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2025-2026学年吉林市敦化市实验中学高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.复数z满足，则复数z=（　　）
A. 2-i B. 2+i C. 2-2i D. 1+2i
2.已知正方体ABCD-A1B1C1D1，E、F、G分别为A1B1、AA1、AD的中点，则图中与直线DC1异面的直线是（　　）
A. EF
B. AD1
C. B1G
D. BC1
3.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a,b,c.向量，若，则角C的大小为（　　）
A. B. C. D.
4.已知菱形ABCD边长为2，∠BAD=60°，则=（　　）
A. -4 B. -2 C. 2 D. 4
5.如图所示，△A′O′B′表示水平放置的△AOB的直观图，则△AOB的面积是（　　）
A.
B. 4
C.
D. 2
6.已知向量，满足，且，则向量在向量上的投影向量为（　　）
A. B. C. （-12，16） D. （12，-16）
7.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a,b,c,若acosB-bcosA=c,且，则∠B=（　　）
A. B. C. D.
8.已知圆台上底面的半径为1，下底面的半径为3，高为2，圆台上、下底面的圆周都在同一个球面上，则该球的体积是（　　）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.关于空间中直线与平面的位置关系，下列命题正确的是（　　）
A. 若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都平行
B. 若直线a不平行于平面α且a α，则平面α内不存在与a平行的直线
C. 若两条平行直线中的一条与一个平面平行，则另一条也与这个平面平行
D. 若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点
10.如图，已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列命题正确的是（　　）
A. 正方体外接球的直径为
B. 点P在线段AB上运动，则四面体P-A1B1C1的体积不变
C. 与所有12条棱都相切的球的体积为
D. M是正方体的内切球的球面上任意一点，则AM长的最小值是
11.已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，下列四个命题中，正确的命题是（　　）
A. 若c=2acosB，则△ABC一定是等腰三角形
B. 若（a2+b2）sin（A-B）=（a2-b2）sin（A+B），则△ABC是等腰或直角三角形
C. 若，则△ABC一定是等腰三角形
D. 若2b=a+c，且2cos2B-8cosB+5=0，则△ABC是等边三角形
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，，若与的夹角为钝角，则实数λ的取值范围是______.
13.如果复数z满足|z-2|+|z+1|=3，那么|z-3+i|的最大值是 .
14.海上一观测站A测得南偏西60°的方向上有一艘停止待维修的商船D，在商船D的正东方有一艘海盗船B正向它靠近，速度为每小时90海里，此时海盗船B距观测站10海里，20分钟后测得海盗船B距观测站20海里的C处，再经 分钟海盗船B到达商船D处.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题15分)
如图所示，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，CD＝2，AD＝2，求四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的表面积及体积．

16.(本小题15分)
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,已知.
（1）求角A的大小；
（2）若D为边BC上一点，AD为角A的平分线，sinB=2sinC，且AD=2，求a的值.
17.(本小题15分)
如图，四棱锥P-ABCD，底面ABCD为平行四边形，E、F分别为 PD、BC的中点，面PAB∩面PCD=l．
（1）证明：l∥AB；
（2）证明：EF∥平面PAB．
（3）在线段PD上是否存在一点G，使FG∥面ABE？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
18.(本小题15分)
如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=2CD=4，E，F分别为DC，CB的中点，且，P是线段AB上的一个动点.
（1）求AD；
（2）求∠EAF；
（3）求的取值范围.
19.(本小题17分)
如图，E为线段AD的中点，C为DA延长线上的一点，以A为圆心，AE为半径作半圆，B为半圆上除去直径端点的一点，连接BC，BD.
（1）若AD=2，以BD为边作正三角形BFD（点F在直线BD的上方），当四边形ABFD面积为时，求cos∠BAC；
（2）在△ABC中，记∠BAC，∠ABC，∠ACB的对边分别为a,b,c,△ABC的面积为S，满足（a2-b2） sin∠BAC=2S.
①求证：∠BAC=2∠ABC；
②求的最小值.
1.【答案】C
2.【答案】B
3.【答案】D
4.【答案】B
5.【答案】B
6.【答案】A
7.【答案】B
8.【答案】D
9.【答案】BD
10.【答案】ABC
11.【答案】ABD
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：四边形ABCD绕AD旋转一周形成的几何体是一个圆台挖去一个圆锥所得的组合体，
DE=CE=,
BC=,
S表面=S圆台底面+S圆台侧面+S圆锥侧面
=π×52+π×（2+5）×5+π×2×2
=（4+60）π．
V=V圆台-V圆锥
=π（25+10+4）×4-π×4×2=π.
16.【答案】 3
17.【答案】证明：（1）∵ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，又AB 面PCD，CD 面PCD，
∴AB∥面PCD，∵面PAB∩面PCD=l，∴l∥AB．
（2）取PA中点M，连接BM，EM，则，又∵，
∴，∴四边形BFEM为平行四边形，∴EF∥BM，
∵EF 面PAB，BM面PAB，∴EF∥面PAB．
（3）取AD中点N，连接FN，NG，则FN∥AB，FN 面ABE，AB 面ABE，
∴FN∥面ABE，又∵FG∥面ABE，FN FG=F,FN,FG 面FNG,
∴面FNG∥面ABE，且面PAD 面ABE=AE,面PAD 面FNG=NG,
∴AE∥NG，又∵N为AD中点，∴G为ED中点，
∴EG=GD，又PE=ED，∴．
18.【答案】2 [-2，16]．
19.【答案】；
①证明过程见详解；
②4．
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