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2025-2026学年甘肃省兰州市第六十中学高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知函数f（x）在x=x0处可导，且，则f′（x0）=（　　）
A. -1 B. -2 C. 1 D. 2
2.已知向量=（-1，1，3），=（0，2，-1），则（+2） =（　　）
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
3.已知空间三点A（1，1，1），B（-1，0，4），C（2，-2，3），则向量与的夹角为（　　）
A. 60° B. 30° C. 120° D. 300°
4.如图，在四面体OABC中，.点N在BC上，且为OA的中点，则等于（　　）
A.
B.
C.
D.
5.已知曲线y=x+lnx在点（1，1）处的切线与曲线y=ax2+x+2相切，则a=（　　）
A. B. C. D.
6.如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，∠ADC=∠ADD1=120°，∠CDD1=60°，则|AC1|=（　　）
A. 1
B. 3
C.
D.
7.在四棱锥P-ABCD中，=（-1，2，2），=（1，2，-3），=（0，-1，2），则该四棱锥的高为（　　）
A. B. C. D.
8.若函数f（x）=x-lnx+m在定义域内有两个不同的零点，则实数m的取值范围（　　）
A. （-∞，-1] B. （-∞，-1） C. [-1，+∞） D. （-1．+∞）
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.若函数f（x）=x3-3x+3，则（　　）
A. f（x）在（-1，1）上单调递减
B. 当x∈[0，2]时，f（x）的值域为[3，5]
C. f（x）有一个零点
D. 曲线y=f（x）关于点（0，3）对称
10.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB∥CD，∠ABC=，AB=PA=CD=2，BC=4，M为PD的中点，则（　　）
A. BM⊥PC
B. 异面直线BM与AD所成角的余弦值为
C. 直线BM与平面PBC所成角的正弦值为
D. 点M到直线BC的距离为
11.已知函数f（x）=x3+6ax2-2（a∈R），则（　　）
A. 当a=1时，f（x）的单调递减区间为[-4，0]
B. 存在a＜0，使得f（x）有三个零点
C. 当a＞0时，f（x）的极小值点为（0，-2）
D. 当a=0时，曲线y=f（x-1）的对称中心为（1，-2）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，则= .
13.已知向量，则在方向上的投影向量为 .
14.在空间直角坐标系中，平面α的一个法向量的坐标为（4，4，-7），直线l的一个方向向量的坐标为（8，-4，1），则直线l与平面α所成角的余弦值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
求下列函数的导数：
（1）y=3x；
（2）y=π2026；
（3）y=x+；
（4）y=x2lnx；
（5）y=；
（6）y=cos（4x-5）.
16.(本小题15分)
已知函数f（x）=2x3-6x2+7.
（1）求函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）求函数f（x）的单调区间.
17.(本小题15分)
棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为DD1的中点，F为BD中点，G为AA1的中点.
（1）证明：EF∥平面ABC1D1；
（2）证明：平面BDC1⊥平面BDG.

18.(本小题17分)
已知函数.
（1）求f（x）的单调区间；
（2）求f（x）在区间上的最大值.
19.(本小题17分)
如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AD⊥CD，AB∥CD，CD=PD=2AD=2AB=2，点E是棱PC上的动点，且.
（1）若，证明：PA∥平面BDE；
（2）若PB与平面BDE所成角的正弦值为，求λ的值.
1.【答案】D
2.【答案】C
3.【答案】C
4.【答案】A
5.【答案】D
6.【答案】C
7.【答案】D
8.【答案】B
9.【答案】ACD
10.【答案】ACD
11.【答案】AD
12.【答案】
13.【答案】（-1，1，0）
14.【答案】
15.【答案】y′=3xln3 y′=0 y′=2xlnx+x y′=-4sin（4x-5）
16.【答案】6x+y-9=0 f（x）的单调递增区间为（-∞，0），（2，+∞），单调递减区间为（0，2）
17.【答案】解：（1）证明：以D为原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，
则D（0，0，0），E（0，0，1），F（1，1，0），B（2，2，0），D1（0，0，2），
则，，
所以，故，
又EF 平面ABC1D1，BD1 平面ABC1D1，
所以EF∥平面ABC1D1；
（2）证明：D（0，0，0），B（2，2，0），C1（0，2，2），G（2，0，1），
所以，=（2，0，1），，
设平面BDC1的一个法向量为，
由，则，令x=1，得，
设平面BDG的一个法向量为，
由，则，令x′=1，得，
由，
得，
故平面BDC1⊥平面BDG．
18.【答案】解：（1）易知f（x）的定义域为（0，+∞），
可得f′（x）=x-4+=，
当0＜x＜1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
当1＜x＜3时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
当x＞3时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
所以函数f（x）的单调递增区间为（0，1），（3，+∞）；递减区间为（1，3）．
（2）由（1）得，当时，函数f（x）单调递增，当1＜x＜e时，函数f（x）单调递减，
所以当x=1时，f（x）取得极大值，极大值f（1）=，
又f（）=＜，f（e）=＜．
所以f（x）在区间上的最大值为．
19.【答案】证明：如图连接AC交BD于点F，连接EF，
因为AB∥CD且CD=2AB，
所以，
因为，所以，
所以，所以PA∥EF，
又因为EF 平面BDE，PA 平面BDE，
所以PA∥平面BDE
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