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专题09 直线与圆、圆锥曲线
考点分类 2026年高考命题解读 创新考法
考点01 直线与圆 侧重代数推理与多曲线关联：不再局限于单个圆的性质，而是考查直线与多个圆（如三圆）的弦长关系。核心在于利用弦长公式转化为圆心距问题，常涉及参数讨论与导数求最值。 1. 多圆弦长综合（新课标Ⅰ）：一道题同时涉及三个圆，将弦长关系转化为距离关系，结合导数求解最值，对逻辑转化能力要求极高。
2. 圆系方程的深层应用（新课标Ⅱ）：通过两圆方程相减直接求公共弦，考查学生对圆系几何本质的快速识别。
考点02 椭圆 强化轨迹与对称性：计算量适中，但思维要求高。重点考查椭圆的定义、离心率计算以及直线与椭圆相交时的面积、斜率关系。轨迹方程的求解是重难点。 1. 轨迹的“中心点”探究（新课标Ⅱ）：引入“中心点”概念，结合平移变换，讨论轨迹在不同参数下是椭圆、双曲线还是抛物线，极具创新性。
2. 对称点与斜率定值（天津卷）：将直线与圆相切作为条件，求椭圆上点关于直线对称后的斜率关系，综合了几何变换与代数运算。
考点03 双曲线 回归定义与几何性质：相比椭圆，双曲线考题更侧重几何直观。重点考查渐近线、离心率以及焦点三角形的性质。上海卷的题目体现了“设而不求”的解题思想。 1. 焦点三角形与中线长定理（上海卷）：第（2）问利用余弦定理或向量数量积求面积，第（3）问探究弦长倒数和为定值，考查了极化恒等式等高阶几何工具的应用。
2. 几何构造求离心率（天津卷）：通过构造直角三角形，利用边角关系直接求解离心率，避免了繁琐的联立方程。
考点04 抛物线 坐标运算与二级结论：抛物线题目通常涉及焦点弦、切线及与直线的交点。难点在于纵坐标（或横坐标）积的定值关系，以及利用抛物线定义转化距离。 1. 纵坐标积与轴交点关系（天津卷）：通过推导抛物线弦与坐标轴交点的横坐标公式，进而证明一系列关于纵坐标积的恒等式，考查了对抛物线代数结构的深刻理解。
2. 双抛物线焦点距（新课标Ⅰ）：结合两个不同类型的抛物线经过同一点，求解参数及焦点距离，考查了对标准方程形式的灵活掌握。
考点01 直线与圆、圆与圆
1．（2026·新课标全国Ⅰ卷·高考真题）（多选）已知圆，圆，圆，直线与，，均有两个交点．记被，，截得的弦长分别为、、，则（ ）
A．可以取任意实数 B．满足的直线共有条
C．满足的直线多于条 D．当时，的最大值为
2．（2026·新课标全国Ⅱ卷·高考真题）（多选）已知圆：，圆：，则下列说法正确的是（ ）
A．点的坐标为
B．时，圆与轴相切
C．当时，圆与圆相切
D．当圆与圆相交时，两交点所在的直线方程为
3．（2026·新课标全国Ⅱ卷·高考真题）（多选）已知抛物线：，有一斜率为的直线过点，点A在抛物线E上，,两点在直线上，且为等边三角形，则（ ）
A．抛物线E的准线方程为
B．当直线与抛物线E无交点时，
C．若直线与抛物线相交于唯一一点，则抛物线E的焦点在直线上
D．当时，面积的最小值为
4．（2026·上海卷·高考真题）在平面直角坐标系中，点到直线的距离为____________.
5．（2026·北京卷·高考真题）已知直线与圆相切，则________．
考点02 椭圆
1．（2026·上海卷·高考真题）已知椭圆与椭圆相交于、、、四点，且与和的四个焦点在同一个圆上，则_____________.
2．（2026·上海卷·高考真题）在中，，，．已知点，，分别为椭圆的上、下、右顶点，以及两个焦点中的三点，求椭圆的离心率__________．
3．（2026·新课标全国Ⅰ卷·高考真题）已知椭圆的左焦点为，离心率为．
(1)求的方程；
(2)设为坐标原点，过且斜率大于的动直线与交于，两点，其中在第三象限，直线与的另一个交点为．
（i）若的面积是的面积的倍，求的方程；
（ii）求的最小值．
4．（2026·新课标全国Ⅱ卷·高考真题）椭圆：（），过右焦点且与轴垂直的直线被截得的长度为．
(1)求的离心率．
(2)为坐标原点，给定点，在上，过点作轴的垂线，垂足为，与交于点．当在上运动时，的轨迹为．
（ⅰ）求的方程；
（ⅱ）是否有中心点？当为何值时，有中心点？当有中心点时，平移到，使为的中心点，说明的形状.
5．（2026·北京卷·高考真题）已知椭圆：（）的一个顶点是，离心率为．
(1)求的方程；
(2)过点，斜率为的直线交椭圆于、两点，关于的对称点为，交于，若，求．
6．（2026·天津卷·高考真题）已知椭圆（）的离心率为，椭圆被直线截得的线段长为．
(1)求的标准方程；
(2)斜率为的直线与圆相切，且该直线交椭圆于，（），是椭圆的上顶点．记直线，的斜率分别为，，求．
考点03 双曲线
1．（2026·新课标全国Ⅱ卷·高考真题）已知双曲线：（，）过点和，则双曲线C的渐近线方程是（ ）
A． B． C． D．
2．（2026·北京卷·高考真题）已知双曲线：的渐近线方程为，则的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．9
3．（2026·天津卷·高考真题）已知双曲线（，）的左焦点为，是右顶点，是双曲线上一点，满足，，则双曲线离心率为（ ）
A．4 B． C． D．
4．（2026·新课标全国Ⅰ卷·高考真题）双曲线的离心率为__________．
5．（2026·上海卷·高考真题）已知双曲线，过点作不垂直于轴的直线交双曲线于、两点.
