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浙江宁波市三锋联盟2025-2026学年高一下学期6月期末练习数学试题
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知，则点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
2.复数的共轭复数为( )
A. 1+2i B. 2+i C. -1+2i D. -2-i
3.如图，用斜二测画法作出的直观图，若，则（）

A. B. C. D.
4.一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的8 个白球和若干个红球，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，经过大量重复实验后，发现摸到红球的频率稳定在0.6，则袋中约有红球（）
A. 8 个 B. 10 个 C. 12 个 D. 14 个
5.设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
6.已知甲箱内放有形状、大小、质地都相同的6 张卡片，分别写有数字1,2,3,4,5,6，从甲箱内有放回地依次抽出两张卡片，记录卡片上的数字，记“两张卡片上数字都是奇数”为事件，“两张卡片上数字都是偶数”为事件，“两张卡片上数字之积为偶数”为事件，“两张卡片上数字之和为奇数”为事件，则（）
A. 事件与是对立事件 B. 事件与互斥
C. 事件与是对立事件 D. 事件与互斥但不对立
7.如图所示，为测量一条河流的宽度，选取了与河宽在同一垂直平面内的两个观测点，，利用无人机在点处测得河岸点的俯角为，河岸点的俯角为，无人机沿方向飞行千米到达点，测得河岸点的俯角为，则（ ）
A. 千米 B. 千米
C. 千米 D. 千米
8.某中学开展劳动实习，学习制作模具加工，现将一个圆台加工成一个球体．已知圆台的上、下底面的半径之和为6，母线长为8，且母线与底面所成的角为，则得到的球的表面积的最大值为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知向量，，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 当时，在上的投影向量为
10.已知一组数据，，，…，（），则下列说法正确的是（ ）
A. 该组数据的极差为
B. 该组数据的70%分位数为
C. 剔除，后得到的新数据的平均数小于原数据的平均数
D. 剔除，后得到的新数据的方差小于原数据的方差
11.如图，在棱长为的正方体中，、分别是、的中点，是线段上的一动点，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 过点、、的平面截该正方体所得的截面面积为
C. 点到平面的距离为定值
D. 当直线与平面所成角的正弦值取得最大值时，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知随机事件A与B对立，B与C相互独立，若P（A）=0.4，P（C）=0.3，则P（BC）= .
13.已知三棱锥的所有棱长均相等，E为的中点，点Q在上（不同于点E），则异面直线与所成角的大小为 ．
14.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且3a＝bcos C-ccos B，则 ，cos A的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知是虚数单位，表示的共轭复数，复数满足
(1)求的值；
(2)在复平面内，若对应的点在第三象限，求实数的取值范围.
16.(本小题15分)
如图，在梯形中，为线段上靠近点的三等分点，为线段的中点.
(1) 用向量表示；
(2) 若，求.
17.(本小题15分)
记锐角三角形的内角，，的对边分别为a，b，c，已知，．
(1)求；
(2)求的最大值．
18.(本小题17分)
某企业以“庆祝春节，迎接新年”为主题的职工歌手大赛决赛如期举行，满分100分，共有100人参赛，将参赛歌手的成绩分成如下五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到如图所示的频率分布直方图.
(1)根据频率分布直方图，求的值及参赛歌手的平均成绩（同一组数据用该组区间的中点值作代表）；
(2)根据频率分布直方图，求参赛歌手成绩的分位数；
(3)从参赛成绩在和的歌手中，采用分层随机抽样方法抽取6名歌手，再从抽取的这6名歌手中随机抽取2名歌手，求这2名歌手比赛成绩在和内各1人的概率.
19.(本小题17分)
如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，，，点E是棱CD上的一点（不同于C，D两点）.
(1)求证：平面平面PCD；
(2)若，求二面角的正切值；
(3)若直线PB与平面PAE所成角的正弦值为，求DE的长.
1.【答案】C
2.【答案】B
3.【答案】B
4.【答案】C
5.【答案】D
6.【答案】C
7.【答案】D
8.【答案】B
9.【答案】ACD
10.【答案】AD
11.【答案】AC
12.【答案】0.18
13.【答案】
14.【答案】3 ；
15.【答案】解：（1）令且，
则，
所以，
则，可得，
所以，则；
（2）由，
故对应点在第三象限，
则，所以，
即.
所以实数的取值范围为 .

16.【答案】解:(1)由题意可知=3,==2,
=-=-(++)
=-(2+)=--,
所以=+
=2--
=-.
(2)因为DCAB,D=,所以DAB=,
因为=+=+3,AB=1,AD=,
所以
=(-)(+3)
=3--
=3-1-
=.
17.【答案】解：（1）因为，所以，
又为锐角三角形，故，则，
因为，所以，
又，故；
（2）由正弦定理得，
则，，
由（1）知，则，
所以
，
因为为锐角三角形，
所以，所以，
所以，
所以当时，即时，取得最大值．

18.【答案】解：（1）第一至第五组对应的频率分别为，，
，，，
所以，解得，
所以参赛歌手的平均成绩为分；
（2）由，，
得参赛歌手成绩的分位数为分，
（3）由，得这6人中参赛成绩在的人数为人，分别记为，，，；在的人数为人，分别记为，，
在这6个人中抽取2个人，共，，，，，，，，，，，，，，，15个样本点，
这2名歌手比赛成绩在和内各1人，
共，，，，，，，，8个样本点，
故这2名歌手比赛成绩在和内各1人的概率为.

19.【答案】解：（1）证明：因为，，，
所以，，
由余弦定理得，
所以，所以，
因为平面ABCD，平面ABCD，所以，
又，PA，平面PAC，因此平面PAC，
而平面PCD，所以平面平面PCD.
（2）取PC的中点F，过点F作，垂足为G，连接AF，AG，如图所示.
因为，所以，，，
由（1）知平面PAC，而PC，平面PAC，所以，，
因为，CD，平面PCD，
所以平面PCD，又平面PCD，所以，
因为，，AF，平面AFG，
所以平面AFG，又平面AFG，所以，
所以为二面角的平面角.
因为，所以，，
所以，
所以，所以，
所以二面角的正切值为3.
（3）在平面ABCD内，过点B作，垂足为O，连接PO，如图所示.

因为平面ABCD，平面ABCD，所以，
又，PA，平面PAE，所以平面PAE，
所以为直线PB与平面PAE所成的角.
所以，解得，
所以，所以，，
所以，
又在中，由正弦定理得，
所以.

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