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2.3 有理数的乘除运算
第1课时 有理数的乘法法则
1.经历探索有理数乘法法则的过程。
2.会进行有理数的乘法运算，能运用乘法运算律简化计算。
3.了解倒数的概念。
乘法的定义：求几个相同数的和的简便运算，叫做乘法。
例如：3＋3＋3＋3＋3＝3×____＝15,
7＋7＋7＋7＋7＋7＝7×_____＝____，
5×0＝____
5
6
42
0
问题：甲水库的水位每天升高
3cm，乙水库的水位每天下降
3cm，预计经过4天甲、乙水库
水位的总变化量各是多少？
如果用正号表示水位上升，用负号表示水位下降，那么4天后甲水库的水位变化量为
3＋3＋3＋3=3×4=12（cm）；
乙水库的水位变化量为
(－3)＋(－3)＋(－3)＋(－3)＝(－3)×4＝－12（cm）.
你认为3×(－4)的结果应该是多少 (－3)×(－4)呢
3×(－4)＝ ；
同时，要满足乘法对加法的分配律，就要有
(－4)×3＝
(－4)＋(－4)＋(－4)＋(－4)＝ ；
－12
乘法运算律在有理数范围内仍成立
(－3)×(－4)＋(－3)×4＝ 。
(－3)×[(－4)＋4]＝ 。
(－3)×0＝0。
因此 (－3)×(－4)＝ 。
－[(－3)×4]＝ 。
12
（1）请你仿照上面的方法说明(－2)×(－5)＝10。
（2）再写一些算式进行计算。你能发现什么规律？与同伴进行交流。
(－2)×(－5)
＝－[(－2)×5]
＝10
有理数乘法法则：
两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
任何数与0相乘，积仍为0。
例1 计算：
（1）6×(－1)； （2）(－4)×5；
（3）(－5)×(－7)； （4）(－)×(－)；
解:（1）6×(－1)＝－(6×1)＝－6；
互为相反数
一个数乘－1，所得的积就是它的相反数。
解：（2）(－4)×5
＝－(4×5)(异号得负，绝对值相乘)
＝－20；
（3）(－5)×(－7)
＝＋(5×7)(同号得正，绝对值相乘)
＝35；
两个有理数相乘的计算步骤：(1)确定符号；(2)绝对值相乘。
如果两个有理数的乘积为1，那么称其中一个数是另一个的倒数，也称这两个有理数互为倒数.例如：3与互为倒数，与互为倒数。
解:（4）(－)×(－)
＝＋(×)(同号得正，绝对值相乘)
＝1；
注意:0没有倒数.
反之，若两数互为倒数，则它们的积为1。
倒数定义：
1的倒数为
－1的倒数为
的倒数为
－的倒数为
0.4的倒数为
－0.4的倒数为
1
－1
3
－3
-3
-3
0的倒数为 。
零没有倒数
思考：a的倒数是对吗？
(a≠0时,a的倒数是)
－
先把小数化为分数再求倒数
例2 一天，小刚和小明利用温差测量山峰的高度，小明在山顶测得的温度是－2 ℃，小刚在山脚测得的温度是4 ℃．已知该地区的高度每增加100 m，气温大约下降0.6 ℃，求这个山峰的高度大约是多少。
解：×100
　＝10×100＝1 000（m）．
高度每增加100m，温度大约下降0.6℃
山顶和山脚的温差是4－(－2)＝6℃
6℃是0.6℃的10倍
山峰的高度为10×100 m
答：这个山峰的高度大约为1 000 m．
1.计算(－6)×(－1)的结果等于(　　)
A．6　　B．－6　　C．1　　D．－1
2.－的倒数的相反数等于(　　)
A．－2 B. C．－ D．2
3.若数a≠0，则a的倒数是______，_____没有倒数；倒数等于它本身的数是________．
0
1或－1
4.若a与b互为相反数，c与d互为倒数，则5(a＋b)－6cd＝_____．
A
D
－1
被乘数 乘数 积的符号 积的绝对值 结果
－5 7
15 6
－30 －6
4 －25
5.填空题
－
35
－35
＋
90
90
＋
180
180
－
100
－100
一般法则
有理数乘法法则
两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
任何数同0相乘，都得0。
特殊
倒数
乘积是1的两个数互为倒数
应用
2.3 有理数的乘除运算
第2课时 有理数的乘法运算律
1.经历探索有理数乘法运算律的过程，发展观察、归纳、猜测、验证的能力.
