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2025-2026学年广东省汕头市濠江区金南实验学校高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.设集合A={1，3，5，7}，B={x|x2＜10}，则A∩B=（　　）
A. {0，2} B. {1，3} C. {5，7} D. {1，3，5，7}
2.已知复数z满足iz=3+5i（i为虚数单位），则z在复平面内对应的点位于（　　）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.已知等差数列{an}中，a5=10，其前n项和为Sn，则S9=（　　）
A. 80 B. 90 C. 100 D. 110
4.若一个等比数列的前3项和等于3，前6项和等于-21，则该等比数列的第4项等于（　　）
A. 16 B. 8 C. -4 D. -8
5.已知x=1函数f（x）=x3-3ax+3的极小值点，那么函数f（x）的极大值为（　　）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
6.在一次社区志愿服务活动中，由甲、乙、丙、丁4名志愿者负责物资分发、秩序维护、便民讲解三个服务岗位，每名志愿者只负责一个岗位，且每个服务岗位至少有一名志愿者负责.若甲、乙两人不负责同一个服务岗位，则不同的安排方案共有（　　）
A. 18种 B. 24种 C. 30种 D. 36种
7.李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时30min,样本方差为36；骑自行车平均用时34min,样本方差为4.假设坐公交车用时X（单位：min）和骑自行车用时Y（单位：min）都服从正态分布，正态分布N（μ，σ2）中的参数μ用样本均值估计，参数σ用样本标准差估计，则（　　）
A. P（Y＜30）＜P（Y＞45）
B. 若某天只有34min可用，李明应选择自行车
C. P（X＜24）＜P（Y＞35）
D. 若某天只有40min可用，李明应选择公交车
8.已知函数f（x）和f′（x）定义域为D=（-∞，0）∪（0，+∞），f（x）为偶函数，且对任意实数x∈D，都有xf′（x）-2f（x）＞0恒成立，f（1）=2，则不等式f（x-1）＞2x2-4x+2的解集为（　　）
A. （-∞，0）∪（2，+∞） B. （0，2）
C. （0，1）∪（1，2） D. （-∞，0）
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知，则下列结论正确的是（　　）
A. a0=1 B. a3=280
C. a1+a2+a3+ +a7=-1 D. a1+2a2+3a3+ +7a7=-14
10.已知函数f（x）=x3-ax+2（a∈R），则下列说法正确的是（　　）
A. 当a＜0时，函数f（x）不存在极值点
B. 当a=3时，函数f（x）有三个零点
C. 点（0，2）是曲线y=f（x）的对称中心
D. 若y=2x是函数f（x）的一条切线，则a=1
11.已知数列{an}的前n项和为Sn且an+1=2Sn+1，bn=log3an+1，则下列说法正确的是（　　）
A. 数列{an}为等比数列
B. 若a1=1，在an与an+1之间插入n个数使这n+2个数组成一个公差为dn的等差数列，则
C. 若，则数列{cn}的前2026项的和为
D. 若a1=1，在数列{an}的ai和ai+1项之间插入i个数，使得这i+2个数成等差数列，其中i=1，2，3，…，n,将所有插入的数由小到大组成新数列{en}，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.的展开式中x2y6的系数为______（用数字作答）.
13.从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，用X表示所选3人中女生的人数，则E（X）= .
14.用1，2，3，4组成四位数，数字i最多用i次，其中i=1，2，3，4，则满足条件的四位数共有 个.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别是a,b,c,.
（1）求角A；
（2）若a=1，，c＞b,求AB边上的高.
16.(本小题15分)
如图1，等腰直角△ABC的斜边BC=4，D为BC的中点，沿BC上的高AD折叠，使得二面角B-AD-C为60°，如图2，M为CD的中点.
（1）证明：BM⊥AC；
（2）求平面MAB和平面DAB所成角的余弦值.
17.(本小题15分)
某公司升级了智能客服系统，在测试时，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为；当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为.已知输入的问题表达不清晰的概率为.每次回答是否被采纳相互独立.
（1）求智能客服的回答被采纳的概率；
（2）在某次测试中输入了3个问题，设X表示智能客服的回答被采纳的次数，求X的分布列及期望、方差；
（3）公司为了测试该系统是否值得推广，随机抽取了10个问题，智能客服的回答每被采纳1次计10分，不采纳则不计分.记被采纳的回答数的总得分为Y，若E（Y）≥75，则推广该系统.试推断该系统是否会得到推广，请说明理由.
18.(本小题17分)
已知F为抛物线C：y2=2px（0＜p＜4）的焦点，点P在抛物线C上，且点P的纵坐标为2，以线段PF为直径的圆与直线相切.
（1）求抛物线C的方程；
（2）设直线l交抛物线C于A，B两点，作PD⊥l于点D.若直线PA，PB的斜率之积为1，则是否存在定点R，使得|DR|为定值？若存在，求出点R坐标；若不存在，请说明理由.
19.(本小题17分)
已知函数f（x）=ax-2lnx.
（1）当a=2时，求函数f（x）的最小值；
（2）试讨论函数f（x）的单调性；
（3）当x＞1时，不等式f（x）＜（x-2）lnx+2x+a-1恒成立，求整数a的最大值.
1.【答案】B
2.【答案】D
3.【答案】B
4.【答案】D
5.【答案】D
6.【答案】C
7.【答案】C
8.【答案】A
9.【答案】AD
10.【答案】ACD
11.【答案】BCD
12.【答案】-28
13.【答案】1
14.【答案】175
15.【答案】
16.【答案】翻折前，由等腰三角形的性质知AD⊥BC，
翻折后，AD⊥BD，AD⊥DC，
所以∠BDC是二面角B-AD-C的平面角，即，
又BD∩CD=D，BD 平面BDC，CD 平面BDC，
所以AD⊥平面BDC，
所以AD⊥BM，
翻折前，D为BC的中点，所以BD=DC，
又，
所以△BDC是等边三角形，
而M为CD的中点，所以BM⊥DC，
又AD∩DC=D，AD 平面ADC，DC 平面ADC，
所以BM⊥平面ADC，
所以BM⊥AC
17.【答案】 ，，
X 0 1 2 3
P
会得到推广，因为E（Y）=80＞75
18.【答案】y2=2x 存在定点R，其坐标为（1，0）．理由如下，
由（1）知，P（2，2）．易知直线l斜率不为0，设l方程为x=ty+m．
直线l交抛物线C于A，B两点，
由，得y2-2ty-2m=0．
设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=2t，y1y2=-2m．
∵直线PA，PB的斜率之积为1，
∴．
因此（y1+2）（y2+2）=4，y1y2+2（y1+y2）+4=4，-2m+4t=0，m=2t．
于是直线l方程为x=t（y+2），由此可得直线l过定点G（0，-2）．
∵PD⊥l于点D，∴△PGD为直角三角形，其中GD⊥DP．
设R为线段GP的中点，则为定值．
∵P（2，2），G（0，-2），∴PG中点坐标为（1，0），
∴存在定点R，其坐标为（1，0），使得|DR|为定值
19.【答案】2．
当a＞0时，f（x）的单调递减区间是，单调递增区间是；
当a≤0时，f（x）的单调递减区间是（0，+∞），无单调递增区间．
4．
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