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第四章 投影与视图
章末小结
投影与视图
学习思路
概念
分类
应用
学习方法
具体到抽象
从一般到特殊
几何直观
空间观念
学习内容
平行投影
(平行光线)
中心投影
(点光源)
主视图
左视图
俯视图
投影
视图
知识点1 投影与中心投影
(1)投影：物体在光的照射下，会在地面或其他平面上留下它的影子，这就是投影现象。
影子所在的平面称为投影面。
形成投影的三大条件：光(光源)；物体(在光源与投影面之间)；投影面。
知识点1 投影与中心投影
(2)中心投影：手电筒、路灯和台灯的光可以看成是从一个点发出的，这样的光所形成的投影称为中心投影。
中心投影的投影线相交于一点，这一点称为投影中心。
中心投影的性质：
同一时刻，点光源、物体上的点及其影子上的对应点在同一直线上。
根据同一点光源下的两个不同物体及它们的影子，可以确定点光源所在的位置。
知识点1 投影与中心投影
中心投影的特征：
①等高的物体垂直于地面放置时，在灯光的照射下，离点光源越近，物体的影子越短，离点光源越远，物体的影子越长。
②等长的物体平行于地面放置时，在灯光的照射下，离点光源越近，物体的影子越长，离点光源越远，物体的影子越短，但不会比物体本身短。
知识点2 平行投影
特征：
同一时刻、同一地点，影子的长度与物体的高度成正比，所有物体的投影在同一方向。
=
(3)平行投影：太阳光线可以看成平行光线，平行光线所形成的投影称为平行投影。
平行光线与投影面垂直，这种投影称为正投影。
知识点2 平行投影
平行投影作图：
①连接物体顶端与影子顶端。
②过另一物体的顶端作刚才连线的平行线，即可得出物体的影子。
辨别平行投影与中心投影的方法：
分别过每个物体的顶端及其影子的顶端作一条直线：
①若两直线平行，则为平行投影；
②若两直线相交，则为中心投影，其交点就是光源的位置。
知识点2 平行投影
平行投影 中心投影
区别 光源
光线
投影
联系 同一时刻、同一地点，影子的长度与物体的高度成比例，所有物体的投影在同一方向。
=
影子的长度与物体的高度不一定成比例，不同物体的投影可能在同一方向，也可能在不同方向。
太阳等。
光线是平行的。
点光源(灯泡等)。
光线是从一点发出的，不是平行的。
(1)都是物体在光线下形成的投影；
(2)若光线一定，投影随着物体位置的变化而变化；
(3)影子的长度与物体的高度(长度)有关。
两棵小树在同一盏路灯下的影子如图所示。
(1)确定路灯灯泡所在的位置，并在适当的位置画出灯杆。
(2)在图中画出表示婷婷影长的线段。
解：(1)如图，两条光线的交点O即路灯灯泡所在的位置，灯杆为OD。
(2)如图，线段EF表示婷婷的影长。
例1
知识点1 投影与中心投影
O
D
F
E
两棵小树在同一盏路灯下的影子如图所示。
(3)若左边的树AB的高度是3米，影长是4米，树AB离灯杆的距离是2米，求灯杆的高度。
解：由题意，知△ABC∽△ODC，
所以=，即=，
解得OD=4.5 米，
所以灯杆的高度为4.5 米。
例1
知识点1 投影与中心投影
O
D
F
E
如图，婷婷从点E出发，经过路灯OD正下方沿直线走到点M，设她的影长为y，她与点E之间的距离为x，那么下列图象中，能表示y与x之间函数关系的是哪一个 请从函数的变化趋势方面说明理由。
解：能表示y与x之间函数关系的是④。
理由：婷婷从点E出发，经过路灯OD正下方沿直线走到点M， 她的影长y开始逐渐减小，后来逐渐增大。
例2
知识点1 投影与中心投影
如图，一块面积为60 cm 的三角形硬纸板(记为△ABC )平行于投影面时，在点光源O的照射下形成的投影是△A B C ，若OB:BB =2:3，则△A B C 的面积是( )。
A.90 cm B.135 cm C.150 cm D.375 cm
例3
D
知识点1 投影与中心投影
如图所示，甲楼AB高16 米。当地12时物高与影长的比是1:。
(1)如图1，当地12时甲楼的影子刚好不落到乙楼上，则两楼间距BD的长为 米。
(2)当地14时物高与影长的比是1:2。如图2，此时甲楼的影子有一部分落在了乙楼上，求落在乙楼上的影子DE的长。
解：如图， 作EF⊥AB于点F。
在Rt△AEF中，∠AFE=90°，EF=BD=16 米。
∵物高与影长的比是1:2，
∴=，即=，
解得AF=8米，
∴DE=FB=AB-AF=(16-8)米，∴落在乙楼上的影子DE的长为(16-8)米。
例4
16
知识点2 平行投影
F
在“测量物体的高度”活动中，在同一时刻，测得一根长为1 m的竹竿落在水平地面上的影长为0.8 m。小明测得一棵树落在水平地面上的影长为2.4 m，落在坡面上的影长为3.2 m(如图)。身高1.6 m的小明站在坡面上，当影子都落在坡面上时，小芳测得小明的影长为2 m。你能计算出树的高度吗
解：如图，线段AB为树的高，落在水平地面上的影长BC=2.4 m，落在坡面上的影长CD=3.2 m，连接AD，过点C分别作EC∥AD交AB于点E，CF∥AB交AD于点F，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AE=FC。
由平行投影的性质，得=，=，
∴BE=3 m，AE=FC=2.56 m，
∴AB=AE+BE=5.56 m，∴树的高度为5.56 m。
例5
知识点2 平行投影
知识点3 三种视图
(1)视图：用正投影的方法绘制的物体在投影面上的图形，称为物体的视图。
(2)三种视图：通常我们把从正面得到的视图叫作主视图，
从左面得到的视图叫作左视图，
从上面得到的视图叫作俯视图。
知识点3 三种视图
三种视图的画法 ：
①确定主视图的位置，画出主视图；
②在主视图的正下方画出俯视图，注意与主视图“长对正”；
③在主视图的正右方画出左视图，注意与主视图“高平齐”，与俯视图“宽相等”。
注意：在画视图时，看得见的部分的轮廓线要画成实线，看不见的部分的轮廓线要画成虚线。
知识点3 三种视图
由三种视图确定几何体形状的常用方法 ：
①根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的正面、上面和左面的形状以及确定几何体的长、宽、高。
根据实线和虚线想象几何体看得见的和看不见的轮廓线。
②熟记一些简单几何体的三种视图会对想象复杂几何体的形状有帮助。
③利用由三种视图画几何体与由几何体画三种视图的互逆过程， 反复练习，不断总结方法，熟能生巧。
如图，圆柱中挖去一个小圆柱，剩余几何体的主视图和俯视图正确的是( )。
例6
B
知识点3 三种视图
画出图中几何体的三种视图。
例7
知识点3 三种视图
解：这个几何体的主视图、左视图和俯视图如图所示。
一个几何体由圆柱和正方体组成，其主视图、俯视图如图所示，则其左视图为( )。
例8
A
知识点3 三种视图
已知某几何体的三种视图如图所示，其中俯视图为正六边形，则左视图的面积为 ，该几何体的表面积为 。
例9
8
知识点3 三种视图
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