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2025-2026学年上海市长宁区高一（下）期末数学试卷
一、单项选择题：本大题共4小题，共12分。
1.下列函数中，最小正周期是π的是（　　）
A. B. C. y=tan2x D. y=|tanx|
2.若在△ABC中，“A＞B“是“sinA＞sinB“的（　　）条件
A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既非充分又非必要
3.已知A＞0，ω＞0，函数y=Asin（ωx+φ）的部分图像如图所示，则该函数的表达式是（　　）
A.
B.
C.
D.
4.如图，设Ox,Oy是两条射线，，，分别为与Ox,Oy同向的单位向量，称O和，一起构成了“α-仿射坐标系”；在α-仿射坐标系中，若，则称（m,n）为的坐标，表示为；现有以下几个命题：
①在仿射坐标系中，若，则；
②在α-仿射坐标系中，与平行的充要条件是x1y2=x2y1；
③在α-仿射坐标系中，若，且，且；
其中，真命题的个数是（　　）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
二、填空题：本题共12小题，每小题3分，共36分。
5.已知扇形的弧所对的圆心角为，且半径为2cm,则该扇形的面积是 cm2.
6.已知向量，，若，则m= ______．
7.已知α为第三象限角，，则= .
8.在△ABC，已知BC=1，，A=30°，则c= .
9.已sinα+cosα=，则sin2α= ______．
10.函数的定义域是 ．
11.若复数z满足（1-2i）=i,则z= .
12.已知，且，则在方向上的投影是 .
13.设点P是平面直角坐标系内的一个动点，它从初始位置P0（2，1）出发，绕原点按逆时针方向转动角后到达点P1，然后继续绕原点按逆时针方向转动角到达点P2；若P2的横坐标是，则P1的坐标是 .
14.已知cosα+2cosβ=1，则cosα+cos2β的取值范围是 .
15.如图，已知塔CD坐落在一座小山上，且垂直于地面；观察者在地面上的点B处测得仰角∠DBE=68°，∠CBE=43°，在EB延长线上的点A处测得仰角∠DAE=47°，并测得AB=10米，则塔CD的高大约是 米.（精确到0.01米）
16.已知平行四边形ABCD中，E，F分别是边BC，DC的中点，且AF=1，∠EAF=，则的最大值为 .
三、解答题：本题共5小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
已知，求sin（α+β）和cos（α-β）的值.
18.(本小题8分)
已知.
（1）若点O，A，B三点共线，求m的值；
（2）若∠AOB是钝角，求m的取值范围.
19.(本小题8分)
复数z和z2分别对应复平面上的向量和，点A在第一象限；已知，z2的虚部是6.
（1）求z；
（2）若点C为复平面内一点，且四边形OABC为平行四边形，求所对应的复数.
20.(本小题14分)
已知OPQ是以O为圆心，20米为半径的扇形舞台，且；现对舞台进行改造，要在扇形OPQ内做一个矩形可升降舞台ABCD，现有两种改造方案：
方案1：点A，B在线段OP上，点C在弧PQ上，点D在线段OQ上；
方案2：点A，D分别在线段OP，OQ上，点B，C在弧PQ上；
（1）若，采用方案1，设∠COB=θ，求可升降舞台ABCD面积的最大值以及此时θ的大小；
（2）若采用方案2，当升降舞台ABCD面积最大时，求ABCD的面积以及AB的长度（用α表示）.
21.(本小题14分)
已知函数y=sin（ωx+φ），实数.
（1）若该函数的最小正周期为π，函数图像经过点，求该函数的表达式；
（2）在（1）的条件下，若时，该函数与直线y=m有且仅有一个交点，求实数m的取值范围；
（3）若存在实数φ，使得函数在x∈（0，2π）上有且仅有2个零点，求ω的取值范围.
1.【答案】D
2.【答案】C
3.【答案】B
4.【答案】C
5.【答案】
6.【答案】3
7.【答案】
8.【答案】1或2
9.【答案】-
10.【答案】{x|x≠+，k∈Z}
11.【答案】
12.【答案】-
13.【答案】（，）
14.【答案】[，0]
15.【答案】11.79
16.【答案】
17.【答案】sin（α+β）=；
cos（α-β）=．
18.【答案】或-2 （-∞，-5-）∪（-5+，）∪（，+∞）
19.【答案】z=1+3i或z=3+i -7+9 i或11+7i
20.【答案】， ，
21.【答案】
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