(1)求双曲线离心率；
(2)若点，点在双曲线的右支上，且是的中点，求直线的斜率；
(3)若，，分别是双曲线的左右焦点，是关于轴的对称点，若存在直线使得，求的取值范围.
6．（2026·上海卷·高考真题）已知双曲线，点在上，，分别为双曲线的左、右焦点．
(1)求点到双曲线渐近线的距离；
(2)若，求；
(3)记为双曲线满足和的部分；直线，均过右焦点，与交于，两点（分别在第一、第四象限），与交于，两点（分别在第三、四象限），问：是否存在常数，使得对任意直线，都存在唯一对应的直线满足？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
考点04 抛物线
1．（2026·新课标全国Ⅰ卷·高考真题）已知抛物线（）和（）均经过点，则的焦点与的焦点之间的距离为（ ）
A．12 B． C．6 D．
2．（2026·上海卷·高考真题）已知点为抛物线上一点，若点到的焦点的距离是到轴的距离的两倍，则点的横坐标是____________.
3．（2026·天津卷·高考真题）在平面内，为坐标原点，抛物线上有、、、四个点，、、、的纵坐标分别为、、、，直线与直线交轴于点，直线交轴于点，直线交轴于点，以下说法正确的有______．
①若与抛物线焦点重合，则；
②；
③；
④；
⑤
一、单选题
1．（2026·北京顺义·三模）双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2026·山西忻州·模拟预测）圆的圆心到直线的距离为（ ）
A． B．2 C． D．3
3．（2026·北京朝阳·模拟预测）已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上且在第一象限，若，则直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
4．（2026·山东聊城·二模）已知直线，，且，则与的距离为（ ）
A． B． C． D．
5．（2026·北京顺义·二模）已知直线过点，其倾斜角为，设原点到直线的距离为.当时，的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（2026·福建泉州·模拟预测）已知圆与恰有一条公切线，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2026·河南郑州·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点且与其渐近线垂直的直线交C的左支于点P，若，则C的离心率为（ ）
A．2 B． C． D．
8．（2026·天津滨海新区·三模）已知抛物线：的准线经过双曲线：（，）的左焦点，过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为点，延长与抛物线相交于点，若（为坐标原点），则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2026·山西忻州·模拟预测）点在单位圆上运动.记点到直线的距离为，到直线的距离为.则下列说法正确的是（ ）
A． B．的最大值为
C．满足的点有且仅有2个 D．
10．（2026·山西忻州·模拟预测）在平面直角坐标系中，圆，．直线与两个圆均有公共点．记直线被，截得的弦长分别为，．则下列说法正确的是（ ）
A．当时， B．当时，
C．若，则或 D．存在直线，使得
11．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知过抛物线C：的焦点F的直线与C交于A，B两点，则下列说法正确的是（ ）
A．线段的长度的最小值为8
B．若，则
C．若点，则直线，的斜率之和为零
D．上一个动点到直线的距离的最小值为
12．（2026·山西忻州·模拟预测）已知椭圆：的左、右焦点分别为，．点在椭圆的第一象限部分，且．过点作椭圆的切线，该切线与轴、轴正半轴分别交于，，则下列说法正确的是（ ）
A．点的坐标为
B．
C．的面积为
D．该切线的斜率为
13．（2026·云南玉溪·模拟预测）已知曲线，则以下结论正确的是（ ）
A．的范围是 B．若，则曲线具有周期性
C．曲线关于轴对称 D．曲线与圆有公共点
三、填空题
14．（2026·重庆·三模）若直线：与曲线有两个交点，则实数的取值范围是__________．
15．（2026·安徽·模拟预测）已知M是抛物线上的一点，F是抛物线的焦点，若，则直线的倾斜角为______________．
16．（2026·北京·三模）数学中的数形结合可以组成世间万物的绚丽画面，优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的产物，曲线为四叶玫瑰线，下列结论正确的是________．
①方程，表示的曲线在第一和第三象限；
②曲线C上任一点到坐标原点O的距离都不超过1；
③曲线C构成的四叶玫瑰线面积小于π；
④曲线C上有5个整点（横、纵坐标均为整数的点）．
四、解答题
17．（2026·河北·二模）已知双曲线的渐近线方程为，点在双曲线上．
(1)求双曲线的焦距；
(2)过双曲线的右焦点且倾斜角为的直线与交于两点，求．
18．（2026·河南南阳·三模）已知双曲线的离心率，左顶点，过C的右焦点F作与x轴不重合的直线l，交C于P、Q两点．
(1)求双曲线C的方程；
(2)求证：直线、的斜率之积为定值；
(3)设，试问：在x轴上是否存在定点T，使得恒成立？若存在，求出点T的坐标；若不存在，说明理由．
19．（2026·重庆·三模）已知椭圆：过抛物线的焦点，且与双曲线有相同的焦点．
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线：与椭圆交于不同的两点，，点，若直线的斜率与直线的斜率互为相反数，求证：直线过定点．
20．（2026·云南·三模）在平面直角坐标系中，，以为圆心作半径为4的圆，是圆上任意一点，线段的垂直平分线与半径交于点.
(1)当在圆上运动时，求点的轨迹方程；
(2)过的直线交曲线交于两点，点关于轴的对称点为.
（i）直线与轴的交点为，求点的坐标；
（ii）求的取值范围.
