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2025-2026学年广东省揭阳市第一中学高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知i为虚数单位，复数z满足z（1+i）=2，则|z|=（　　）
A. B. 1 C. D.
2.从7本不同的书中选出3本送给3位同学，每人一本，不同的选法种数是（　　）
A. 37 B. 73 C. 21 D. 210
3.食堂周五提供麻婆豆腐，清炒豌豆尖，豆干回锅肉，水煮肉片，麻辣小龙虾共五道菜，其中后三道为荤菜，小轩同学任打两道菜，正好打到一荤一素的概率（　　）
A. B. C. D.
4.函数f（x）=（x2-2x） ex的图象大致是（　　）
A. B.
C. D.
5.已知直线l与圆C：（x-1）2+（y-2）2=16交于A，B两点，C为圆心，若△ABC的面积等于8，则|AB|=（　　）
A. B. C. D.
6.已知的展开式共有13项，则下列说法中正确的是（　　）
A. 所有奇数项的二项式系数和为212 B. 所有项的系数和为312
C. 二项式系数最大的项为第6项或第7项 D. 有理项共5项
7.设A，B是一个随机试验中的两个事件，且，，，则下列说法中错误的是（　　）
A. B. C. D.
8.已知从1开始的连续奇数蛇形排列形成宝塔形数表，第一行为1，第二行为3，5，第三行为7，9，11，第四行为13，15，17，19，如图所示，在宝塔形数表中位于第i行，第j列的数记为ai,j，例如a3，2=9，a4，2=15，a5，4=23，若ai,j=2025，则i+j=（　　）
A. 64 B. 65 C. 68 D. 72
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.（多选）对于抛物线上，下列描述正确的是（　　）
A. 开口向上，焦点为（0，2） B. 开口向上，焦点为
C. 焦点到准线的距离为4 D. 准线方程为y=-4
10.正月十五元宵节，中国民间有观赏花灯的习俗.在2024年元宵节，小明制作了一个“半正多面体”形状的花灯（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美.图2是一个棱数为24的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为2，关于该半正多面体的四个结论中正确结论的是（　　）
A. 棱长为
B. 两条棱所在直线异面时，这两条异面直线所成角的大小是60°
C. 表面积为
D. 外接球的体积为
11.已知函数f（x）=xcosx-sinx,下列结论中正确的是（　　）
A. 函数f（x）在时，取得极小值-1
B. 对于 x∈（0，π），f（x）＜0恒成立
C. 若0＜x1＜x2＜π，则
D. 若，对于恒成立，则a的最大值为，b的最小值为1
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知双曲线的渐近线方程为，则m= .
13.设底面为正三角形的直棱柱的体积为16，那么其表面积取极小值时底面边长为 .
14.若抛掷一枚质地均匀的骰子两次，落地时朝上的面的点数分别为a,b.设事件A=“函数为奇函数”，B=“函数在上恰有一个最大值点和一个最小值点”，则P（B|A）= .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8.由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5.记“第i次投篮的人是甲”为事件Ai，“第i次投篮的人是乙”为事件Bi.
（1）求P（B2）的值；
（2）求P（Ai）（用i表示）.
16.(本小题15分)
如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AD=2BC，△ABC是等边三角形，PA=AB=1.
（1）求证：平面PCD⊥平面PAC；
（2）求平面PAC与平面PBC夹角的余弦值.
17.(本小题15分)
已知曲线C：y=（x＞0），曲线C在点P0（1，1）处的切线交x轴于点Q1，过Q1作与x轴垂直的直线与C交于点P1，曲线C在点P1处的切线交x轴于点Q2，…，依次下去，得到点列：Q1，Q2，Q3，…，Qn，…，设Qn的横坐标为xn.
（1）求证：xn+1=2xn；
（2）求数列{nxn}的前n项和.
18.(本小题17分)
已知点F1（-1，0），F2（1，0），动点T满足|TF1|+|TF2|=4，动点T的轨迹记为C.
（1）求C的方程；
（2）直线l：x=4与x轴交于点M，B为l上的动点，过B作C的两条切线，分别交y轴于点P，Q.
①证明：直线BP，BF2，BQ的斜率成等差数列；
②⊙N经过B，P，Q三点，是否存在点B，使得∠PNQ=90°？若存在，求|BM|；若不存在，请说明理由.
19.(本小题17分)
已知函数f（x）=ax2+（a-2）x-lnx有两个零点x1，x2，x1＜x2，f′（x）为f（x）的导函数.
（1）求实数a的取值范围；
（2）证明：x1+x2＞；
（3）证明：x1f′（x1）＞-2
1.【答案】A
2.【答案】D
3.【答案】C
4.【答案】B
5.【答案】D
6.【答案】D
7.【答案】B
8.【答案】C
9.【答案】AC
10.【答案】AC
11.【答案】BCD
12.【答案】-5
13.【答案】4
14.【答案】
15.【答案】0.6
16.【答案】（1）证明：由AD=2BC，△ABC是等边三角形，AB=1，可得AD=2，AC=1，
又AD∥BC，可得∠DAC=180°-60°-60°=60°，
则CD2=AC2+AD2-2AC AD cos60°=1+4-2×1×2×=3，
由CD2+AC2=AD2，可得∠ACD=90°，即AC⊥CD，
由PA⊥平面ABCD，CD 平面ABCD，可得PA⊥CD．
又PA AC=A，PA、AC 平面PAC，所以CD⊥平面PAC，
又CD 平面PCD，所以平面PCD⊥平面PAC．
（2）解：取BC的中点E，连接AE，则AE，AD，AP两两互相垂直，以A为坐标原点，AE，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．
则，
∴．
设平面PAC的一个法向量为，则
所以令x=1，得．
设平面PBC的一个法向量为=（a,b,c），
由，令a=2，则b=0，c=，
得．
记平面PAC与平面PBC的夹角为θ，
则，
即平面PAC与平面PBC夹角的余弦值为．
17.【答案】解：（1）证明：设Pn（xn，），
由y=得，
所以曲线C在点Pn处的切线方程为，
令y=0，解得x=2xn，
即有xn+1=2xn；
（2）由点P0（1，1），可得曲线在点P0处的切线方程为，
令y=0，解得x=2，即x1=2，
可得数列{xn}是首项和公比均为2的等比数列，则xn=2n，
数列{nxn}的前n项和Tn=1×2+2×22+3×23+...++，
2Tn=1×22+2×23+3×24+...++，
两式相减可得-Tn=2+22+23+...+2n-1+2n-= =，
则Tn=．
18.【答案】； ①证明见解析；②存在，．
19.【答案】（0，1） 由（1）知，要证：，即证：；令，
若，则
=，
所以g（x）在上单调递减，
则，即，
因为f（x1）=f（x2）=0，
所以，即，
又因为，且f（x）在上递增，
所以，即 由题意，f（x）=（x2+x）a-2x-lnx，
由f（1）=2a-2＜0，结合（1）知0＜x1＜1，
要证x1f′（x1）＞-2，即证（2x1+1）（ax1-1）＞-2，
即证ax1（2x1+1）＞2x1-1，
当时，ax1（2x1+1）＞0，2x1-1≤0，不等式恒成立；当时，由f（x1）=0，得ax1（x1+1）=lnx1+2x1，
即证（2x1+1）（lnx1+2x1）＞（2x1-1）（x1+1），
即证，
即证，
设，，
由，
可知p（x）在单调递增，
所以，故x1f′（x1）＞-2
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