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2025-2026学年吉林省延边州延吉市第三高级中学高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知，则=（　　）
A. 90 B. 72 C. 45 D. 42
2.在等差数列{an}中，a4+a5+a6=15，则a2+a8=（　　）
A. 5 B. 6 C. 10 D. 15
3.下列导数公式错误的是（　　）
A. （sinx）'=-cosx B.
C. D. （ex）'=ex
4.已知数列{an}满足a1=5，an=1-（n≥2），则a2026=（　　）
A. I B. C. 5 D.
5.等比数列{an}中，a2，a10为方程x2-8x+9=0的两根，则a4a8+a6等于（　　）
A. 6 B. 12 C. 6或12 D. -6
6.已知，，，则a，b，c的大小关系为（　　）
A. b＜c＜a B. a＜c＜b C. b＜a＜c D. c＜b＜a
7.已知无穷等比数列{an}各项均为正整数、公比为q前n项和为Sn，若a1a4=32，a2+a3=12，则下列说法不正确的是（　　）
A. q=2 B. {Sn+2}是等比数列
C. {log2an}是公差为2的等差数列 D. S8=510
8.若函数y=f（x）的导函数y=φ（x）=f′（x）图象如图所示，则下列说法正确的是（　　）
A. φ′（x）＜0的解集为（-∞，-3）
B. 函数y=f（x）有2个极值点
C. 函数y=f（x）的单调递增区间为（-1，+∞）
D. -3是函数y=f（x）的极小值点
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知数列{an}满足an+1=2an，其前n项和为Sn，且S3=7，则（　　）
A. a1=1 B. {an}是递减数列
C. S2025=a2026-1 D. {log2an}是等差数列
10.已知函数f（x）=x2e2x，则（　　）
A. y=xe-2xf（x）为奇函数
B.
C. 当x＞0时，
D. 曲线y=f（-x）f（x）在点（-1，1）处的切线方程为y=4x+5
11.已知函数f（x）=xlnx,则下列选项正确的是（　　）
A. 函数f（x）的最小值为
B. 函数f（x）有两个零点
C. 函数f（x）的单调递减区间为
D. 若方程f（x）=m只有一个实数解，则m≥0
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知{an}是等差数列，a1=1，公差d≠0，Sn为其前n项和，若a1，a2，a5成等比数列，则S7= .
13.函数f（x）=2sinx-x,x∈[0，π]的最小值是 .
14.若函数f（x）=lnx-x-a有两个零点，则a的取值范围是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数f（x）=-x3+ax2+bx-5在x=-1处有极值-1.
（1）求实数a,b的值；
（2）求函数f（x）在[-4，2]上的最值.
16.(本小题15分)
设数列{an}的前n项和Sn，满足Sn=2an-2.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）令bn=log2an，求数列的前n项和Tn.
17.(本小题15分)
已知函数f（x）=xex.
（1）求函数f（x）的极值.
（2）若f（x）-lnx+ax≥1恒成立，求实数a的取值范围.
18.(本小题17分)
已知数列{an}，，2an+1=an+1.
（1）求证：数列{an-1}为等比数列，并求数列{an}的通项公式；
（2）求数列{nan}的前n项和Sn.