21．（2026·陕西商洛·模拟预测）由半个椭圆和两个相同的半圆组成的形如心脏的曲线称为“类心脏曲线”．如图，在平面直角坐标系中，类心脏曲线的两个半圆和的圆心恰好分别是半椭圆的左、右焦点和，且点，分别为的左、右顶点．已知半圆和的半径均为1．
(1)求半椭圆的方程和离心率；
(2)若直线交曲线C于A，B两点，动点S在曲线C上，求面积的最大值；
(3)如图，分别过点，作两条平行线，，分别与，和，交于点M，N和点P，Q，求的最小值．21世纪教育网(www.21cnjy.com)
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考点分类 2026年高考命题解读 创新考法
考点01 直线与圆 侧重代数推理与多曲线关联：不再局限于单个圆的性质，而是考查直线与多个圆（如三圆）的弦长关系。核心在于利用弦长公式转化为圆心距问题，常涉及参数讨论与导数求最值。 1. 多圆弦长综合（新课标Ⅰ）：一道题同时涉及三个圆，将弦长关系转化为距离关系，结合导数求解最值，对逻辑转化能力要求极高。
2. 圆系方程的深层应用（新课标Ⅱ）：通过两圆方程相减直接求公共弦，考查学生对圆系几何本质的快速识别。
考点02 椭圆 强化轨迹与对称性：计算量适中，但思维要求高。重点考查椭圆的定义、离心率计算以及直线与椭圆相交时的面积、斜率关系。轨迹方程的求解是重难点。 1. 轨迹的“中心点”探究（新课标Ⅱ）：引入“中心点”概念，结合平移变换，讨论轨迹在不同参数下是椭圆、双曲线还是抛物线，极具创新性。
2. 对称点与斜率定值（天津卷）：将直线与圆相切作为条件，求椭圆上点关于直线对称后的斜率关系，综合了几何变换与代数运算。
考点03 双曲线 回归定义与几何性质：相比椭圆，双曲线考题更侧重几何直观。重点考查渐近线、离心率以及焦点三角形的性质。上海卷的题目体现了“设而不求”的解题思想。 1. 焦点三角形与中线长定理（上海卷）：第（2）问利用余弦定理或向量数量积求面积，第（3）问探究弦长倒数和为定值，考查了极化恒等式等高阶几何工具的应用。
2. 几何构造求离心率（天津卷）：通过构造直角三角形，利用边角关系直接求解离心率，避免了繁琐的联立方程。
考点04 抛物线 坐标运算与二级结论：抛物线题目通常涉及焦点弦、切线及与直线的交点。难点在于纵坐标（或横坐标）积的定值关系，以及利用抛物线定义转化距离。 1. 纵坐标积与轴交点关系（天津卷）：通过推导抛物线弦与坐标轴交点的横坐标公式，进而证明一系列关于纵坐标积的恒等式，考查了对抛物线代数结构的深刻理解。
2. 双抛物线焦点距（新课标Ⅰ）：结合两个不同类型的抛物线经过同一点，求解参数及焦点距离，考查了对标准方程形式的灵活掌握。
考点01 直线与圆、圆与圆
1．（2026·新课标全国Ⅰ卷·高考真题）（多选）已知圆，圆，圆，直线与，，均有两个交点．记被，，截得的弦长分别为、、，则（ ）
A．可以取任意实数 B．满足的直线共有条
C．满足的直线多于条 D．当时，的最大值为
【答案】BCD
【分析】已知三个圆均为半径的等圆，圆心分别为、、，利用弦长公式（为对应圆心到直线的距离，且以保证直线与圆有两个交点），逐个分析选项即可.
【详解】记到直线的距离分别为，则，，.
∵ 直线与三个圆均有两个交点，
∴ ，，，对应弦长为.
A：∵ 解，得，
解，得，
不妨取，
∵，
∴，记，
解，得，记，
当，即时，，
此时不存在这样的直线与三个圆都相交.
∴ 不能取任意实数，A错误.
B：∵ ，
∴ .
由得，平方得，即或.
①当时，直线为，由得，解得，
此时，符合条件，对应直线条.
②当时，直线为，由得，解得，
此时，符合条件，对应直线条.
综上，共条直线满足条件，B正确.
C：令，
∴ ，，
令，则，
∴ .
令，即，
平方整理可得，解得或，即或，
经验证，此时均小于，满足题目要求，此时已有条直线，多于条，C正确.
D：当时，，，
∴ ，，
令，则，
∴ .
设，求导得，
令得，此时取最大值，
∴ 的最大值为，D正确.

【点睛】方法点睛：本题考查直线与圆的位置关系，核心是利用弦长公式将弦长关系转化为圆心到直线的距离关系，最值问题可通过换元结合导数求解，多选题可逐个验证选项，结合特殊情形快速判断正误.
2．（2026·新课标全国Ⅱ卷·高考真题）（多选）已知圆：，圆：，则下列说法正确的是（ ）
A．点的坐标为
B．时，圆与轴相切
C．当时，圆与圆相切
D．当圆与圆相交时，两交点所在的直线方程为
【答案】BC
【分析】对于A，求出的圆心坐标即可判断；
对于B，利用圆心到的距离即可判断；
对于C，求出两个圆的圆心距与半径之差，半径之和比较即可判断；
对于D，将两个圆的方程相减化简即可求解.
【详解】由：，化简可得，
所以，的圆心，半径，故A错误；
对于B，由，得的半径，所以圆心到轴的距离，即与轴相切，故B正确；
对于C，由，得的半径，由于的圆心为，半径，所以，则与内切，故C正确；
对于D，由，化简得：，
所以与两个交点所在直线的方程为，故D错误.
