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2025-2026学年上海市青浦区高二（下）期末数学试卷
一、单项选择题：本大题共4小题，共18分。
1.抛掷一枚质地均匀的骰子一次，记事件A：出现偶数点，事件B：出现2点或3点，则事件A与事件B的关系为（　　）
A. 相互独立事件 B. 相互互斥事件
C. 既相互独立又相互互斥事件 D. 既不相互互斥又不相互独立事件
2.已知函数f（x）满足f′（x1）＞0，f′（x2）＜0，则在x1和x2附近符合条件的f（x）的图象大致是（　　）
A. B.
C. D.
3.设无穷正数数列{an}，如果对任意的正整数n,都存在唯一的正整数m,使得am=a1+a2+…+an.那么称{an}为“内和数列”，并令bn=m,称{bn}为{an}的“伴随数列”，给出下列三个命题：
①若{an}为等差数列，则{an}为内和数列；
②若{an}为等比数列，则{an}为内和数列；
③若内和数列{an}为严格增数列，则其伴随数列{bn}为严格增数列；
其中真命题的个数是（　　）
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
4.设P（x,y）为曲线C：上的任意一点，则|x-2y+2|的最大值为（　　）
A. B. 2 C. D.
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.直线2x-3y+3=0的斜率为 .
6.若圆柱的底面半径与高均为1，则其侧面积为 .
7.已知等差数列{an}中，a1=7，a2026=-6，Sn是数列{an}的前n项和，则S2026= .
8.某同学统计了从2000年到2024年中国代表队在历届奥运会获得金牌数如下（不含中国香港、中国台湾）：28，32，48，39，27，38，40，则这组数据的第75百分位数为 .
9.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E为棱DD1的中点，则异面直线AE与BC1所成角的大小为 .
10.在（x+）n的二项展开式中，第四项是常数项，则该常数项为______．
11.曲线在x=π处的切线方程是 .
12.若圆C：（x-1）2+（y+2）2=9上存在不同两点P、Q关于直线x+ay-3=0对称，则实数a= .
13.若将方程化简为的形式，则a+b= .
14.已知F是椭圆E：（a＞b＞0）的左焦点，经过原点O的直线l与椭圆E交于P，Q两点，若|PF|=5|QF|且∠PFQ=120°，则椭圆E的离心率为______．
15.双曲线型冷却塔的外形是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，如图所示，它的最小半径为24米，上口半径为26米，下口半径为40米.若半径最小的圆将冷却塔分成上、下两部分的高分别为h1、h2米，则= .
16.如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=2，，点M是线段AC一动点，若以M为圆心半径为1的圆与线段AC交于P，Q两点，则的取值范围为 .
三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题14分)
某学校组织全校学生进行了一次“两会知识知多少”的问卷测试，已知所有学生的测试成绩均位于区间[50，100]，从中随机抽取了40名学生的测试成绩，绘制得到如图所示的频率分布直方图.
（1）求图中a的值，并估算这40名学生测试成绩的平均数；
（2）现学校准备利用分层随机抽样方法，从[80，90）和[90，100]的学生中抽取7人组成两会知识宣讲团.从选定的7人中随机抽取2人对高一同学进行宣讲，设事件A为“至少有1人测试成绩位于区间[90，100]”，求事件A发生的概率.
18.(本小题14分)
已知等比数列{an}满足a1=1，a4=8.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若bn=log2an，从数列{bn}中依次取出第2项，第4项，第8项，…，第2n项，按原来顺序组成新数列{cn}，求使得不等式c1+c2+…+cn＞2026成立的最小正整数n的值.
19.(本小题14分)
如图，梯形ABCD是圆台O1O2的轴截面，E，F分别在底面圆O1，O2的圆周上，EF为圆台的母线，∠DO1E=60°，已知CD=4，AB=8，G，H分别为O2B，BF的中点.
（1）证明：平面CGH∥平面O1O2FE；
（2）若三棱锥C-GBH的体积为，求圆台O1O2的体积.
20.(本小题18分)
已知椭圆Γ：=1（a＞b＞0），其左焦点坐标为，且经过点T（2，1），O为坐标原点.
（1）求椭圆Γ的方程；
（2）设点N（1，0），点M在椭圆Γ上，求|MN|的最大值和最小值；
（3）点P在直线x+y=3上，过点P且与OT平行的直线l与椭圆Γ交于A，B两点.试探究：是否存在常数λ，使得恒成立；若存在，求出该常数的值；若不存在，说明理由.
