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福建漳州市2025-2026学年高二下学期期中考试数学试卷
一、单选题
1．在空间直角坐标系中，点，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知函数，则的导函数（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数的极值点为0，则（ ）
A．0 B． C． D．
4．在空间直角坐标系中，是平面外一点，平面的一个法向量为，的面积为3，且，则三棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
5．若函数为减函数，则必有（ ）
A． B．
C． D．
6．某企业的一个产品的月均产量（单位：百件）与月份数的关系式为，则该企业这个产品的月均产量的最小值为（ ）
A．56件 B．63件 C．5600件 D．6300件
7．在平行六面体中，，，，，，则（ ）
A． B． C． D．
8．函数的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．0
二、多选题
9．在四面体中，，则（ ）
A． B．
C． D．
10．若，则的取值可以为（ ）
A．-10 B． C．-4 D．1
11．在空间直角坐标系中，已知正四面体的四个顶点的坐标为，，，，点在四面体外接球的球面上，且平面，点在四面体内切球的球面上，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．的最大值是最小值的2倍
C．四面体外接球的体积为
D．当取得最小值时，点的坐标为
三、填空题
12．在标准正交基底下，已知向量，，则向量在上的投影长为________．
13．在空间直角坐标系中，已知，，，则点到直线的距离为________．
14．若，则的取值范围是________．
四、解答题
15．已知函数.
(1)求值；
(2)求在上的极值.
16．将正方体截去三棱锥后得到如图所示的几何体，且为的中点．
(1)证明：平面．
(2)求二面角的正弦值．
17．已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)讨论的单调性．
18．如图，在四棱锥中，，底面是正方形，，分别为，的中点．过点的直线与平行，且．
(1)证明：底面．
(2)已知平面与平面的夹角为．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若是上的一个动点，直线与平面所成的角为，证明：．
19．已知函数 ．
(1)证明：当 ，时， ．
(2)讨论的零点个数．
(3)若 ，正数满足 ，证明： ．
参考答案
1．A
【详解】因为，，
所以.
2．B
【详解】由题意得，得到.
3．C
【详解】，
因为，所以．
当时，由得，由得，
由得，
所以的极小值点为0，故．
4．A
【详解】因为，平面的一个法向量为，
所以点到平面的距离，
又的面积，
所以三棱锥的体积.
5．C
【详解】由函数，可得，
因为函数为减函数，可得，即，
又因为，所以，即.
6．D
【详解】可知，
在时，，函数单调递减，
在时，，函数单调递增，
所以当时，月均产量取得最小值，最小为件.
7．B
【详解】利用空间向量的线性运算可知，
所以，
即,
由于,
所以，，
所以，故 ，即，
故平行四边形为矩形，
8．D
【详解】.
设，则，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
则.
令，，则，
因为在上单调递增，
所以当时，取得最小值，且最小值为0.
故的最小值为0.
9．AD
【详解】
，故A正确，C错误；
，故B错误，D正确.
10．ABD
【详解】若，则，
设函数 ，则，
，
令，得单调递增，
令，得 单调递减．
因为，当时，，
所以，
故，解得．
ABD选项符合题意.
11．ABD
【详解】四面体的直观图如图所示．设顶点在底面上的射影为，连接，
则平面，连接并延长，交于点，易得为的中点．
因为，所以，所以，
则，则，A正确．
设四面体外接球的球心为，则在上，设，
则，解得，所以四面体外接球的半径为3，
四面体外接球的体积为，C错误．
易得四面体内切球的半径，内切球的球心为，
则的最大值为，最小值为，B正确．
因为平面，所以，
又因为，所以，
解得或（舍去），．
当取得最小值时，，即，
得，D正确．
12．9
【详解】由已知，，
则的坐标表示为，的坐标表示为，
则向量在上的投影长为.
13．
【详解】由题意得，，
，
，
向量在直线上的投影长度为，
故点到直线的距离为
14．
【详解】令（），则，故在上单调递增.
左边：；
右边：.
由题意，所以.
两边取自然对数得，即，则的取值范围为.
15．(1)
(2)极小值为，无极大值
【详解】（1），
则.
（2）当时，令，得，
令，得，则在上单调递减，
令，得，则在上单调递增，
所以在上的极小值为，在上无极大值.
16．(1)证明见解析
(2)．
【详解】（1）
取的中点，连接，．
易证，且，
又为的中点，所以，且，
则四边形是平行四边形，所以．
因为平面，平面，所以平面．
（2）以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示．
设，则，，，，，，．
设平面的法向量为，则
令，得．
设平面的法向量为，则
令，得．
设二面角的平面角为，
则，
所以二面角的正弦值为．
17．(1)
(2)当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增
【详解】（1）当时，，可得，
则，且，即切线的斜率为，切点为，
所以曲线在点处的切线方程为，即．
（2）由函数，其定义域为，且，
当时，，则在上单调递减；
当时，令，可得，
令，得；令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增．
18．(1)
因为，，所以．
因为底面底面，
所以底面．
(2)（Ⅰ）
（Ⅱ）设，得，
则，
因为，函数在上单调递增，
所以要证，只需要证
即证．
因为，所以恒成立．故．
【详解】（1）略
（2）（Ⅰ）以为原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，得．
设平面的法向量为，
则令，则，得．
易得平面的一个法向量为
则
故．
（Ⅱ）略
19．(1)当 ，时， ，
，当且仅当，即 时，等号成立，
所以，在上单调递增．
又 ，所以当时， ，即 ．
(2)当 时，的零点个数为1，当 时，的零点个数为3
(3)由 ，得，即．
要证 ，只需证，
即证，即证 ，
设，，
则．
因为，所以 ， ，
所以，在上单调递增．
又 ，且，所以，
即 ，故 得证．
【详解】（1）略
（2）因为，所以为上的奇函数,
，
当 时，，在上单调递增,
又，所以的零点个数为1，
当 时，令，即 ，
设，则 ，即 ，
解得，即，，
又因为 ， ，
所以 ，即 ， ，
则当时，，单调递增，当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以 ， ．
又因为当 时， ，，当时， ，所以的零点个数为3．
综上，当 时，的零点个数为1，当 时，的零点个数为3．

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