3．（2026·新课标全国Ⅱ卷·高考真题）（多选）已知抛物线：，有一斜率为的直线过点，点A在抛物线E上，,两点在直线上，且为等边三角形，则（ ）
A．抛物线E的准线方程为
B．当直线与抛物线E无交点时，
C．若直线与抛物线相交于唯一一点，则抛物线E的焦点在直线上
D．当时，面积的最小值为
【答案】ABD
【分析】A选项，根据抛物线方程得，进而得出准线方程；B选项，设直线为，和抛物线方程联立消去，令求解；C选项，先根据直线和抛物线相切，求出切点，假设过焦点，则得到，根据两直线的夹角的公式推出的正切值，从而判断；D选项，可将问题转化为抛物线上一点到直线的距离最小值来处理.
【详解】A选项，，则，故准线，A选项正确；
B选项，设直线为，则，
联立得到，，
直线和抛物线无交点，则，
结合，解得，B选项正确；
C选项，由联立方程，
若与相交于唯一点，只可能是相切，
则，解得，
此时，解得，进而得，则，
若过焦点（如图），由于，，而，
根据倾斜角的定义，，，
而，此时的正切值为，
即，这与为等边三角形矛盾，C选项错误；
D选项，当，此时直线方程为，
设，则到的距离为，
即等边三角形的高的最小值为，此时面积，D选项正确.
C选项方法二：求得，则，，
则，
则，抛物线E的焦点不在直线上，故C错误.
D选项方法二：到的最小距离可转化为抛物线和平行的切线，求得两平行线的距离即可，
由于，设直线为，
联立，得到，
由，此时直线为，
由平行线的距离公式可推出直线间距离为，其余同上.
4．（2026·上海卷·高考真题）在平面直角坐标系中，点到直线的距离为____________.
【答案】/0.6
【分析】根据点到直线的距离公式求解即可.
【详解】根据点到直线的距离公式可得.
故答案为：.
5．（2026·北京卷·高考真题）已知直线与圆相切，则________．
【答案】
【详解】圆的圆心为，半径.
由直线与圆相切，则得，
解得.
考点02 椭圆
1．（2026·上海卷·高考真题）已知椭圆与椭圆相交于、、、四点，且与和的四个焦点在同一个圆上，则_____________.
【答案】
【分析】根据椭圆和圆的对称性、椭圆的焦距公式进行求解即可.
【详解】因为两个椭圆的四个焦点在同一个圆上，
所以根据椭圆和的对称性可知，该圆的圆心为原点，
因此有，
且两个椭圆的半焦距为，
因此该圆的方程为，
又因为、、、四点与和的四个焦点在同一个圆上，
所以由椭圆和圆的对称性可知，这四个点也在圆上，
由，代入椭圆中，
得，又，故，
故答案为：
2．（2026·上海卷·高考真题）在中，，，．已知点，，分别为椭圆的上、下、右顶点，以及两个焦点中的三点，求椭圆的离心率__________．
【答案】
【分析】根据椭圆对称性分析各点的可能性情况，分情况讨论求的值，即可得离心率.
【详解】因为，
根据对称性可知：点其中一个为上下顶点，一个为右顶点，一个为焦点，不妨取上顶点.
①当点中一个为上顶点，一个为右顶点，一个为左焦点，如图1
则或，解得或无解；
②当点中一个为上顶点，一个为右顶点，一个为右焦点，如图2，
则或，方程组均无解；
综上所述：，，，所以离心率.
3．（2026·新课标全国Ⅰ卷·高考真题）已知椭圆的左焦点为，离心率为．
(1)求的方程；
(2)设为坐标原点，过且斜率大于的动直线与交于，两点，其中在第三象限，直线与的另一个交点为．
（i）若的面积是的面积的倍，求的方程；
（ii）求的最小值．
【答案】(1)
(2)（i）；（ii）
【分析】（1）根据焦点以及离心率的定义即可求解；
（2）（i）通过联立直线与椭圆方程，利用韦达定理以及三角形的面积公式即可求解；（ii）由于是直线与直线的夹角，根据列出表达式即可求解.
【详解】（1）已知椭圆的左焦点为，离心率，
则，解得，，
因此椭圆方程为.
（2）解法一：
设，点，点，其中，
联立直线与椭圆方程，得，
由韦达定理得，
由于两点在椭圆上，关于原点对称，
所以点，且，
（i）

由面积公式，，
又因为是线段的中点，所以，所以，
，
由于，得，即，
令，由与，得，
代入，得，解得，
所以，所以直线的方程为.
（ii）直线的斜率为，
于是，当且仅当时取等号，
故的最小值为.
解法二：
（i）如图所示，设直线的方程为，其中斜率，


设点，点，且，
根据椭圆的中心对称性可知，点，
联立直线与椭圆方程，得，化简得，
由韦达定理可得，
因为是关于原点的对称点，所以是线段的中点，
因此，所以，
由于，所以，
，
，
所以，即，
由于，所以简化为，
代入韦达定理，得，则，
化简得，由于，解得，
所以直线的方程为，即.
（ii）由题意，即为直线与直线的夹角，
直线即直线，方程为，
点，点，点，直线的斜率，
直线的斜率，
由于在直线上，有，
则，代入，
则，
设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，则，
因此，
即，
由基本不等式得，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为.
4．（2026·新课标全国Ⅱ卷·高考真题）椭圆：（），过右焦点且与轴垂直的直线被截得的长度为．
(1)求的离心率．
(2)为坐标原点，给定点，在上，过点作轴的垂线，垂足为，与交于点．当在上运动时，的轨迹为．
（ⅰ）求的方程；
（ⅱ）是否有中心点？当为何值时，有中心点？当有中心点时，平移到，使为的中心点，说明的形状.
【答案】(1)
(2)（i）的方程为；
（ii），当时，轨迹无中心点；
当时，有中心点；
当时，形状为焦点在x轴上的椭圆去掉与轴交点，
当时，形状为焦点在x轴上的双曲线去掉与轴交点.
