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承德市第一中学等校2025-2026学年高二下学期5月期中联考
数学试题
一、单选题
1．（ ）
A．24 B．48 C．72 D．96
2．设函数，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．若随机变量服从正态分布，且，则（ ）
A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4
4．现有一支200人的队伍，从中先选取50人组成A方队，再从剩下150人中选取100人组成B方队，则不同的排法总数为（ ）
A． B． C． D．
5．现对电商直播的受众进行分析，挑选500名消费者进行问卷调查，得到如下结果：
30岁及以下 30岁以上
男 154 60
女 196 90
记由上表所得消费者性别与年龄的卡方为，则（ ）
附：，.
A． B．
C． D．
6．已知曲线在其上一点处的切线与轴交于点，则的最大值为（ ）
A． B． C．1 D．
7．设，，，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知正整数p，q互素，且，则（ ）
A．2071 B．2143 C．2219 D．2307
二、多选题
9．若，则（ ）
A． B． C． D．
10．若复数满足，则（ ）
A．可能为实数 B．可能为纯虚数
C．当的实部取得最大值时，为实数 D．当的虚部取得最大值时，不为纯虚数
11．对于维向量，，，，二者夹角的余弦值现有一组点，设，，记，，已知这组点由最小二乘法所得的经验回归方程为和，若，称这组点的线性相关性弱，反之则称这组点的线性相关性强，则（ ）
附：，，，.
A． B．在上的投影向量为
C． D．这组点的线性相关性弱
三、填空题
12．已知随机变量的分布列如表，
0 1 2 3 4
则______.
13．若的展开式中的系数是系数的，则展开式中的系数为_____.
14．设函数 ，若，则的最大值为______；当取得最大值时，_____.
四、解答题
15．一个盒子内有6个白球，3个红球，它们除颜色外完全相同，每次从盒子里随机抽出一个小球并记录.
(1)若抽出小球后不放回，求第二次抽到白球的概率；
(2)若抽出小球后放回盒子，记抽取6次后记录次白球，求.
16．已知函数 ，.
(1)求的单调区间；
(2)证明：.
17．设，已知，是方程的两个不同的解．
(1)求；
(2)求；
(3)若，求复数虚部的平方．
18．现有一处鱼塘，要进行合理养殖与合理捕捞.
(1)若鱼塘中有600尾鱼，第一次打捞30尾鱼后进行标记后放回鱼塘（该标记不会在短期损坏），第二次随机打捞20尾鱼，求这20尾鱼中至少有一尾鱼有标记的概率；（用组合数的式子表示）
(2)现进行养殖.
（i）假设当鱼塘中鱼的尾数为时，年增长量为，捕捞量为，受到环境制约，考虑简单模型，且为常数.当 时，给出合理的，使得下一年的鱼群数目达到能使年增长量最大的水平；
（ii）当鱼塘中鱼的尾数为时，第一次打捞30尾鱼后进行标记后放回鱼塘，第二次随机打捞25尾鱼后有1尾有标记，试给出的估计值（以使得仅1尾有标记的概率最大的的值作为的估计值）.
19．已知函数.记曲线在处的切线为.
(1)当时，求的方程；
(2)证明：函数 在上单调递减；
(3)当时，证明：曲线与有且仅有一个公共点.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A D B A C B C ABD ABD
题号 11
答案 AC
1．D
【详解】.
2．A
利用导数在处的定义，与导函数在处导数值相等即可求解.
【详解】==，
而，所以，.
3．D
根据题意结合正态分布的对称性分析求解.
【详解】因为服从正态分布，且，
则，即正态曲线关于直线对称，
所以，
又，
所以.
4．B
根据分步乘法计数原理，结合排列数适用于有顺序要求的排法场景，分两步计算总排法数即可.
【详解】第一步：从200人中选取50人组成A方队，考虑站位顺序，共有种排法；
第二步：第一步选取后剩余人，从中选取100人组成B方队，考虑站位顺序，共有种排法；
根据分步乘法计数原理，总排法数为两步排法数的乘积，即.
5．A
对列联表各位置数值赋值后代入卡方公式计算结果，再与临界值比较即可得到答案.
【详解】首先对列联表参数赋值：
，，，，总样本量.
将参数代入卡方计算公式，
分步计算：
：，，故；
；
；
代入得.
6．C
先设出切点坐标，根据导数的几何意义求出切线方程，再结合切线过点得到关于切点横坐标的表达式，最后通过求导研究该表达式的单调性，进而求出的最大值.
【详解】设切点坐标为 ，
因为 ，所以，所以切点处的切线斜率 ，
由点斜式得切线方程为：
令，代入切线方程可得纵截距：
，
设函数 ，则，
令，由于恒成立，解得，
当时，，所以在上单调递增，
当时，，所以在上单调递减，
因此为的最大值点，
最大值为 ，即的最大值为.
7．B
根据式子的组成构造函数，利用导数研究函数的单调性进而比较大小.
【详解】因为，，，
考虑构造函数，求导得，，
当，当
所以函数在单调递增，在单调递减.
所以，，，而,
显然，,
所以.
8．C
先根据组合数的性质对进行化简，再结合二项式定理求出其值，最后根据，互素求出，的值，进而得到的值.
【详解】由组合恒等式：，
令 ，得：，
代入原式，
令 ，则 ， 的取值范围为 ，
所以，
由二项式定理得，令 ，得：，
因为 与 互素，故 ，，
所以 .
9．ABD
可通过二项展开式通项计算各次项系数，也可通过赋值法快速求解特定系数组合的值.
