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2025-2026学年江苏省苏州大学附属中学高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.设向量，，若，则m=（　　）
A. -2 B. -1 C. 1 D. 2
2.已知f（x）是定义在R上的可导函数，若，则f′（2）=（　　）
A. -1 B. C. 1 D.
3.用1，5，9，13中的任意一个数作分子，4，6，8，12，16中任意一个数作分母，可构成（　　）个不同的分数
A. 10种 B. 18种 C. 20种 D. 40种
4.已知曲线y=aex+xlnx在点（1，ae）处的切线方程为y=2x+b,则（　　）
A. a=e,b=-1 B. a=e,b=1 C. a=e-1，b=1 D. a=e-1，b=-1
5.甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（　　）
A. 30种 B. 60种 C. 120种 D. 240种
6.若x=2是函数f（x）=x2+（a-2）x-4alnx的极大值点，则实数a的取值范围是（　　）
A. （-∞，-2） B. （-2，+∞） C. （2，+∞） D. （-2，2）
7.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，E为PD中点，若，，，则=（　　）
A. ； B.
C. D.
8.若函数f（x）=kex-x2+3有三个零点，则k的取值范围为（　　）
A. B. C. （-2e,0） D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.盒子内有20个大小相同的球，其中有15个蓝球，5个红球，现从中取出3个球，则（　　）
A. 取出的3个球中恰好有1个蓝球的取法有种
B. 取出的3个球中至少有2个蓝球的取法有种
C. 取出的3个球中至多有2个蓝球的取法有种
D. 取出的3个球中至少有1个红球的取法有种
10.设函数f（x）=（x+1）2（x-2），则（　　）
A. x=-1是f（x）的极大值点
B. 当0＜x＜1时，f（x）＞f（x2）
C. 当-2＜x＜0时，-4＜f（x+1）＜0
D. 曲线y=f（x）有且只有一个对称中心，且该对称中心坐标为（0，-2）
11.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥BC，BC=2AB，AC=5，AA1=2，D是底边AC上一点，且，则（　　）
A. 三棱柱ABC-A1B1C1外接球的表面积为29π
B. 当时，面A1BD⊥面C1BD
C. 直线A1D与BC所成角的余弦的最大值为
D. 点E是A1D的中点，点F是线段BC1上的一个动点，则EF的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在空间直角坐标系中，点B（-1，2，3）关于x轴对称的点B′的坐标为 .
13.从0，1，2，3，4中任取4个数字，一共可以组成 个没有重复数字的四位数（用数字作答）.
14.已知，g（x）=ax.当a=e时，函数的单调递减区间为 ；若f（x）与g（x）的图象在交点处的切线重合，则a= .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数f（x）=x2（x-a），a∈R，且f′（-1）=9.
（1）求a的值及曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）求函数f（x）在区间[-2，2]上的最大值和最小值.
16.(本小题15分)
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，E，F分别是BD，B1C的中点.
（1）A1E与平面ABCD所成角的正切值为______；（本小题直接写出答案即可）
（2）求异面直线A1E与BF所成角的余弦值；
（3）求点A1到平面BDF的距离.
17.(本小题15分)
（1）解关于x的不等式：；
（2）已知，求的值（用数字作答）；
（3）为方便广大人民群众就医，普及医疗健康知识，社区组织“义诊下乡”活动，某医疗队伍有5名医生需分配到3个志愿团队，每个志愿队至少分配一名医生，甲医生被分到A志愿队的方法有多少种？（用数字作答）
18.(本小题17分)
如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD.，∠BAD=∠ABC=90°，E是PD的中点.
（1）证明：AB⊥平面PAD；
（2）证明：直线CE∥平面PAB；
（3）点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为45°，求二面角M-AB-D的余弦值.
19.(本小题17分)
已知函数f（x）=xex+asinx（a∈R）.
（1）当a=0时，求证：；
（2）当a≥-1时，求证：对于任意x∈（0，π），f（x）＞0恒成立；
（3）若存在x1，x2∈（0，π），使得f（x1）=f′（x2）=0，求证：x1＜2x2.
1.【答案】D
2.【答案】A
3.【答案】C
4.【答案】D
5.【答案】C
6.【答案】A
7.【答案】C
8.【答案】A
9.【答案】AD
10.【答案】ACD
11.【答案】ABD
12.【答案】（-1，-2，-3）
13.【答案】96
14.【答案】

15.【答案】a=3，切线方程为3x+y-1=0 最大值为0，最小值为-20
16.【答案】
17.【答案】{3，4，5} 252 50
18.【答案】证明：侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
取AD的中点为O，连接PO，
∵△PAD为等边三角形，
∴PO⊥AD，PO 平面PAD，
∴PO⊥底面ABCD，AB 底面ABCD，
∴PO⊥AB，又∵∠BAD=90°，
∴AB⊥AD，
∵PO∩AD=O，PO，AD 平面PAD，
∴AB⊥平面PAD 证明：取PA的中点F，连接EF，BF，如图．
∵E是PD的中点，
∴EF∥AD，．
由∠BAD=∠ABC=90°得BC∥AD，又，
∴EF∥BC，EF=BC，
故四边形BCEF是平行四边形，
∴CE∥BF，又BF 平面PAB，CE 平面PAB，
∴CE∥平面PAB
19.【答案】由a=0，得f（x）=xex．
要证，只需证ex-x-1＞0．
令g（x）=ex-x-1，则g′（x）=ex-1．
当x∈（-∞，0）时，g′（x）＜0，则g（x）单调递减，
当x∈（0，+∞）时，g′（x）＞0，则g（x）单调递增，
所以g（x）＞g（0）=0，故ex＞x+1，
因此 由f′（x）=（x+1）ex+acosx，
令m（x）=f′（x），则m′（x）=（x+2）ex-asinx
①当a≥0时，由x∈（0，π），得xex＞0，asinx≥0，
因此f（x）＞0，满足题意．
②当-1≤a＜0时，由x∈（0，π），得（x+2）ex＞0，-asinx＞0，
因此m′（x）＞0，则f′（x）在（0，π）上单调递增．
则f′（x）＞f′（0）=1+a≥0，则f（x）在（0，π）上单调递增，
所以f（x）＞f（0）=0，满足题意．
综上所述，当a≥-1时，对于任意x∈（0，π），f（x）＞0恒成立 由（2）知，a＜-1，由x∈（0，π），得（x+2）ex＞0，-asinx＞0，
因此m′（x）＞0，则f′（x）在（0，π）上单调递增．
则，
因此f′（x）在（0，π）存在唯一的零点x0，且，
当0＜x＜x0时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
当x0＜x＜π时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
设x0=x2，则f（x）在（0，x2）上单调递减，在（x2，π）上单调递增，
所以f（x）的极小值为f（x2），f′（x2）=0，
注意到，
故f（x）在（0，π）上存在唯一的零点x1，x1∈（x2，π）．
注意到x1，2x2∈（x2，π），且f（x）在（x2，π）上单调递增．
要证明x1＜2x2，只需证f（x1）＜f（2x2），
因为f（x1）=0，所以只需证f（2x2）＞0，
即证．
因为，即，
所以，只需证，
只需证（*）
由（1）得，
因此，
设，
则h′（x）=1-cosx＞0，所以h（x）在上单调递增，
所以h（x）＞h（0）=0，
从而h（x2）＞0，即x2-sinx2＞0，因此（*）得证，
从而x1＜2x2
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