【分析】（1）利用过右焦点垂直于轴的直线被所截线段长为 ，通过求出坐标解出线段的长，求得再求出离心率；
（2）(i)通过联立方程求出点的坐标，再反解出点的坐标代入椭圆方程，从而求出的轨迹的方程；
（ii）先对曲线方程配方，再讨论在不同取值时，中心存在的情况；再通过平移规律求出的方程，再讨论不同情况下的形状.
【详解】（1）设椭圆 的右焦点为，其中 ，
那么过右焦点且垂直于 轴的直线为，代入椭圆得
，即 ，
所以 ，由于截线段长为 ，解得 ，
故 ，离心率 .
（2）(i) 方法一：
由(1)知椭圆方程为 ，由于点满足 ，且 ，过作轴的垂线，交 轴于点 ，
那么当时，点，点与点重合；
当时，直线 方程为：，直线方程为： ，
即
联立，解得即点，
设，则由，
代入椭圆方程 得，即
两边乘以 得
整理得，
把点代入，仍然成立，
故轨迹的方程为；
方法二：
由于，点在轴，故直线必有斜率；
设直线方程为，，那么点，
由于轴，则，
由于点三点共线，则，
因为点在直线上，所以，，
把代入椭圆方程： ，得，即，
整理化简，得 ，
故轨迹的方程为；
(ii)由（i）得轨迹的方程为，
当即时，轨迹的方程为 ，为抛物线去掉与x轴交点，无中心点；
当 即 且0时，
化简轨迹的方程为，
将轨迹向左或向右平移个单位得到的方程为，即，
所以当时，形状为焦点在x轴上的椭圆去掉与轴交点，
当时，形状为焦点在x轴上的双曲线去掉与轴交点.
综上，当时，轨迹无中心点；
当时，有中心点；
当时，形状为焦点在x轴上的椭圆去掉与轴交点，
当时，形状为焦点在x轴上的双曲线去掉与轴交点.
5．（2026·北京卷·高考真题）已知椭圆：（）的一个顶点是，离心率为．
(1)求的方程；
(2)过点，斜率为的直线交椭圆于、两点，关于的对称点为，交于，若，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用顶点坐标及离心率计算即可得；
（2）设出直线，联立曲线方程可得与交点横坐标有关韦达定理，结合题目所给条件计算可得点、点坐标，再利用点到直线距离公式与两点间距离公式可表示出与，结合题目所给条件与韦达定理计算即可得解.
【详解】（1）由题意可得，则，即，故的方程为；
（2）由题意可得，设、，
由关于直线对称的点为，则，
联立，消去得：，
由，故在椭圆内部，故恒成立，有、，
则，
，
，联立，
则，即，
整理得，即，
点到直线的距离，点到直线的距离，
又，则，，
故
，
即有，若，则，无解，不符；
则，有，解得；
故.
6．（2026·天津卷·高考真题）已知椭圆（）的离心率为，椭圆被直线截得的线段长为．
(1)求的标准方程；
(2)斜率为的直线与圆相切，且该直线交椭圆于，（），是椭圆的上顶点．记直线，的斜率分别为，，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据椭圆的离心率可知，，然后将代入椭圆方程即可求解；
（2）根据直线与圆相切即可求出，分类讨论即可.
【详解】（1）由于椭圆的离心率为，所以，即，
由于，所以，
将代入椭圆方程，得，即，解得，即，
由题意，所截得的线段长为，所以，解得，从而，
所以椭圆的方程为.
（2）由（1）可知，，所以圆的方程为，
设直线的方程为，因为直线与圆相切，如图所示，
则圆心到直线的距离，解得，
椭圆上顶点，分两种情况讨论：
①当时，直线的方程为，代入椭圆方程，
化简得，解得或，
则当时，，当时，，由于，所以，
则，，此时；
②当时，直线的方程为，代入椭圆方程，
化简得，解得或，
当时，，当时，，由于，所以，
则，，此时.
综上所述，的值为.
考点03 双曲线
1．（2026·新课标全国Ⅱ卷·高考真题）已知双曲线：（，）过点和，则双曲线C的渐近线方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】把点和代入双曲线方程求出，再求出渐近线方程即可.
【详解】把点和，代入双曲线方程可得
，
所以双曲线方程为，
故该双曲线渐近线方程为.
2．（2026·北京卷·高考真题）已知双曲线：的渐近线方程为，则的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．9
【答案】B
【分析】根据渐近线方程结合已知双曲线方程列式计算求解.
【详解】因为双曲线为，则渐近线为，
又因为渐近线为，且，所以.
3．（2026·天津卷·高考真题）已知双曲线（，）的左焦点为，是右顶点，是双曲线上一点，满足，，则双曲线离心率为（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】D
【分析】解法一：过点作垂直轴，垂足为，根据几何关系用表示出点坐标，代入双曲线方程构造齐次式，然后可得离心率.
解法二：设右焦点为，连接，根据双曲线的定义和性质可得，，结合余弦定理运算求解.
【详解】解法一：如图，过点作垂直于轴，垂足为，
因为，所以，所以，
又，所以，
根据双曲线对称性，不妨设点在第二象限，则，
将点坐标代入双曲线方程得：，
整理得，
将代入上式，整理得，
两边同时除以，整理得，解得.
解法二：如图，
设右焦点为，连接，
由题意可知：，，
在三角形中，，
在三角形中，，
即，
整理可得，可得，
所以.
4．（2026·新课标全国Ⅰ卷·高考真题）双曲线的离心率为__________．
【答案】
【分析】先将给定双曲线方程化为标准形式，确定、，再利用双曲线中的关系求出，最后根据离心率定义计算结果.