21.(本小题18分)
定义：设y=f（x）和y=g（x）均为定义在R上的函数，它们的导函数分别为y=f′（x）和y=g′（x），若不等式[f（x）-g（x）][f′（x）-g'（x）]≤0对任意实数x恒成立，则称y=f（x）和y=g（x）为“相伴函数”.
（1）给出两组函数，①和g1（x）=0；②f2（x）=ex和g2（x）=x,分别判断这两组函数是否为“相伴函数”；
（2）若y=f（x），y=g（x）是定义在R上的可导函数，y=f（x）是偶函数，y=g（x）是奇函数，f（x）+g（x）=ln（e-x+1）+x,证明：y=f（x）和y=g（x）为“相伴函数”；
（3）证明：f（x）=sin（x+θ）和g（x）=cos（x-θ）为“相伴函数”的充要条件是θ=kπ+（k∈Z）.
1.【答案】A
2.【答案】D
3.【答案】B
4.【答案】C
5.【答案】
6.【答案】2π
7.【答案】1013
8.【答案】40
9.【答案】
10.【答案】160
11.【答案】
12.【答案】-1
13.【答案】25
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】[2，6]
17.【答案】解：（1）根据题意可得（0.015+0.020+a+0.025+0.010）×10=1，解得a=0.030，
所以这40名学生测试成绩的平均数为55×0.15+65×0.2+75×0.3+85×0.25+95×0.1=74.5；
（2）因为80，90]和[90，100]这两组的频率之比为0.25：0.1=5：2，
所以在[80，90]中抽5人，在[90，100]中抽2人，
设从[80，90]学生中抽取的5人为a,b,c,d,e,从[90，100]学生中抽取的2人为1，2，
则这个试验的样本空间为Ω={ab,ac,ad,ae,a1，a2，bc,bd,be,b1，b2，cd,ce,c1，c2，de,d1，d2，e1，e2，12}，
故n（Ω）=21，
又A={a1，a2，b1，b2，c1，c2，d1，d2，e1，e2，12}，则n（A）=11，
所以事件A的概率为．
18.【答案】 10
19.【答案】在梯形ABCD中，CD=4，AB=8，∴O1C∥O2B，，
又G为O2B的中点，∴，∴O1C∥O2G，O1C=O2G，
故四边形O1O2GC为平行四边形，∴OG∥O1O2，
又OG 平面O1O2FE，O1O2 平面O1O2FE，
∴CG∥平面O1O2FE．
∵G，H分别是O2B，BF的中点，
∴GH∥O2F．
又GH 平面O1O2FE，O2F 平面O1O2FE，
∴GH∥平面O1O2FE．
又CG∩GH=G，CG 平面CGH，GH 平面CGH，
∴平面CGH∥平面O1O2FE
20.【答案】+=1 | MN|的最大值为，最小值为
21.【答案】第①组是，第②组不是 f（-x）+g（-x）=ln（ex+1）-x，f（-x）=f（x），g（-x）=-g（x），
所以f（x）-g（x）=ln（ex+1）-xln（ex+1）＞ln（ex）=x，
所以f（x）-g（x）＞0，f′（x）-g′（x）=[ln（ex+1）-x]′=＜0，
因此[f（x）-g（x）][f'（x）-g'（x）]≤0成立，即y=f（x）和 y=g（x）为“相伴函数” 充分性：已知则，，
此时f（x）=g（x），所以[f（x）-g（x）][f'（x）-g'（x）]=0，即[f（x）-g（x）][f'（x）-g'（x）]≤0成立，
y=f（x）和 y=g（x）为相伴函数
必要性：已知y=f（x）和 y=g（x）为相伴函数，f′（x）=cos（x+θ），g′（x）=-sin（x-θ），
所以[sin（x+θ）-cos（x-θ）][cos（x+θ）+sin（x-θ）]≤0，
sin（x+θ）cos（x+θ）-sin（x-θ）cos（x-θ）-[cos（x+θ）cos（x-θ）-sin（x+θ）sin（x-θ）]≤0，，
cos2xsin2θ-cos2x≤0，即cos2x（sin2θ-1）≤0，由于cos2x取遍[-1，1]内的所有实数，
因此当且仅当sin2θ-1=0时成立，所以，
所以“y=f（x）和y=g（x）为相伴函数”的充要条件是
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