【详解】对于A，的系数仅来自的最高次项，即，故A正确；
对于B，令代入原式计算，得，故B正确；
对于C，，，，即，故C错误；
对于D，令代入原式，左边为，右边为，故，D正确.
10．ABD
本题设复数，利用复数模的公式化简得到$a，b$满足的二元二次方程，再分别令、，通过判别式判断方程有解，验证A、B选项成立；接着对方程配方得到圆的标准形式，用三角换元表示，据此求出、的最大值并验证取等条件下是否为实数、纯虚数，进而判定C错误、D正确.
【详解】对于A，设，由题设得.
于是.
当时，，
显然方程有实数解，则可能为实数，故A正确；
对于B，当时，，
显然方程有实数解，且解不为0，则可能为纯虚数，故B正确；
对于C，因为
所以即，
可设，所以.
当且仅当时等号成立，此时，不为实数，故C错误；
对于D，由C项分析，知，当且仅当时等号成立，
此时，不为纯虚数，故D正确．
11．AC
对于A，根据样本中心点过，再联立得到，对于B，在上的投影向量为，又即可判断；对于C，根据向量夹角的定义可得 ；对于D，由，再结合题意判断即可．
【详解】已知经验回归方程为和，
设，
，解得，则，故A正确；
在上的投影向量为，
，
，
而回归方程中，中，二者不相等，
因此投影向量为，B错误；
相关系数，
，
所以 ，C正确；
由回归方程中，中，，
， ，
所以这组点的线性相关性强，D错误．
12．/
根据分布列的性质求得，根据数学期望的计算公式求得
【详解】根据分布列的性质，所有概率之和为1，得,,
由离散型随机变量数学期望的定义，
.
13．8
将原式拆分为两个二项式展开式的和，分别求出指定项的系数，根据系数比值求得n，再计算的系数即可.
【详解】，
二项式的通项公式为：，
所以的系数为，
的系数为，
由题意，
所以，又，
所以，
所以，
解得或（舍去），所以的系数为.
14．
先利用特殊值得到的最大值，再证明等号可取，从而得出的值.
【详解】由题可知，对任意恒成立，取特殊值，代入函数有
，即的最大值不超过.
若，则
原不等式转化为：
令，则，代入不等式，有
令，则对任意恒成立，且，故是的极小值点，所以.
因为，
所以
验证：将代入得
所以
当
，
即在单调递减，在，单调递增.
所以在处取得极大值
故
所以当时，又
故当时，即函数单调递减；
当时，即函数单调递增；
所以在处取得最小值，即恒成立，符合条件.
15．(1)
(2)
（1）利用全概率公式，按第一次抽取的颜色分类计算第二次抽到白球的概率即可；
（2）先判断服从二项分布，再利用二项分布期望公式求解即可．
【详解】（1）记“第一次抽到白球”为事件A，“第一次抽到红球”为事件，“第二次抽到白球”为事件B，
由题意，，
由全概率公式可得，．
（2）由题意，每次抽到白球的概率为，
因为是放回抽取，共抽取6次，
所以记录的白球次数服从二项分布，即，
因此 .
16．(1)的减区间为，的增区间，.
(2)由题设，设，
则，故在上为增函数，
而，
故当时，；当时，，
的减区间为，增区间为.
若，则，故；
若，则，故；
若，则，故；
综上，，当且仅当时等号成立.
（1）求出，讨论其符号后可得原函数的单调性；
（2）利用导数讨论的单调性，再就、、分类讨论后可证题设中的不等式.
【详解】（1），
故当或时，；当时，，
故的减区间为，的增区间为，.
（2）略
17．(1)
(2)，
(3)
【详解】（1）．
（2）是方程的解，，即
，，.
（3）由（2）可得，设，
代入，得，
，由②可得，代入①式得，
于是，故．
18．(1)
(2)（i）当时，鱼群的数目增长情况良好. （ii）的估计值为或.
（1）根据古典概型的概率公式可求题设中的概率；
（2）（i）根据时取最大值可得；（ii）利用不等式法可求的估计值.
【详解】（1）设为“这20尾鱼中至少有一尾鱼有标记”，则.
（2）（i）由题设年增长量为，
当时，年增长量取最大值，
令，则，
故当时，鱼群的数目增长情况良好.
（ii）设，由题设仅1尾有标记的概率为，
令，则，而，
故，故的估计值为或.
19．(1)
(2)，求导得
，
换元，令，则，，只需证 ，
即证明，令，求导得，
二次求导得 （定义为函数的导函数），所以在上增，而，
所以在为负，为正，所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，取最小值时，所以，对恒成立，且只在处，
所以在上单调递减.
(3)，，
所以，而 ，
所以切线方程为，即，
令，易知 ，
下面分别证明时，，
设函数，
，且只在孤立的点为0，所以在上增，所以时，，
即，所以时，,
当时，，所以 ，
所以，
令 ，
，当时，，
所以，所以，
当时，由（2）可知， ，
即 ，两边同乘x得，
所以，
换元，令，因为，所以，
令 ，则 ，
而 （定义为函数的导函数），所以在上单调递增，所以当时， ，
所以在上单调递减，所以 ，所以 ，
所以只有唯一零点，所以与直线有唯一公共点.
（1）先求导，进而求出切线的斜率，根据直线方程的点斜式即可求出切线方程.
（2）求导，通过换元证明导函数在定义域内为负，即可证明递减.
（3）设，先证时没有零点，利用，只需证，再利用即可证明；当时，利用第二问结论，再乘x，得，代入，只需证，通过换元，二次求导即可证明.
【详解】（1），求导得，
所以，而，
所以切线方程，即.
（2）略

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