【详解】将双曲线化为标准方程，得，则，
因此，则离心率为.
5．（2026·上海卷·高考真题）已知双曲线，过点作不垂直于轴的直线交双曲线于、两点.
(1)求双曲线离心率；
(2)若点，点在双曲线的右支上，且是的中点，求直线的斜率；
(3)若，，分别是双曲线的左右焦点，是关于轴的对称点，若存在直线使得，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）求出，直接利用公式即可求解；
（2）根据中点坐标公式求出点，将点坐标代入双曲线方程求出，再利用斜率公式即可求出答案；
（3）设直线方程为，联立求出，由题意得且，再根据求出，结合且可求出答案.
【详解】（1）对于双曲线，，，
，
所以双曲线离心率.
（2）因为点是的中点，所以点，
代入双曲线方程，得，
解得，
又点在双曲线的右支上，所以，即，
所以，
所以直线的斜率为.
（3）当直线斜率为时，易知与共线，不符合题意；
当直线斜率不为时，设直线方程为，
设，，则，
联立，整理得，
（*）且，
，，
因为，，
所以，，
所以，
即，
即，
整理得，即，
代入（*）中得，又，所以，
又因为，即，所以且，
综上，的取值范围为.
6．（2026·上海卷·高考真题）已知双曲线，点在上，，分别为双曲线的左、右焦点．
(1)求点到双曲线渐近线的距离；
(2)若，求；
(3)记为双曲线满足和的部分；直线，均过右焦点，与交于，两点（分别在第一、第四象限），与交于，两点（分别在第三、四象限），问：是否存在常数，使得对任意直线，都存在唯一对应的直线满足？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在实数符合题意，此时的取值范围为
【分析】（1）根据双曲线方程求，即可得渐近线方程以及点到直线的距离；
（2）解法一：根据余弦定理可得，结合定义可得，，即可得面积；解法二：设，根据数量积可得，即可得面积；解法三：根据极化恒等式和中线长性质可得，，结合面积公式运算求解；
（3）根据题意结合双曲线性质可得直线斜率取值范围，设直线方程结合弦长公式可得，，进而分析取值范围即可得解.
【详解】（1）由题意可知：，，
则，，渐近线方程为，即，
所以点到双曲线渐近线的距离为.
（2）解法一：因为，
由余弦定理可得，
整理得：，
因点是双曲线上一点，则，可得，
代入可得，，则，
所以的面积为；
解法二：设，则，即，
可得，，
因为，即，解得，
所以的面积为；
解法三：因为，即，
由中线长定理可知：，
因为，可得，
代入可得，，可得，
解得，则，，
所以的面积为.
（3）不妨取，，则直线的斜率，
依题意，设直线：，则，设直线：，则，，，
联立方程，消去x可得，
则，，
可得，
可知函数在内单调递增，则，
且当趋近于1时，趋近于，即在内的值域为，故，
因，所以；
同理可得：
可知在内单调递减，则，
且当趋近于1时，趋近于，即在内的值域为，故；
由题意可知：，可得，解得，
所以存在实数符合题意，此时的取值范围为.
考点04 抛物线
1．（2026·新课标全国Ⅰ卷·高考真题）已知抛物线（）和（）均经过点，则的焦点与的焦点之间的距离为（ ）
A．12 B． C．6 D．
【答案】D
【分析】将已知点代入抛物线方程求解参数，再结合抛物线焦点坐标公式得到两个焦点坐标，最后代入距离公式计算即可.
【详解】∵ 抛物线经过点，
∴ 将代入的方程得，即，解得.
∴ 的焦点坐标为，即.
∵ 抛物线经过点，
∴ 将代入的方程得，即，解得.
∴ 的焦点坐标为，即.
根据两点间距离公式，与之间的距离为：
.
2．（2026·上海卷·高考真题）已知点为抛物线上一点，若点到的焦点的距离是到轴的距离的两倍，则点的横坐标是____________.
【答案】
【分析】设，根据条件，利用抛物线的定义得，即可求解.
【详解】因为抛物线的焦点为，准线方程为，设，
由题有，解得，
故答案为：.
3．（2026·天津卷·高考真题）在平面内，为坐标原点，抛物线上有、、、四个点，、、、的纵坐标分别为、、、，直线与直线交轴于点，直线交轴于点，直线交轴于点，以下说法正确的有______．
①若与抛物线焦点重合，则；
②；
③；
④；
⑤
【答案】②④
【分析】首先探求抛物线弦与轴交点坐标与弦端点纵坐标积的关系，再利用关系式逐项分析，①②易得，③④⑤将长度与面积都转化为纵坐标表示，化简求解可得.
【详解】由题意、、、为抛物线上四个点可知，两两不等.
设抛物线上任意两点，其中.
当时，直线的斜率，
则直线方程为，
令，则直线与轴的交点横坐标
特别地，当时，，
此时直线垂直于轴，也成立，
因此，直线与轴的交点横坐标（）.
①由题意直线交轴于点，若与抛物线焦点重合，则其横坐标为，
故由式可得，即，故①错误；
②由题意直线与直线交轴于点，
则由式可得点横坐标，
可得，故②正确；
③由题意直线交轴于点，直线交轴于点，
则由式可得
，
则，
故，故③错误；
④由式可得，
当点或为原点时，则点也重合于原点，此时；
当点与均不为原点时，即，且，
则结合②结论可知，，
则有，故④正确；
⑤由，可知，则，
，
如图，当时，不成立，故⑤错误；
故答案为：②④
一、单选题
1．（2026·北京顺义·三模）双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】双曲线的标准方程为，则，
其渐近线方程为：．
2．（2026·山西忻州·模拟预测）圆的圆心到直线的距离为（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】C
【分析】根据题意，求得圆心的坐标，结合点到直线的距离公式，即可求解.
