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2025-2026学年黑龙江省牡丹江市第二高级中学高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.五一假期，某人准备前往云南大理旅行，计划从苍山、洱海、大理古城、双廊古镇、崇圣寺这5个景点中选3个景点去游玩，则不同的选择方法种数为（　　）
A. 5 B. 10 C. 20 D. 60
2.某产品的广告费用与销售额的统计数据如下表：
广告费用x/万元 1.8 2.2 3 5
销售额y/万元 t 7 14 16
根据上表数据得到y与x的回归直线方程为，则t的值（　　）
A. 3 B. 5.5 C. 4 D. 6.5
3.已知ξ～N（9，σ2），若P（ξ＞11）=，则P（7≤ξ≤9）=（　　）
A. B. C. D.
4.袋中有6个红球、4个白球，从袋中任取4个球，则至少有2个白球的概率是（　　）
A. B. C. D.
5.如图，为了出黑板报，某班级为黑板A、B、C、D四个区域进行涂色装饰，每个区域涂一种颜色，相邻区域（有公共边）不能用同一种颜色，若只有四种颜色可供使用，则恰好使用了3种颜色的涂色方法共有（　　）
A B
C D
A. 24种 B. 48种 C. 72种 D. 84种
6.若随机变量X服从两点分布，其中，则D（X）=（　　）
A. B. C. D.
7.一批零件共有10个，其中有4个不合格.随机抽取3个零件进行检测，恰好有1件不合格的概率是（　　）
A. B. C. D.
8.小明高考结束后出去游玩，帽子和墨镜每天至少戴一件，他每天戴帽子的概率为，戴墨镜的概率为，各天穿戴的情况独立，X表示他在20天的游玩时间中只戴帽子的天数，则其期望E（X）=（　　）
A. 4天 B. 8天 C. 10天 D. 16天
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.设离散型随机变量X的分布列为
X 4 6 8
P 0.3 0.4 m
若Y=2X-1，则（　　）
A. E（X）=6 B. D（X）=2.4 C. E（Y）=12 D. D（Y）=9.6
10.已知的展开式共有13项，则下列说法中错误的有（　　）
A. 所有奇数项的二项式系数和为212 B. 所有项的系数和为312
C. 二项式系数最大的项为第6项或第7项 D. 有理项共5项
11.下列命题中，正确的命题是（　　）
A. 已知随机变量X服从二项分布B（n,p），若E（X）=30，D（X）=20，则
B. 某人在10次射击中，击中目标的次数为X，X～B（10，0.7），当X=7时概率最大
C. 样本相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱
D. 已知，，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.比2000小且没有重复数字的四位偶数有 个.（用数字表示）
13.设A，B是一个随机试验中的两个事件，若，则P（A）= .
14.如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第 行中从左至右第8与第9个数的比为1：3.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知（3x-1）9=a0+a1x+a2x2+…+a9x9，求
（1）求a0，a2的值；
（2）求a1+a2+…+a9的值.
16.(本小题15分)
春节将至，某商家统计了去年某商品的日营销费用x（单位：百元）与日销售量y（单位：百件），为今年的营销方案制定提供相关的数据参考，得到的数据如下表：
日营销费用x/百元 2 3 4 5 6
日销售量y/百件 1 1.1 1.5 1.8 2.1
已知y与x线性相关.
（1）根据上表数据，求y关于x的经验回归方程；
（2）请利用（1）中的经验回归方程，试估计当今的日销售费用为1000元时，日销售量为多少百件.
参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据（xi，yi）（i=1，2， ，n）.其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.
17.(本小题15分)
某新能源汽车公司对其销售的A、B两款汽车的售后服务向消费者进行满意度调查，从购买这两款汽车的消费者中各随机抽取了100名，调查结果统计如下表：
满意程度 汽车款式 合计
A款 B款
满意 90 170
不满意 20
合计
（1）补全2×2列联表，并根据小概率值α=0.010的独立性检验，能否认为消费者对A、B两款汽车的售后服务的满意度有差异？
（2）用频率估计概率，现从购买A、B款汽车的消费者中随机抽取4人，X表示这4名消费者中对B款汽车的售后服务持满意态度的人数，求X的分布列和数学期望.
附：，n=a+b+c+d.
α 0.10 0.010 0.001
xα 2.706 6.635 10.828
18.(本小题17分)
设新能源车性能测试分为实验室检测和路面检测两个阶段.实验室检测合格后才能进入路面检测，路面检测合格后该车才可投入量产，这两个检测阶段是否合格相互独立.其中实验室检测阶段包括环节I和环节II，两个环节至少通过一个才算实验室检测合格，且这两个环节检测结果相互独立.某公司汽车研发出甲、乙两款车型，现对其进行性能检测.实验室检测阶段中甲车通过I、II环节的概率分别为，乙车通过I、II环节的概率分别为，路面测试环节中甲、乙款车合格的概率分别为.
（1）求甲，乙两款车型中恰有一款车进入路面检测的概率；
（2）设甲，乙两款车型可投入量产的种数为X，求X的分布列与均值.
19.(本小题17分)
某篮球运动员进行定点投篮训练，据以往训练结果，第一次投篮命中的概率为.若前一次投篮命中，那么下次投篮命中的概率为；若前一次投篮未命中，那么下次投篮命中的概率为.
（1）求该运动员第二次投篮命中的概率；
（2）记该运动员前两次投篮命中的次数为X，求X的分布列和数学期望；
（3）设第i次投篮命中的概率为Pi，求证：.
1.【答案】B
2.【答案】A
3.【答案】D
4.【答案】A
5.【答案】B
6.【答案】B
7.【答案】B
8.【答案】A
9.【答案】ABD
10.【答案】AC
11.【答案】BD
12.【答案】280
13.【答案】
14.【答案】31
15.【答案】a0=-1，a2=-324 513
16.【答案】；
3.24百件．
17.【答案】（1）2×2列联表为：
满意程度 汽车款式 合计
A款 B款
满意 90 80 170
不满意 10 20 30
合计 100 100 200
无差异；
（2）X的分布列为：
X 0 1 2 3 4
P
．
18.【答案】解：（1）设事件A表示甲车通过实验室测试，事件B表示乙车通过实验室测试，
则P（A）=1-（1-）×（1-）=，
P（B）=1-（1-）×（1-）=，
则甲、乙中恰有一款车进入路面测试的概率为：
P（A+B）=P（A）P（）+P（）P（B）
=×（1-）+（1-）×
=；
（2）随机变量X可能的取值为：0，1，2，
由题意，甲、乙车投产的概率分别为×=，×=，
所以P（X=0）=×=，
P（X=1）=×+×=，
P（X=2）=×=，
X 0 1 2
P
所以数学期望E（X）=0×+1×+2×=．
19.【答案】解：(1)设“第一次投篮命中”为事件A, “第二次投篮命中"为事件B，
已知P(A)=,P(B|A)=,P()=1-=,P(B|)=，
根据全概率公式P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|)=+=+==;
（2）X的取值为0,1,2，P(X=0)=P()P(|)=(1-)==,
P(X=1)=P(A)P(|A)+P()P(B|)=(1-)+=+=+==，
P(X=2)=P(A)P(B|A)==,
所以X的分布列为:
x 0 1 2
P
数学期望E(X)=0+1+2=+==;
（3）已知=，由题意可得=+(1-)
=+-=+，
则-=(-)，
所以{-}是以-=-==-为首项,为公比的等比数列，
则=-，因为>0,所以<，
又=--===，所以<.
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