 68 ; ……8分
(2)V V 1 1 4 台 V = (r
2 R2 Rr)h r3半球 3 2 3
= 1 (4 1 4 25 10) 4 8
3 2 3
=140 . ……13分
3

16．解：(1) AC AB BC 4e1 e2 , CD 2e1 me2 ， ……2分

若 A,C,D三点共线，即 AC ,CD共线，即存在实数 t使得 AC tCD成立， ……4分

即 4e1 e2 t(2e1 me2 )，即(4 2t)e1 (1 tm)e2 0 ， ……5分
4 2t 0 1
则 ，所以 t 2，m . ……7分
1 tm 0 2

(2) ABD是钝角，则 BA BD 0，且 BA与BD不共线， ……9分

又 e1 2,0 ，e2 1,2 ， BA 4， 4 ， BD m 9,2m 2 ， ……10分

即 BA BD 12m 28 0, 即m 7 ， ……12分
3

又 BA与BD不共线，即m 11， ……14分
高一数学学科 试题答案 第 1 页(共 5页)
m 7综上， 且m 11 . ……15分
3
17．解：(1) f (x) cos2x 3sin 2x 2sin 2x ， ……4分
6
f (x) 3 要求 的增区间，即令 2k 2x 2k ,k Z ， ……5分
2 6 2
k x 5 解得 k ,k Z ， ……6分
3 6
即 f (x) 5 的增区间为 k , k ,k Z . ……7分 3 6
(2)可得g(x) 2sin x ， ……10分
6
已知 y g x m 在区间 ,

上有两个不同的零点， 3 2

等价于方程 2sin x m

在区间 , 上有两个不同的实根， ……11分 6 3 2
2
令 t x t ，则

， ， ……12分6 6 3
已知函数 y 2sin t t 2 在 ， 上单调递减，在 t ， 上单调递增， 6 2 2 3
t 当 时， y 1 ；当 t 时， y 2 2 ；当 t 时， y 3 ……14分
6 2 3
所以 -2 m 3. ……15分
18．解：(1)选① 2sin B sinC 2sin AcosC ，
所以 2 sin AcosC cos AsinC sinC 2sin AcosC ， ……2分
所以 2cos AsinC sinC， ……3分
1
因为 sinC 0，所以 cos A ，所以 A ……5分
2 3
选② a b sinB sin A c b sinC 0
所以 a b b a c b c 0， ……2分
所以 b2 a2 c2 bc 0，即 b2 c2 a2 bc ……3分
2 2
cos A b c a
2 1
所以 ，所以 A ……5分
2bc 2 3
选③ a sin B bsin A 2 3 c a cosB ，
所以 sin Asin B sin Bsin A 2 3 sinC sin AcosB , ……2分
所以 2sin Asin B 2 3 cos Asin B ……3分
高一数学学科 试题答案 第 2 页(共 5页)

因为 sin B 0，所以 tan A 3 ，所以 A ……5分3
1
(2)(ⅰ)因为 BD 2DC，所以 AD AB
2
AC ． ……6分
3 3
2 1 2 2
所以 AD AB
4 AC 4 AB AC 1 2 4 2 2 ，即1 c b bc ……7分
9 9 9 9 9 9
2
9 c2 4b2 2bc 2b c 2 2bc 2b c 2 2b c 3所以 2b c
2
……9分
2 4
所以 2b c 2 12， 2b c 2 3（当且仅当 2b c 3 时，取等号） ……10分
所以 2b c的最大值为 2 3 ……11分
1
(ⅱ)因为 AE EB，所以 AE c ……12分2
CE 2 AC 2因为 AE 2 2 AC AE cos CAE
2 2
t2b2所以 b2
1
c2 1 bc ，所以 t2 1 1 c 1 c 1 c 3
4 2 4 b 2 b 4
1 ……13分
b 4
c sinC sin AcosB cos AsinB 1 3
因为 ……14分
b sinB sinB 2 2 tanB

0 B



因为 ABC 2为锐角三角形，所以 ，所以 B ， ……15分
B A 6 2
2
c 1
所以 tan B 3 ，所以 , 2 ， ……16分
3 b

2
2 3 3
所以 t ,1 ，所以 t ,1 4 2

t 3

所以实数 的取值范围为 ,1 ． ……17分
2
19：（1）当 a 1时， f (x)为 R上的偶函数．理由如下： ……1分
a 1 f (x) log (4 x 1) x log (4
x 1
当 时， 2
x x ……3分
2 x ) log2 (2 2 )，2
f ( x) log x x ， 为2(2 2 ) f (x) f (x) R上的偶函数． ……5分
2
（2）法一：可作 y | g(x) | | x 3 |x 在
(0, )上的草图.
高一数学学科 试题答案 第 3 页(共 5页)
2
m 3 kn
①当 [m,n] (0,1)，则 y | g(x) |在 [m,n]上单调递减， m 2 ， n 3 km
n
两式相除整理得 (m n) (m n 3) 0，
m n 3与m n 2相矛盾． ……7分
m 2 3 km
②当 [m,n] [1, 2]，则 y | g(x) |在 [m,n]
m
上单调递增，
n 2
，
3 kn
n
可以理解为 k 2 3 2 1在t t [1, 2]
上有 2个不同实根．
t
1 2 3 1
令 u [ ,1] (u) 2u
2 3u 1 2(u )2
t 2 ， 4 8，
(u 2 ) 3 2
3 1
2， (u ) ， (u 1) 02 2 4 8 ，
要使 k (u) 3 2 1有两个不等实根，则 2 k . ……9分
2 8
2
m 3 kn
③当 [m,n] ( 2,2]，则 y | g(x) |
m
在 [m,n]上单调递减，
n 2
，
3 km
n
两式相除整理得 (m n) (m n 3) 0， m n 3，
n 3 3 m m, 2 m
2，
3 2 m
k m m
2 3m 2 1 2 2
5 3 2 1
1 ，此时 n m(3 m) m(m 3） (m 3 2 9

7 9

）
2 4
5 3 2 k 1
3
或 2 2 k
1

综上所述： . ……11分7 9 2 8
（3） f (x) log2[(2
1
a) 4 x 1] x log2[(2 a) 2
x ] ， ……12分2x
关于 x的方程 2 f (x) g 2x 在区间[1,2]上只有一解，
可转化为（2 a) 2x 1 x =2
x 2 在区间 上只有一解，
2 2x
3 [1,2]
即 (1 a) 2x 1 x 3 0 在区间 [1,2]上只有一解， ……13分2
3 1 2
a 1 1 3 13 ……14分
2x x x

4 2 2 4
高一数学学科 试题答案 第 4 页(共 5页)
x [1,2] 1 1 , 1 27 9当 时， x

2 4 2
， a ， ……15分
16 4
另一方面，还需 (2 a) 4x 1 0 在区间 [1,2]上能成立．
a 1 33 9 2 ，x , a
9
. ……16分
4 16 4 4
3 1 1 1 1 1
（或者由 a 1 2 ，知 0 或 1（舍））
2x 4x 4x 2x 2 2x
27 9
综上所述： a的取值范围为 a ……17分
16 4
（利用一元二次方程根的分布求解，酌情给分）
高一数学学科 试题答案 第 5 页(共 5页)

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