2.掌握有理数乘法的运算律.(重点）
3.能正确运用乘法运算律简化运算. （难点）
2.计算:（1）0×＝ ；
（2）3×＝ ；
（3）(－3)×0.3＝ ；
（4）×＝ 。
1.有理数乘法法则：两数相乘，同号得 ，异号得 ，绝对值相乘。任何数与0相乘，积为 。
正
负
0
0
－1
－0.9
下列各式的积是正的还是负的？
2×3×4×(－5)＝
2×3×(－4)×(－5)＝
2×(－3)×(－4)×(－5)＝
(－2)×(－3)×(－4)×(－5)＝
7.8×(－8.1)×0×(－19.6)＝
－120；
120；
－120；
120；
0。
只考虑积的符号，第一、三式的积是负的，第二、四式的积是正的．
议一议：几个有理数相乘，因数都不为0时，积的符号怎样确定？有一个因数为0时，积是多少？
归纳
（1）几个不等于0的有理数相乘，积的符号由负因数的个数确定。当负因数的个数是奇数时，积为负，当负因数的个数是偶数时，积为正．积的绝对值等于各个因数绝对值的乘积．
（2）几个有理数相乘时，有一个因数为0，积为0.
例1 计算:
（1）(－4)×5×(－0.25)； （2）(－)×(－)×(－2)。
（2）原式
＝[＋(×)]×(－2)
＝×(－2)
＝－1。
解：（1）原式
＝[－(4×5)]×(－0.25)
＝(－20)×(－0.25)
＝＋(20×0.25)
＝5；
(－7) ×8＝ , 8×(－7)＝ ；
(1) 计算下列各题，并比较它们的结果.
(－)×(－)＝ , (－)× (－)＝ 。
－56
－56
你有什么发现吗
两个数相乘,交换两个因数的位置,积相等。
[(-4)×(-6)]×5＝ , (-4)×[(-6)×5]＝ ；
×(－)]＝ , ×(－＝ 。
(2) 计算下列各题，并比较它们的结果.
120
120
你有什么发现
三个数相乘,先把前两个数相乘,或先把后两个数相乘,积相等。
(3) 计算下列各题，并比较它们的结果.
(－2)×[(－3)＋(－)] (－2)×(－3)＋(－2)×(－)
一个数同两个数的和相乘,等于把这个数分别同这两个数相乘,再把积相加.
＝(－2)×(－)
＝9
＝6＋3
＝9
5×[(－7)＋(－)] 5×(－7)＋ 5×(－)
＝5×(－)
＝－39
＝(－35)＋(－4)
＝－39
结果相等
结果相等
在有理数运算中，乘法的交换律、乘法的结合律、乘法对加法的分配律还成立吗？换一些数试一试。
乘法的这些运算律在有理数范围内同样适用.
请同学们用字母来表示有理数乘法的交换律、结合律、乘法对加法的分配律
乘法的交换律： ；
乘法的结合律： ；
乘法对加法的分配律： .
ab＝ba
(ab)c＝a(bc)
a(b＋c)＝ab+ac
例2 计算:（1）(－＋)×(－24)；（2）(－7)×(－)×。
解:（1）(－)×(－24)
＝(－)×(－24)×(－24)
＝20＋(－9)
＝11
你是怎样算的？
下面是计算(＋－)×24的两种解法。
解法一：(＋－)×24 解法二：(＋－)×24
＝(＋－)×24 ＝×24+×24－ ×24
＝×24 ＝8＋6－4
＝10。 ＝10。
两种解法有什么区别？
先算括号内的加减运算再算括号外的乘法运算
运用乘法对加法的分配律进行计算
1.下列各式中积为负数的是(　　)
A．(－2)×(－2)×(－2)×2 B．(－2)×3×4×(－2)
C．(－4)×5×(－3)×8 D．(－5)×(－7)×(－9)×(－1)
2.下列变形不正确的是(　　)
A．5×(－6)＝(－6)×5
B.(－)×(－2)＝(－12)×(－)
C.(－＋)×(－4)＝(－4)×(－)＋×4
D．(－25)×(－16)×(－4)＝[(－25)×(－4)]×(－16)
A
C
3.若五个有理数相乘的积为正数，则五个数中负数的个数是(　)
A．0　 　B．2　 　 C．4　 　 D．0或2或4
4.算式(－1)×(－3)× 之值为何？(　　)
