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2025-2026学年天津市教育科学研究院附属滨海泰达中学高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共9小题，共45分。
1.下列函数求导正确的是（　　）
A. （cosx）′=sinx B. （ln2）′=
C. （x4）′=x3 D. （2x）′=2xln2
2.从A，B，C，D，E，F中任选三个字母，所有的选法有（　　）
A. 6种 B. 10种 C. 20种 D. 720种
3.=（　　）
A. 55 B. 57 C. 100 D. 110
4.曲线y=3x2在点（-1，3）处的切线的方程为（　　）
A. 3x-y+3=0 B. 6x+y+3=0 C. 6x-y-3=0 D. x-6y-3=0
5.在（x-）4的二项展开式中，第二项的系数为（　　）
A. 4 B. -4 C. 6 D. -6
6.某同学通过计算机测试的概率为，他连续测试3次，其中恰有1次通过的概率为（　　）
A. B. C. D. ＜
7.已知函数y=f（x），其导函数y=f（x）的图象如图，则对于函数y=f（x）的描述正确的是（　　）

A. 在（-∞，0）上为减函数 B. 在x=0处取得最大值
C. 在（4，+∞）上为减函数 D. 在x=2处取得最小值
8.一批产品共100件，其中有3件不合格品，从中任取5件，则恰有1件不合格品的概率是（　　）
A. B. C. D.
9.已知函数有极值点，则实数a的取值范围为（　　）
A. （1，2） B. （2，+∞） C. D. （4，+∞）
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
10.某地区气象台统计，该地区下雨的概率是，刮风的概率为，既刮风又下雨的概率为，设A为下雨，B为刮风，那么P（B|A）等于______．
11.（x-）11的展开式中二项式系数最大的项是第 项.
12.设曲线y=ax+ex在点（0，1）处的切线方程为y=2x+1，则a=______．
13.已知随机变量X服从正态分布N（2，σ2），且P（x＞-1）=0.85，则P（X≥5）=______．
14.已知一批零件是由甲、乙、丙三名工人生产的，三人的产品分别占总产量的20%，40%，40%.若已知三人的次品率分别为各自产品的5%，4%，3%.现任取一个零件，则它是次品的概率为______.
15.如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供6种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色、相邻颜色不同，则区域不同涂色的方法种数为______．
三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题12分)
已知二项式，且其二项式系数之和为64.
（1）求n的值；
（2）系数a3的值是多少；
（3）求a1+a2+a3+…+an.
17.(本小题15分)
有3名男生与4名女生，在下列不同条件下，分别求排法种数（要求用数字作答）．
（1）全体排成一排，女生必须站在一起；
（2）全体排成一排，男生互不相邻；
（3）全体排成一行，其中甲，乙，丙三人从左至右的顺序不变．
18.(本小题15分)
甲同学计划去参观某景点，但门票需在网上预约.该同学从第一天开始，每天在规定的预约时间段开始预约，若预约成功，便停止预约；若连续预约三天都没成功，则放弃预约.假设该同学每天预约门票成功的概率均为0.7.
（1）求甲同学到第三天才预约成功的概率；
（2）记X为甲同学预约门票的天数，求X的分布列、期望E（X）和方差D（X）.
19.(本小题15分)
已知f（x）=-x3+ax2+bx+c（a,b,c∈R），且.
（Ⅰ）求a,b的值；
（Ⅱ）若函数f（x）在[-2，2]上的最大值为4，求函数f（x）在上的最小值.
20.(本小题18分)
已知函数f（x）=alnx+x-1（a∈R）.
（1）讨论f（x）的单调性；
（2） x∈[1，+∞），f（x）≥-2lnx+（lnx）2，求a的取值范围.
1.【答案】D
2.【答案】C
3.【答案】B
4.【答案】B
5.【答案】B
6.【答案】A
7.【答案】C
8.【答案】A
9.【答案】D
10.【答案】
11.【答案】6、7
12.【答案】1
13.【答案】0.15
14.【答案】0.038
15.【答案】1560
16.【答案】6 a3=160 728
17.【答案】解：（1）根据题意，分2进行分析：
①将女生看成一个整体，与3名男生在一起进行全排列，有种方法，
②再将4名女生进行全排列，也有种方法，
故共有种排法；
（2）根据题意，分2进行分析：
①男生不相邻，而女生不作要求，所以应先排女生，有种方法，
②再在女生之间及首尾空出的5个空位中任选3个空位排男生，有种方法，
故共有种排法；
（3）根据题意，分2进行分析：
①从7个位置中选四个安排除甲，乙，丙以外的4个人，有种方法，
②剩下的三个位置从左至右依次安排甲，乙，丙，仅有一种安排，
故共有=840种排法．
18.【答案】0.063 X的分布列：
X 1 2 3
P 0.7 0.21 0.09
E（X）=1.39，D（X）=0.4179
19.【答案】（Ⅰ）a=-1，b=1．
（Ⅱ）1．
20.【答案】解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞），
则，
当a≥0时，f′（x）＞0，所以f（x）在（0，+∞）上单调递增，
当a＜0时，当x∈（0，-a）时，f′（x）＜0，当x∈（-a,+∞）时，f′（x）＞0，
所以f（x）在（0，-a）上单调递减，在（-a,+∞）上单调递增；
（2）当x=1时，f（x）≥-2lnx+（lnx）2显然成立，此时a可为任意实数，
当x＞1时，由lnx＞0，f（x）≥-2lnx+（lnx）2在（1，+∞）上恒成立，得，
令，x∈（1，+∞），
则，
设h（x）=x-lnx-1（x＞1），
由（1）可知，h（x）在（1，+∞）上单调递增，
所以h（x）＞h（1）=0，
当x∈（1，e）时，g′（x）＞0，当x∈（e,+∞）时，g′（x）＜0，
所以g（x）在（1，e）上单调递增，在（e,+∞）上单调递减；
则g（x）max=g（e）=-e,
所以a≥-e,
综上，实数a的取值范围为[-e,+∞）．
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