19.(本小题17分)
函数的单调性反映在图象上，就是曲线的上升或下降，但曲线在上升或下降的过程中，还有一个弯曲方向的问题，即函数的凹凸性，函数的凹凸性可以用连接曲线上任意两点的弦的中点与曲线上相应点（即具有相同横坐标的点）的位置关系来描述定义如下：
设f（x）在区间D上连续，如果对D上任意两点x1，x2恒有，则称f（x）在区间D上的图形是凹的（图1），区间D为f（x）凹的区间；
设f（x）在区间D上连续，如果对D上任意两点x1，x2恒有，则称f（x）在区间D上的图形是凸的（图2），区间D为f（x）凸的区间；
关于导数与函数的凹凸性的关系，有如下定理：
设f（x）在区间D上连续，在区间D上具有一阶和二阶导数，那么
①如果f（x）在D上恒有f″（x）＞0，则f（x）在区间D上的图象是凹的；如果f（x）在区间D上的图象是凹的，则f（x）在D上恒有f″（x）＞0；
②如果f（x）在D上恒有f″（x）＜0，则f（x）在区间D上的图象是凸的；如果f（x）在区间D上的图象是凸的，则f（x）在D上恒有f″（x）＜0；
其中f′（x）是f（x）的导函数，为f（x）的一阶导数；f″（x）是f′（x）的导函数，为f（x）的二阶导数.根据以上内容，完成如下问题：
（1）试判断函数f（x）=，x∈（0，1）图象是凹的还是凸的，用定理证明；
（2）已知函数g（x）=lnx+，求g（x）的凹的区间和凸的区间；
（3）若m＞0时，mx2（lnx-1）+ex≥0恒成立，求实数m的取值范围.
1.【答案】B
2.【答案】C
3.【答案】A
4.【答案】C
5.【答案】B
6.【答案】A
7.【答案】C
8.【答案】D
9.【答案】ACD
10.【答案】AC
11.【答案】AC
12.【答案】49
13.【答案】-π
14.【答案】（-∞，-1）
15.【答案】解：（1）∵f（x）=-x3+ax2+bx-5，∴f'（x）=-3x2+2ax+b,
∴，解得，
则f'（x）=-3x2-12x-9=-3（x+1）（x+3），
若f'（x）＞0，则-3＜x＜-1；若f'（x）＜0，则x＜-3或x＞-1，
即函数f（x）=-x3+ax2+bx-5在x=-1处有极大值且极大值为-1，符合题意，
故．
（2）由（1）知，f（x）=-x3-6x2-9x-5，∴f'（x）=-3x2-12x-9=-3（x+1）（x+3），
若f'（x）＞0，则-3＜x＜-1；若f'（x）＜0，则x＜-3或x＞-1，∴f（x）在（-3，-1）上单调递增，在[-4，-3），（-1，2]上单调递减，
又f（-4）=-1，f（-3）=-5，f（-1）=-1，f（2）=-55，∴f（x）max=-1，f（x）min=-55．
16.【答案】（1）∵Sn=2an-2，
∴S1=2a1-2，
∴a1=2，
又Sn-1=2an-1-2（n≥2），
两式相减得an=2（an-an-1），即an=2an-1，an=2n；
（2）bn=log2an=n,==-，
Tn=1-+-+-+-=1-=．
17.【答案】解：（1）f（x）=xex的定义域为R，导函数f′（x）=ex+xex=ex（x+1），
令f′（x）＜0，解得x＜-1，函数f（x）在（-∞，-1）上单调递减，
令f′（x）＞0，解得x＞-1，函数f（x）在（-1，+∞）上单调递增，
因此f（x）在x=-1处取得极小值，无极大值．
（2）不等式f（x）-lnx+ax≥1恒成立，所以xex-lnx+ax-1≥0，x∈（0，+∞）恒成立，
不等式等价于恒成立，
令函数，
那么导函数，
令函数h（x）=x2ex+lnx,x＞0，
导函数，h（x）在（0，+∞）上单调递增，
又因为，
那么存在唯一，使得，
所以，所以，因此，
根据第一问知，f（x）在（0，+∞）上单调递增，那么．
当x∈（x0，+∞）时，h（x）＞0，g′（x）＜0，则函数g（x）在（x0，+∞）上单调递减；
当x∈（0，x0）时，h（x）＜0，g′（x）＞0，则函数g（x）在（0，x0）上单调递增，
因此，则a≥-1，
所以实数a的取值范围为[-1，+∞）．
18.【答案】由数列{an}，，2an+1=an+1，
即an+1=an+，
即有，且，
因此，{an-1}是首项和公比均为的等比数列；
19.【答案】f（x）图象是凸的，证明见解析；
g（x）的凹的区间为（1，+∞），g（x）的凸的区间为（0，1）；
（0，e]．
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