A. B. C. D.
D
C
乘法的交换律
有理数的乘法（运算律）
a×b＝b×a
(a×b)×c＝a×(b×c)
乘法的结合律
乘法对加法的分配律
a×(b＋c)＝a×b＋a×c
（既可以正用，也可以逆用）
2.3 有理数的乘除运算
第3课时 有理数的除法
1.理解有理数除法的法则，体会除法与乘法的关系。
2.会进行有理数的除法运算。（重点）
3.会求有理数的倒数，把有理数的除法运算转化乘法运算，体验转化的数学思想.（难点）
2.有理数的乘法运算律
乘法的交换律：_ __________；
乘法的结合律：_ __________________；
乘法对加法的分配律：_ ____________________。
a×b＝b×a
(a×b)×c＝a×(b×c)
a×(b＋c)＝a×b＋a×c
1.有理数乘法法则
两数相乘，同号得 ，异号得 ，绝对值相乘。任何数与0相乘，积为 。
正
负
0
3.倒数的意义。
(－12)÷(－3)=
由(－3)×4＝－12,得
(－12)÷(－3)＝______。
除法是乘法的逆运算。
4
① 6×(－3)＝－18， (－18)÷6=___ _；
②(－)×(－25)＝5， 5÷(－)＝__ __；
③ 3×(－9)＝－27， (－27)÷(－9)＝____;
④ 0×(－2)＝0， 0÷(－2)＝_ ___。
根据“除法是乘法的逆运算”，计算下列各式：
－25
3
0
－3
从上面的算式，你能归纳出有理数的除法有什么特点与规律吗？
1.两个有理数相除，同号得____，异号得_____(填“正”或“负”)，并把绝对值______.
2.0除以任何非0的数都得____.
注意：0不能作______.
正
负
相除
0
除数
有理数的除法法则1：
例1 计算：
（1）（－15）÷（－3）； （2）12÷(－);
（3）(－0.75)÷0.25;
（4）(－12)÷(－)÷(－100)。
（3）原式
＝－(0.75 ÷ 0.25)
＝－3
解：原式＝＋(15÷3)
＝5
（2）原式＝－(12÷)
＝－48
（4）原式＝＋(12÷)÷(－100)
＝144÷(－100)
＝－(144÷100)
＝－1.44
想一想 (－12)÷(－)÷(－100)
下面两种计算正确吗 请说明理由：
（1）解：原式＝(-12)÷(－÷100)
＝(－12)÷(－)＝－14400
（2）解：原式＝(－)÷(－12)÷(－100)
＝÷(－100)＝－。
除法不适合交换律与结合律,所以不正确。
（×）
（×）
（3）(－)÷(－)＝ ； (－)×(－60)＝ 。
比较下列各组数计算结果：
15
（1）1÷(－) ＝ ； 1×(－)＝ ；
（2）0.8÷(－)＝ ； 0.8×(－)＝ ；
－
－
－
－
15
发现了什么？
结果相同
除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数.
也可以表示成：
a ÷b＝a·(b≠0)
除号变乘号
除数变为倒数作因数
有理数的除法法则2：
对比记忆
有理数的减法法则
减去一个数，等于加这个数的相反数.
a－b＝a ＋ (－b)
减数变为相反数作加数
减号变加号
有理数的除法法则
除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数.
a ÷b＝a·(b≠0)
除号变乘号
除数变为倒数作因数
例2 计算：（1）(-18)；（2）16。
解：(1)原式＝(－18)×)
＝18×
＝27
(2)原式＝16×()×)
＝16
＝
注意 对于只有除法的运算，有括号先算括号内，无括号就从左到右算。或者可以先把所有除法都变成乘法，然后再用乘法交换律和结合律。
（1）有理数除法化为有理数乘法以后，可以利用有理数乘法的运算律简化运算
（2）乘除混合运算往往先将除法化为乘法，然后确定积的符号，最后求出结果（乘除混合运算按从左到右的顺序进行计算）。
方法归纳
2.算式(－)÷( )＝－2中的括号内应填上 （ ）
A.－ B. C.－ D.
D
1.计算(－)÷(－7)的结果正确的是 （ ）
A.1 B.－1 C. D.－
C
3.填空：
（1）若a，b互为相反数，且a≠b，则＝ ___，2b＋2a＝_____；
（2）当a＜0时，＝_______；
（3）若a＞b，＜0则a，b的符号分别是_____________.
－1
0
－1
a＞0，b＜0
4.计算： （1）－÷(－2)； （2）－0.5÷×(－)；
（3）－7÷(－)÷(－)。
解:（1）原式＝×＝；
（2）原式＝××＝；
（3）原式＝－7××＝－。
5.计算:
（1） (－49)÷×÷(－16)；（2） (－4)÷[(－)÷(－)]。
解:（1）原式＝(－49)×××＝1；
（2）原式＝(－4)÷[(－)×(－2)]
＝(－4)÷＝(－4)×＝－。
除法法则一
有理数的除法
两个有理数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除.
0除以任何非0的数都得0.
除法法则二
除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数.

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