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广东茂名市2025-2026学年高一下学期5月期中考试
数学试题
一、单选题
1．已知复数，，则（ ）
A． B．1 C． D．
2．为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有点（ ）
A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度
3．在中，，，，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知复数满足，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．
6．已知，，，则在方向上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
7．函数（，，）的部分图象如图所示，将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则（ ）
A． B．1 C． D．
8．已知是边长为2的等边三角形，AB是圆M的直径，若点P为圆M上一动点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．在下列各组向量中，不可以作为基底的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
10．已知，是复数，则下列说法正确的有（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．
三、单选题
11．如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在秒时相对于平衡位置的高度厘米由关系式确定，其中，，，小球从最低点出发，经过2秒后，第一次回到最低点，则下列说法中正确的是（ ）
A．
B．秒与秒时小球偏离平衡位置的距离之比为2
C．当时，若小球有且只有三次到达最高点，则
D．当时，若时刻小球偏离平衡位置的距离相同，则
四、填空题
12．设点，，P是直线上一点，当时，点的坐标为________.
13．如图，在中，已知弦，则________.
14．设，是关于的方程的两个虚数根，若，，2在复平面内对应的点构成直角三角形，则________.
五、解答题
15．已知向量与的夹角为，且.
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求向量与向量的夹角.
16．在中，角的对边分别为，已知.
(1)求角的大小；
(2)若，，求的面积；
(3)若，求周长的取值范围.
17．已知是虚数，，，且.
(1)求的值和的实部的取值范围；
(2)求证：为纯虚数；
(3)求的最小值.
18．图1所示的是一段根据正弦曲线设计安装的过山车轨道，建立平面直角坐标系，如图2，h（单位：）表示在时间t（单位：）时，过山车（看作质点）离地平面的高度，轨道最高点P距离地平面，最低点Q距离地平面，当时，过山车到达最高点P，当时，过山车到达最低点Q，设（，，）.
(1)求A，B，，的值；
(2)求入口处M离地平面的高度；
(3)求一个周期内过山车距离地平面的高度不大于的时长.
19．如图，设Ox、Oy是平面内相交成角的两条数轴，、分别是与Ox、Oy正方向同向的单位向量，定义平面坐标系xOy为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记.
(1)在仿射坐标系中，若，求；
(2)在仿射坐标系中，若，，且与的夹角为，求；
(3)如图所示，在仿射坐标系中，B、C分别在x轴、y轴正半轴上，，，E、F分别为BD、BC中点，求的最大值.
参考答案
1．B
【详解】∵ ，， ∴ .
∵ ，，∴ .
∴ .
∴ .
2．D
【详解】∵ 目标函数为，可变形为，此式是将中的替换为得到.
∴ 要得到的图象，只需将的图象上所有点向左平移个单位长度.
3．A
【详解】由题意得，
又，所以.
故选：A
4．A
【详解】由，，得，
因为，所以，解得，
所以，则.
5．C
【详解】设，则，
计算可得，
所以，计算可得，
所以.
6．B
【详解】在方向上的投影向量为.
7．B
【详解】由图象可知，函数的最大值为2，因为，所以.
，所以. 又，，所以.
所以.
将代入解析式，得，所以，
则，则，又，所以.
因此.
将的图象向右平移个单位长度得到.
所以.
8．A
【详解】以的中点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系.
∵ 是圆的直径，且为边长为的等边三角形，
∴ ，
设圆上动点，，
∴ ，，
∴
.
∵ ，
∴ ，
即的取值范围为.
9．ACD
【详解】若两个向量可以作为基底，则两个向量需为不共线的非零向量.
对选项A，∵ 为零向量，零向量与任意向量共线，∴ 不能作为基底.
对选项B，∵ ，计算得 ，∴ 与不共线，可作为基底.
对选项C，∵ ，计算得 ，∴ 与共线，不能作为基底.
对选项D，∵ ，计算得 ，∴ 与共线，不能作为基底.
综上，不可以作为基底的是ACD.
10．ACD
【详解】对于A选项：设 ，∵ ，∴ .
∴ .
又∵ ，∴ ，故A正确.
对于B选项：取，，此时，但，故B错误.
对于C选项：∵设 ， ，且，∴ ，
∴ 虚部，即，∴ ，故C正确.
对于D选项：由复数模的运算性质可知，对任意两个复数，均满足，故D正确.
11．B
【详解】由题，小球运动的周期，又，所以，解得，
当时，，即，，所以，
则，故A错误；
因为，，
所以秒与秒时小球偏离平衡位置的距离之比为，故B正确；
若，则，又当时，小球有且只有三次到达最高点，
所以，解得，即，故C错误；
因为，令，，
则，，
满足且时刻小球偏离平衡位置的距离相同，
此时，故D错误.
故选：B
12．
【详解】设点，则，.
由，得，解得.
所以点的坐标为.
13．2
【详解】过点作，垂足为，则为的中点，
则.
14．20
【详解】由题意知，，所以.
解方程，得.
所以，，
在复平面内对应的点为，，点.
若为直角顶点，，，
，解得（不合题意，舍去）.
若为直角顶点，，，
，解得（不合题意，舍去）.
若为直角顶点，，，
，解得，满足.
综上，.
15．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）因为向量与的夹角为，且，
则.
（2）因为向量与的夹角为，且，且.
可得.
（3）设向量与向量的夹角为，
可得，
因为，可得，所以向量与向量的夹角为.
16．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）∵ 在中，由正弦定理得（为外接圆半径）.
∴ ，.
代入得.
∵ ，∴ ，
两边同时约去，得，即.
又∵ ，∴ .
（2）∵ ，，，
由余弦定理得，
代入得，
即，整理得.
解得或（边长为正，舍去）.
∴ 的面积.
（3）由余弦定理得，
即.
由基本不等式得，当且仅当时等号成立，
∴ ，
∴ ，即，当且仅当时等号成立.
又∵ 三角形两边之和大于第三边，∴ ，
∴ ，
∴ 的周长.
17．(1)，的实部.
(2)证明见详解.
(3)最小值为1.
【详解】（1）设，且，则 .
因，得出为实数，那么，.
.
，因为，所以，.
（2）证:，且(1)得.
因此为纯虚数.
（3）由上题得，，，那么.
设，那么 .
其最小值在时取得，即，因为，所以，
因此时取得最小值且最小值为.
18．(1)，，，；
(2)；
(3)
【详解】（1）∵ 高度最大值为，最小值为，
∴ ，解得，.
∵ 从最高点到最低点的时间间隔为半个周期，
∴ ，即，∴ .
∴ .
将，代入得，即，
∴ .∵ ，∴ .
（2）由（1）知，
入口处对应，∴ .
即入口处离地面高度为.
（3）令，即，化简得.
函数周期，取一个周期，则.
由，得，即，
解得.
∴ 时长为.
19．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）由题意可知，、的夹角为，
∴
∵，则，
∴
∴.
（2）由，，得：，，
∴
则，
∵与的夹角为，
∴
解得.
（3）依题意设、，且，，
∵为的中点，
∴
∵为中点，同理可得：
∴
由题意可知，，，
∴
在中依据余弦定理得：
代入上式得：
在中，由正弦定理：
设，则，且，
∴，
，其中为锐角，且，
∵，则，
故当时，取最大值，

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