【详解】将圆，化为，可得圆心为，
圆心到直线的距离为．
3．（2026·北京朝阳·模拟预测）已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上且在第一象限，若，则直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为抛物线的焦点为，所以，故抛物线方程为，
设，因为，所以，可得，
代入抛物线方程可得，解得，
因为点在第一象限，所以，
所以直线的斜率为，则直线的倾斜角为.
4．（2026·山东聊城·二模）已知直线，，且，则与的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据两直线平行求出实数的值，再利用平行线间的距离公式可求得结果.
【详解】因为，则，解得，即直线的方程为，可化为，
故与的距离为.
5．（2026·北京顺义·二模）已知直线过点，其倾斜角为，设原点到直线的距离为.当时，的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意，设直线的方程为，再结合点到直线的距离公式列不等式求解即可.
【详解】由题意，直线过点，且原点到直线的距离，
则直线的斜率存在，设直线的方程为，即，
则，由，则，解得或，
又，则的取值范围是.
6．（2026·福建泉州·模拟预测）已知圆与恰有一条公切线，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】解法一：先根据圆与圆的位置关系得到，令，，结合辅助角公式，正弦函数的性质即可求解．
解法二：先根据圆与圆的位置关系得到，令，从而得到关于的一元二次方程，再结合，求解即可．
解法三：先根据圆与圆的位置关系得到，令，，结合求解即可．
【详解】解法一：依题意，圆心分别为，，半径，，
因为两圆恰有一条公切线，所以两圆内切，所以，
即，解得，
令，，（其中为参数），
则（其中）．
解法二：依题意，圆心分别为，，半径，，
因为两圆恰有一条公切线，所以两圆内切，所以，
即，解得，
令，则，代入，
整理得，
由，解得，
所以，所以．
解法三：依题意，圆心分别为，，半径，，
因为两圆恰有一条公切线，所以两圆内切，所以，
即，解得，
令，，
又，则，
当且仅当，共线，且时，即，取得最大值．
7．（2026·河南郑州·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点且与其渐近线垂直的直线交C的左支于点P，若，则C的离心率为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【分析】利用正弦定理把用表示，然后利用余弦定理求得关系，从而求得离心率．
【详解】设的半焦距为，，渐近线的斜率的绝对值为，
所以，因为又，所以，故解得，，
则．在中，由正弦定理，得，解得，故，
由余弦定理，得，整理得，所以的离心率．

8．（2026·天津滨海新区·三模）已知抛物线：的准线经过双曲线：（，）的左焦点，过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为点，延长与抛物线相交于点，若（为坐标原点），则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据抛物线准线过双曲线左焦点得出与的关系，再利用向量关系得到线段长度关系，结合双曲线的性质求出方程即可.
【详解】如图，作出符合题意的图形，
由题意得抛物线的准线方程为，
双曲线的左焦点（其中），
抛物线的准线经过双曲线的左焦点，故，即，
已知，移项可得，即，
即，则，
又双曲线的一条渐近线方程为，即，
则焦点到渐近线的距离
在中，，
由勾股定理可得，
过作轴于点，则，
由相似三角形的性质可得，
即，所以，
则点的横坐标为，纵坐标的绝对值为，
因为点在抛物线上，且，
所以，即，
整理得，因此，则，
在本题中，，则，，
则双曲线方程为，故D正确.
二、多选题
9．（2026·山西忻州·模拟预测）点在单位圆上运动.记点到直线的距离为，到直线的距离为.则下列说法正确的是（ ）
A． B．的最大值为
C．满足的点有且仅有2个 D．
【答案】ABD
【分析】利用点到直线的距离公式、圆的定义结合基本不等式判定各选项即可.
【详解】设，则.
点到直线的距离为，点到直线的距离为.
对于A，.故A正确.
对于B，由于，且，
所以.
因此.当且仅当时取等，故B正确.
对于C，若，则.
平方得，化简得.
单位圆上满足的点有（1，0），（-1，0），（0，1），（0，-1），共4个，故C错误.
对于D，由，得.故D正确.
10．（2026·山西忻州·模拟预测）在平面直角坐标系中，圆，．直线与两个圆均有公共点．记直线被，截得的弦长分别为，．则下列说法正确的是（ ）
A．当时， B．当时，
C．若，则或 D．存在直线，使得
【答案】ABCD
【分析】由题意可将，到直线的距离分别表示出来，从而得到弦长，，再逐一分析四个选项即可.
【详解】圆的圆心为，圆的圆心为．直线化为．
两个圆心到直线的距离分别为，．
两圆的半径均为1，故弦长满足．
对于A，当时，，所以．故A正确；
对于B，当时，，所以．故B正确；
对于C，若，则，即，化简得．
所以或．故C正确；
对于D，若取直线，则该直线经过两个圆的圆心，此时，
故．故D正确．
11．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知过抛物线C：的焦点F的直线与C交于A，B两点，则下列说法正确的是（ ）
A．线段的长度的最小值为8
B．若，则
C．若点，则直线，的斜率之和为零
D．上一个动点到直线的距离的最小值为
【答案】ACD
【分析】对于选项A，求出焦点的坐标，得到的方程，解出的值，从而得到抛物线的方程，将直线 方程代入抛物线，整理得到关于的一元二次方程，利用韦达定理求出，利用弦长公式求出，利用得到的最小值；对于选项B，求出，利用得到，利用得到的值，代入得解；对于选项C，求出，，计算得解；对于选项D，设与直线平行且与抛物线相切的直线方程为，整理得到，利用求出，利用两平行线间的距离公式求出直线与直线的距离，即为上一动点到直线的距离的最小值．
【详解】由题知，设直线的方程为，
点，，联立方程，
消去后整理为，则，.
