资源简介

2025-2026学年上海市浦东新区三林中学高一（下）期末数学试卷
一、单项选择题：本大题共4小题，共18分。
1.直线3x+2y+m=0与直线2x+3y-1=0的位置关系是（　　）
A. 相交 B. 平行 C. 重合 D. 由m决定
2.设z1，z2为复数，则是|z1|＞|z2|＞0的（　　）条件.
A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既非充分也非必要
3.已知向量满足与的夹角为，则的取值范围是（　　）
A. [0，+∞） B. [4，+∞） C. D.
4.在平面直角坐标系中，定义d（A，B）=max{|x1-x2|，|y1-y2|}为两点A（x1，y1），B（x2，y2）的“切比雪夫距离”，又设点P及l上任意一点Q，称d（P，Q）的最小值为点P到直线l的“切比雪夫距离”，记作d（P，l）.给出下列两个命题：
①对任意三点A，B，C，都有d（A，C）+d（C，B）≥d（A，B）；
②已知点P（3，1）和直线l：2x-y-1=0，则.
则下列正确的是（　　）
A. ①和②都是真命题 B. ①真②假 C. ①假②真 D. ①和②都是假命题
二、填空题：本题共12小题，每小题4分，共48分。
5.复数3-2i的虚部为 .
6.直线的倾斜角为 ．
7.若角α的终边过点P（4，-3），则tan（π-α）= .
8.复数6+5i与-3+4i分别表示向量与，则表示向量的复数为______．
9.点P（1，2）到直线3x+4y-6=0的距离为 .
10.已知与（2+b）i互为”共轭复数”，其中a,b∈R，i为虚数单位，则a+b的值为 .
11.已知向量，，则在上的投影向量的坐标为 .
12.已知 是纯虚数（i是虚数单位），则= ．
13.已知a，b∈R+，若直线x+2y+3=0与直线（a-1）x+by=2互相垂直，则ab的最大值等于______．
14.已知复数z1=cosx+2f（x）i，z2=（sinx+cosx）+i（x∈，i为虚数单位）．在复平面上，设复数z1，z2对应的点分别为Z1，Z2，若∠Z1OZ2=90°，其中O是坐标原点，则函数f（x）的最小正周期 ．
15.在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝2，点M为边AB的中点，点P在边BC上，则的最小值为______．
16.设全集U=C，A={z|||z|-1|=1-|z|，z∈C}，B={z||z|＜|z-1|，z∈C}，若，则复数z在复平面内对应的点形成图形的面积为 .
三、解答题：本题共5小题，共44分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
已知复数z1=a+i,z2=1-ai（a∈R，i是虚数单位）
（1）若z1-z2在复平面内对应的点落在第二象限，求实数a的取值范围；
（2）若z2是实系数一元二次方程x2-（a+1）x+n=0的一个虚根，记，求|z-i|的值.
18.(本小题8分)
已知直线l1过点A（2，1）且它的斜率为，直线l2：3x+ay=6.
（1）写出直线l1的方程，并求当a=-2时，l1与l2的夹角θ；
（2）若l1∥l2，求实数a的值，并求此时直线l1到直线l2的距离d.
19.(本小题8分)
已知复数z满足，z2的虚部为2．
（1）求复数z；
（2）设复数z、z2、z-z2在复平面上对应点分别为A、B、C，求的值．
20.(本小题8分)
已知向量.
（1）当时，求tan2x的值；
（2）设函数，已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a,b,c,若，求的取值范围.
21.(本小题12分)
直线l过点P（3，2）且与x轴、y轴正半轴分别交于A，B两点.
（1）若直线l与2x+3y-2=0的法向量平行，写出直线l的方程；
（2）求△AOB面积的最小值；
（3）如图，若，过点P作平行于x轴的直线交y轴于点M，动点E，F分别在线段MP和OA上，若直线EF平分直角梯形OAPM的面积，求证：直线EF必过一定点，并求出该定点坐标.
1.【答案】A
2.【答案】C
3.【答案】D
4.【答案】A
5.【答案】-2
6.【答案】60°
7.【答案】
8.【答案】9+i
9.【答案】1
10.【答案】1
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】π
15.【答案】-
16.【答案】
17.【答案】（-1，1）
18.【答案】直线l1的方程为x+2y-4=0，夹角 a=6，距离
19.【答案】解：（1）设z=x+yi（x，y∈R）,
由题意得z2=（x+yi）2=x2-y2+2xyi,
∴ ,
故或,
故z=1+i或z=-1-i；
（2）当z=1+i时，z2=2i，z-z2=1-i,
所以A（1，1），B（0，2），C（1，-1）,
所以=1-3=-2，
当z=-1-i时，z2=2i，z-z2=-1-3i，A（-1，-1），B（0，2），C（-1，-3）,
所以=1-3=-2．
综上，的值为-2.

20.【答案】
21.【答案】3x-2y-5=0 12 证明：由题意，设A（a，0），B（0，b），因为，点P（3，2），
即（3-a，2）=2（-3，b-2）=（-6，2b-4），
∴，即，∴A（9，0），B（0，3）．
过点P作平行于x轴的直线交y轴于点M，则M（0，2）．
直角梯形OAPM的顶点为O（0，0），A（9，0），P（3，2），M（0，2），
上底MP=3，下底OA=9，高为2，
梯形OAPM的面积S=12×（3+9）×2=12，
设动点E（c，2）（0≤c≤3），F（d，0）（0≤d≤9），
因为直线EF平分直角梯形OAPM的面积，所以四边形OEFM的面积为6，
四边形OEFM是梯形，其上底为ME=c，下底为OF=d，高为2，
所以，即d=6-c，
因此点F的坐标为（6-c，0），
直线EF经过点E（c，2）和F（6-e，0），其斜率，
则直线EF的方程为：，化简得，
去分母整理得c（y-1）-3y-x+6=0，
上式对任意c∈[0，3]恒成立，因此需满足，解得．
所以，直线EF必过定点，该定点坐标为（3，1）
第1页，共1页

展开更多......

收起↑