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2025-2026学年天津市东丽区北洋嘉恒高级中学高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共9小题，共45分。
1.已知复数z=3+2i,则在复平面内对应的点为（　　）
A. （3，2） B. （3，-2） C. （-3，2） D. （-3，-2）
2.下列命题正确的是（　　）
A. 单位向量都相等 B. 任一向量与它的相反向量不相等
C. 平行向量不一定是共线向量 D. 零向量与任意非零向量共线
3.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c.若a=1，，，则b=（　　）
A. B. C. 2 D. 3
4.下列命题正确的是（　　）
A. 平行六面体的侧面是全等的平行四边形
B. 正棱锥的侧面是等边三角形
C. 有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥
D. 有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱
5.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,若a=5，b=7，c=8，则B=（　　）
A. B. C. D.
6.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，异面直线A1C1与BC所成的角是（　　）
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 90°
7.在空间中，若直线l∥平面α，直线m 平面α，则l与m（　　）
A. 相交 B. 平行
C. 是异面直线 D. 可能平行，也可能是异面直线
8.已知单位向量与单位向量的夹角为45°，则=（　　）
A. 2 B. C. D. 1
9.已知非零向量，满足与夹角的余弦值为，若，则实数x=（　　）
A. -1 B. C. 4 D.
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
10.已知复数，则|z|= .
11.如图，平行四边形ABCD中，=，=，M是DC的中点，以，为基底表示向量= ______.
12.水平放置的△ABC，用斜二测画法得到直观图△A′B′C′，如图所示，若A′B′=A′C′=2，则△ABC的面积等于 .
13.已知一个圆锥的母线长为4，侧面积8π，则此圆锥的底面半径为 .
14.如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，AB=AC=AA1.则异面直线A1C，B1C1所成角的大小是 .
15.在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB=2，BC=1，∠ABC=60°．动点E和F分别在线段BC和DC上，且=λ，=，则 的最小值为 ．
三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题15分)
已知向量，求：
（1）；
（2）；
（3）若，求实数k的值.
17.(本小题15分)
已知复数z=(m2-5m+6)+(m2-3m)i，其中m∈R.
（Ⅰ）若z是实数，求实数m的值；
（Ⅱ）若z是纯虚数，求实数m的值；
（Ⅲ）若z在复平面内对应的点在第四象限，求实数m的取值范围.
18.(本小题15分)
如图，已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是边长为2的正方形，AA1=4，E，F分别为AA1，AB的中点.
（1）求三棱锥D1-ACD的表面积；
（2）求三棱锥E-DD1C的体积；
（3）求证：E、F、C、D1四点共面.
19.(本小题15分)
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sinA：sinB：sinC=2：1：，b=.
（1）求a的值；
（2）求cosC的值；
（3）求sin（2C-）的值.
20.(本小题15分)
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a,b,c,其中，，且.
（1）求角A；
（2）若b+c=4，△ABC的面积为，求△ABC的周长.
1.【答案】B
2.【答案】D
3.【答案】D
4.【答案】C
5.【答案】C
6.【答案】B
7.【答案】D
8.【答案】D
9.【答案】A
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】4
13.【答案】2．
14.【答案】60°
15.【答案】
16.【答案】 2
17.【答案】解：复数z=(m2-5m+6)+(m2-3m)i，其中m∈R．
（Ⅰ）若z是实数，则m2-3m=0，解得m=0或m=3；
（Ⅱ）若z是纯虚数，则，解得m=2；
（Ⅲ）若z在复平面内对应的点在第四象限，则，解得0＜m＜2，
故实数m的取值范围为(0，2)．
18.【答案】16 证明：连接EF、A1B，
因为E、F分别为AA1、AB的中点，所以EF∥A1B且．
因为ABCD-A1B1C1D1是直四棱柱，且底面是正方形，
所以BC∥AD∥A1D1，且BC=AD=A1D1，即四边形A1BCD1是平行四边形，
所以A1B∥D1C
又A1B=D1C，所以EF∥D1C，
所以E、F、C、D1四点共面
19.【答案】解：（1）∵在△ABC中，
sinA：sinB：sinC=2：1：，
∴a：b：c=2：1：，
∵b=，
∴a=2b=2，c=b=2．
（2）在△ABC中，b=，a=2，c=2，
由余弦定理可得cosC===．
（3）由（2）可知cosC=，
又，则sinC==，
∴sin2C=2sinCcosC=，cos2C=2cos2C-1=，
则sin（2C-）=sin2Ccos-cos2Csin=．
20.【答案】A=120°；
．
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