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2025-2026学年上海市静安区高一（下）期末数学试卷
一、单项选择题：本大题共4小题，共24分。
1.已知，，，则的值为（　　）
A. 25 B. 7 C. 5 D. 1
2.在复平面上，O为坐标原点，设复数2+2i、-2+i所对应的点分别为A、B，则△OAB的面积为（　　）
A. 6 B. 3 C. 2 D. 1
3.对于以下四个命题：
①如果α是第一象限的角，那么也是第一象限的角；
②如果，且，那么；
③设z1、z2、z3∈C，如果z1≠0，且z1z2=z1z3，那么z2=z3；
④设a∈R，已知数列{an}的前n项和为，则数列{an}为等比数列的充要条件是a=-1.
其中真命题的个数是（　　）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
4.某实验室一天的温度y（单位：℃）随时间t（单位：h）的变化近似满足函数关系，t∈[0，24），其中t=0时表示凌晨0点.则从上午10点到晚上8点期间，该实验室的温度变化范围为（　　）
A. [8，10] B. [10，11] C. [9，12] D. [10，12]
二、填空题：本题共10小题，共52分。
5.若角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，终边过点（2，-4），则tanα= .
6.在复数集上，方程x2+2x+2=0的根是______．
7.化简：= .
8.某团体操队形由若干排组成，从第2排起，每一排都比前一排多相等数目的人数.若第3排有7个人，第8排有17个人，则第10排有 个人.
9.已知，则tan2α的值为 .
10.设数列{an}为等比数列，已知a4=-6，，则的值为 .
11.已知，则x的值为 .
12.已知向量，，设.则函数y=f（x）的值域为 .
13.已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且，n∈N*，则an= .
14.如图，在平行四边形ABCD中，AB=2，AD=1，∠BAD=60°，E是对角线的交点，点M、N满足.则的值为 .
三、解答题：本题共5小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知数列{an}的递推公式为
（1）求证：数列{an-1}为等比数列；
（2）求满足不等式an＞2026的整数n的最小值.
16.(本小题15分)
设复数z1=a+bi,z2=c+di,其中a、b、c、d∈R.
（1）若b=c=d=1，且为纯虚数，求a的值；
（2）若a=cosα，b=sinα，c=cosβ，d=sinβ，且z1z2的实部与虚部相等，求tan（α+β）的值.
17.(本小题15分)
如图所示，在某寄宿高中，标准篮球场的宽CD=15m,AB为学生宿舍楼的边沿，在篮球场与宿舍楼之间有一低矮建筑，使得人在篮球场上无法看到宿舍楼的底部B处.
某班数学老师给本班同学布置了以下课外作业：在篮球场上测量学生宿舍楼的高，要求只能在以下两件测量工具中选择一件完成作业.
①测距仪：能够测量观测点与目标点间的直线距离；
②测角仪：能够测量观测点到目标点的仰角.
（1）甲利用测距仪测得CA=40m,DA=30m,并据此计算出宿舍楼的高AB.请你写出甲的计算过程（结果精确到0.1m）；
（2）乙利用测角仪也完成了作业，请你写出乙的测量方案，并用假设的测量数据（字母表示）表示宿舍楼的高AB.
18.(本小题15分)
设.
（1）请写出函数y=f（x），x∈R的奇偶性、单调性、最大（小）值、周期性；（不必证明）
（2）请画出该函数在一个周期内的大致图像，写出函数图像的所有垂直于x轴对称轴方程，并说明理由.
19.(本小题16分)
（1）在平面直角坐标系xOy中，已知向量，.
①若，求实数k的值；
②若，求实数k的值.
（2）现将平面直角坐标系xOy中x轴保持不动，y轴以坐标原点O为中心旋转一个角，使得∠xOy=θ（0＜θ＜π且，这样，由平面向量基本定理，该平面内的任意向量都可以由x轴与y轴正方向上的单位向量与唯一地线性表示为，则我们称实数x、y所组成的有序实数对为向量在该斜坐标系xOy下的斜坐标，并表示为.在以上平面斜坐标系xOy中，已知向量，= k,12 ，θ=60°.
①若，求实数k的值；
②若，求实数k的值.
（3）请以（2）中的两个问题的条件为特例，写出两个更具一般性的结论.（不必证明）
1.【答案】C
2.【答案】B
3.【答案】C
4.【答案】D
5.【答案】-2
6.【答案】-1±i
7.【答案】1
8.【答案】21
9.【答案】
10.【答案】32
11.【答案】或，k∈Z
12.【答案】
13.【答案】2n-1
14.【答案】
15.【答案】证明：由an=2an-1-1得an-1=2（an-1-1）（n≥2）．
由a1-1=1，显然an-1-1＞0 （n≥2），
故．
所以数列{an-1}是以a1-1=1为首项，以2为公比的等比数列 12
16.【答案】-1 1
17.【答案】25.5m 在点C测得楼顶A的仰角为α，在点D测得楼顶A的仰角为β，则m
18.【答案】偶函数；在区间上单调递减；在区间上单调递增；最大值为3，最小值为1；最小正周期为π，
证明：因为，且x∈R，
故y=f（x）为偶函数；因为，2x∈[2kπ-π，2kπ]（k∈Z），
又y=cost在[2kπ-π，2kπ]（k∈Z）单调递增，且2+cost＞0，
所以y=2+cos2x在单调递增，且y=2+cos2x＞0，
故y=f（x）在上单调递减，
因为，2x∈[2kπ，2kπ+π]（k∈Z），
又y=cost在[2kπ，2kπ+π]（k∈Z）单调递减，且2+cost＞0，
所以y=2+cos2x在单调递减，且y=2+cos2x＞0，
故y=f（x）在上单调递增；由单调性可知，当x=kπ，k∈Z时，y=f（x）取得最小值1，
当时，y=f（x）取得最大值3；由y=cos2x的最小正周期，
则，
故y=f（x）的最小正周期为π周期函数 在一个周期内的大致图像如下：
对称轴为（k∈Z）．
证明：方法1：
=
=．
方法2：
=．
所以直线（k∈Z）为其对称轴
19.【答案】①k=-9；②k=16 ①k=-9；②k=30 已知斜坐标系下，，x，y轴的正向夹角为θ，
则有①；②
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