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4.1 投影课时2
第四章 投影与视图
1.了解平行投影和正投影的概念，会画物体在不同光线下的投影，会根据投影判断光源的位置。
2.了解物体在太阳光下的影子的不同特征以及不同时刻、不同位置影子的变化情况，体会中心投影与平行投影的区别。
3.能利用投影和相似的知识解决实际生活中的某些测量问题。
取一些长度不同的小棒及三角形、矩形纸片，观察它们在太阳光下的影子。
知识点1 平行投影
问题1 固定投影面，改变小棒或纸片的摆放位置和方向，影子分别发生了什么变化
解：它们的影子的形状和大小一般会发生相应的改变。
问题2 固定小棒或纸片，改变投影面的摆放位置和方向，影子分别发生了什么变化
解：它们影子的形状和大小一般也会发生相应的改变，当小棒或纸片与投影面平行时，小棒或纸片与其影子全等。
知识点1 平行投影
平行投影：太阳光线可以看成平行光线，平行光线所形成的投影称为平行投影。
知识点1 平行投影
图中的三幅图是某天上午不同时刻在我国某地的同一位置拍摄的。
(1) (2) (3)
(1)在三个不同时刻，同一棵树的影子长度不同，请将这三幅图按拍摄的先后顺序进行排列，并说明理由。
解：拍摄的先后顺序为：(3)、(2)、(1)。
知识点1 平行投影
图中的三幅图是某天上午不同时刻在我国某地的同一位置拍摄的。
(1) (2) (3)
理由：太阳东升西落，在早晨，太阳位于正东方向，此时树的影子较长，影子位于树的正西方向；在上午随着太阳位置的变化，树的影子的长度逐渐变短，树的影子也由正西方向向正北方向移动。
知识点1 平行投影
图中的三幅图是某天上午不同时刻在我国某地的同一位置拍摄的。
(1) (2) (3)
(2)在同一时刻，两棵树影子的长度与它们的高度之间有什么关系
解：在同一时刻，大树的高度与其影长之比等于小树的高度与其影长之比。
根据物体、影子和光线得到的两个直角三角形相似，即可得出以上结论。
知识点1 平行投影
你能说说这是为什么吗？
平行投影的特征：
太阳光下影子变化：就北半球而言，从早晨到傍晚，物体影子的指向是：正西→西北→正北→东北→正东；影长变化是：长→短→最短→短→长。
同一时刻、同一地点，影子的长度与物体的高度成正比，所有物体的投影在同一方向。
=
知识点1 平行投影
某校墙边有甲、乙两根立柱，已知乙立柱的高度为1.5 m。
(1)某一时刻甲立柱在太阳光下的影子如图所示。请画出此时乙立柱的影子。
解：如图，连接DD′， 过点E作DD′的平行线，交AD′所在的直线于点E′。BE′就是乙立柱的影子。
例1
知识点1 平行投影
E ′
某校墙边有甲、乙两根立柱，已知乙立柱的高度为1.5m。
(2)在图中，当乙立柱移动到什么位置时，其影子刚好不落在墙上 请画出此时乙立柱的位置和影子。
解：如图，将乙立柱移动到与墙之间的距离为BE′的地方，其影子刚好不落在墙上。
例1
知识点1 平行投影
E ′
B
乙
某校墙边有甲、乙两根立柱，已知乙立柱的高度为1.5m。
(3)在(2)的情形下，如果测得甲、乙立柱的影子长分别为1.24 m和1 m，那么甲立柱的高度是多少
解：因为△ADD′∽△BEE′，
所以=，即= 。
所以，甲立柱的高度为= = 1.86(m)。
例1
知识点1 平行投影
E ′
B
乙
思考 (1)两棵小树在同一时刻的影子如图所示，请在图中画出形成树影的光线。它们是太阳的光线还是灯光的光线 与同伴进行交流。
解：如图所示，是灯光的光线。过一棵小树的顶端及其影子的顶端作一条直线，再过另一棵小树的顶端及其影子的顶端作一条直线，两条直线是相交的，因而它们是灯光的光线。
知识点1 平行投影
辨别平行投影与中心投影的方法：
分别过每个物体的顶端及其影子的顶端作一条直线：
(1)若两直线平行，则为平行投影；
(2)若两直线相交，则为中心投影，其交点就是光源的位置。
知识点1 平行投影
思考 (2)图中的影子是在太阳光下形成的还是在灯光下形成的 画出同一时刻立柱的影子(用线段表示)，并与同伴交流这样做的理由。
解：如图(1)所示，是在太阳光下形成的。过大树的顶端及其影子的顶端作一条直线，再过小树的顶端及其影子的顶端作一条直线，两直线是平行的，因而是在太阳光下形成的影子。
知识点1 平行投影
思考 (2)图中的影子是在太阳光下形成的还是在灯光下形成的 画出同一时刻立柱的影子(用线段表示)，并与同伴交流这样做的理由。
过立柱的顶端作一条与前面所作直线平行的直线，其与地面相交，则以该交点和立柱底端为两个端点的线段即立柱的影子，如图(2)所示，线段AB就是立柱的影子。
知识点1 平行投影
A B
平行投影作图：
1.连接物体顶端与影子顶端。
2.过另一物体的顶端作刚才连线的平行线，即可得出物体的影子。
知识点1 平行投影
平行投影和中心投影的区别与联系：
平行投影 中心投影
区别 光源
光线
投影
联系 知识点1 平行投影
同一时刻、同一地点，影子的长度与物体的高度成比例，所有物体的投影在同一方向。
=
影子的长度与物体的高度不一定成比例，不同物体的投影可能在同一方向，也可能在不同方向。
太阳等。
光线是平行的。
点光源(灯泡等)。
光线是从一点发出的，不是平行的。
(1)都是物体在光线下形成的投影；
(2)若光线一定，投影随着物体位置的变化而变化；
(3)影子的长度与物体的高度(长度)有关。
跟踪训练
相同时刻太阳光下，若高为1.5 m的旗杆的影长为3 m，则影长为30 m的旗杆的高是( )。
A.15 m B.16 m C.18 m D.20 m
A
平行光线与投影面垂直，这种投影称为正投影。
正投影是特殊的平行投影。
知识点2 正投影
线段、平面图形、几何体的正投影规律：
线段的正投影 平面图形的正投影 几何体的正投影
规 律 平行长不变，倾斜长缩短，垂直成一点。 平行形不变，倾斜形改变，垂直成线段。 一个几何体在一个平面上的正投影是一个平面图形。
图 示
知识点2 正投影
把一个正五棱柱按如图所示的方式摆放，当平行光线由上向下(即箭头方向)照射时，它在地面H上的投影是 ( )。
例2
A
知识点2 正投影
1.下列投影属于平行投影的是 ，属于中心投影的是 。(填序号)
①阳光下房屋的影子；②台灯下手机的影子；③中午路边树的影子；④路灯下行人的影子。
①③　
②④　
2.木棒长为1.2 m，则它的正投影的长一定( )。
A.大于1.2 m B.小于1.2 m
C.等于1.2 m D.小于或等于1.2 m
D
3.甲、乙两根木杆竖直地立在平地上，其中甲木杆的高度为3 m，乙木杆的高度为2 m。在某一时刻，甲木杆在太阳光下的影子如图所示，请你在图中画出此时乙木杆在太阳光下的影子。
. .
解：如图，乙木杆的影子平行于甲木杆的影子，乙木杆的影长与甲木杆的影长之比为2 3。
4.如图，木棒AB在投影面P上的正投影为A1B1，且AB=10 cm，∠BAA1=120°，则投影A1B1的长为 cm。
5
5.在“测量物体的高度”活动中，在同一时刻，测得一根长为1 m的竹竿的影长为0.8 m。在测量松树的影子，除落在地面上外，还有一部分落在了教学楼的第一级台阶上(如图)，测得台阶上的影长为0.2 m，一级台阶高为0.3 m，落在地面上的影长为4.4 m。你能计算出松树的高吗
解：如图，AB为松树的高，落在地面上的影长BC=4.4 m，一级台阶高EC=0.3 m，落在第一级台阶上的影长EF=0.2 m，连接AF，过点C作GC∥AF交AB于点G，延长CE交AF于点D，则DE⊥EF。
由平行投影的性质，得=，
∴DE=0.25 m，∴CD=CE+DE=0.55 m。
∵AG∥DC，AD∥GC，
∴四边形AGCD是平行四边形，
∴AG=CD=0.55 m。
由平行投影的性质，得=，
∴BG=5.5 m，
∴松树的高AB=AG+BG=6.05 m。
概念：由平行光线(一般把太阳光线看成平行光线)所形成的投影
性质：等高(长)的物体垂直(平行) 于地面放置时，它们在太阳光下 的影子的长度相同；
=
投影
平行投影
正投影
平行光线垂直于投影面所产生的投影

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