由，得的最小值为8，A正确；
由，知，则，，
故，，即，，
所以，B错误；
，C正确；
设直线与C相切，联立方程
消去后整理得，
由，得，
故C上一个动点P到直线的距离的最小值为，D正确．
12．（2026·山西忻州·模拟预测）已知椭圆：的左、右焦点分别为，．点在椭圆的第一象限部分，且．过点作椭圆的切线，该切线与轴、轴正半轴分别交于，，则下列说法正确的是（ ）
A．点的坐标为
B．
C．的面积为
D．该切线的斜率为
【答案】ABC
【分析】利用椭圆的性质求出点到焦点的距离，从而结合两点间距离公式求出点的坐标，设出切线方程与椭圆方程联立，利用根的判别式等于零求出切线的斜率，从而求出切线和坐标轴的交点，并计算出三角形的面积.
【详解】
选项A、B：椭圆，则椭圆的焦点，，
点在椭圆的第一象限部分，设，
因为，且根据椭圆的性质可知，
所以，即，故选项B正确；
，化简可得，
因为，所以代入可得，解得，
所以，即点的坐标为，故选项A正确；
选项C、D：设过点与椭圆相切的直线为，的斜率为，
则的直线方程为，即，
直线方程与椭圆方程联立可得，
化简可得，
则，
化简可得，即，
解得，故选项D错误；
因此的直线方程为，
令，则，即，
令，则，即，
所以，故选项C正确.
13．（2026·云南玉溪·模拟预测）已知曲线，则以下结论正确的是（ ）
A．的范围是 B．若，则曲线具有周期性
C．曲线关于轴对称 D．曲线与圆有公共点
【答案】BCD
【分析】根据正弦函数的值域判断A；根据正弦函数的周期性判断B；将代入曲线，再根据对称性的概念判断C；求出曲线与圆的交点，可判断D.
【详解】曲线，
则，A选项错误；
当，则曲线，，
即当点在上时，点也在上时，
所以是周期，所以曲线具有周期性，B选项正确；
将代入曲线，得成立，
所以曲线关于轴成轴对称图形，C选项正确；
由，得，
当时，上式成立，
曲线，与圆有公共点，D选项正确.
三、填空题
14．（2026·重庆·三模）若直线：与曲线有两个交点，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【分析】先求出直线所过定点，再将曲线转化为，可知其为半圆，结合图象，即可求出的取值范围.
【详解】由题意得，直线的方程可化为，所以直线恒过定点，
又曲线可化为，
其表示以为圆心，半径为2的圆的上半部分，如图.
当直线与该曲线相切时，点到直线的距离，
解得，设，则，
由图可得，若要使直线与曲线有两个交点，则实数，
即实数的取值范围是.
15．（2026·安徽·模拟预测）已知M是抛物线上的一点，F是抛物线的焦点，若，则直线的倾斜角为______________．
【答案】或.
【分析】由抛物线的几何性质求的纵坐标，再求的斜率，进而得到倾斜角.
【详解】

抛物线的准线为，设直线的倾斜角为，
过M向抛物线的准线作垂线交准线于，由抛物线的几何性质得，所以的纵坐标为，
又因为M是抛物线上的一点，所以，所以，
所以，或.
16．（2026·北京·三模）数学中的数形结合可以组成世间万物的绚丽画面，优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的产物，曲线为四叶玫瑰线，下列结论正确的是________．
①方程，表示的曲线在第一和第三象限；
②曲线C上任一点到坐标原点O的距离都不超过1；
③曲线C构成的四叶玫瑰线面积小于π；
④曲线C上有5个整点（横、纵坐标均为整数的点）．
【答案】②③
【分析】对于①，由表示，异号，对应第二、四象限，从而得到结论；对于②，设点在曲线上，求出到原点的距离，结合基本不等式可以得到，从而得到结论；对于③，曲线上所有点都在以原点为圆心，半径为1的圆内（含边界），求出单位圆的面积，而玫瑰线仅由四片花瓣组成，未填满整个圆，因此其面积小于单位圆的面积，从而得到结论；对于④，整点即，且（由②）,可能的点为,，，将这些点分别代入方程中，检验是否成立，从而得到结论.
【详解】对于①，方程中， 表示，异号，
对应第二、四象限，第一、三象限满足，因此①错误；
对于②，设点在曲线上，到原点的距离，
即 ，由基本不等式：，
代入曲线方程： ，即 ，
因，两边除以（）得，即，
当且仅当时取等号，因此②正确；
对于③，由②知，曲线上所有点都在以原点为圆心，半径为1的圆内（含边界），
单位圆的面积为，而玫瑰线仅由四片花瓣组成，未填满整个圆，
因此其面积小于，③正确；
对于④，整点即，且（由②）,
可能的点为,将其代入方程，得到成立；
将代入方程，左边为，右边为，不成立；
将代入方程，左边为，右边为，不成立；
因此仅1个整点，④错误.
结论：正确的是②③.
四、解答题
17．（2026·河北·二模）已知双曲线的渐近线方程为，点在双曲线上．
(1)求双曲线的焦距；
(2)过双曲线的右焦点且倾斜角为的直线与交于两点，求．
【答案】(1)
(2)4
【分析】（1）根据双曲线的渐近线方程得到与的关系，再将点的坐标代入双曲线方程，联立求解出，的值，进而求出的值，得到焦距；
（2）先求出直线的方程，然后联立直线与双曲线的方程，利用弦长公式求出即可.
【详解】（1）由题意得：
，
又，可得，
，则双曲线的焦距为．
（2）双曲线的方程为，
右焦点坐标为，
设直线的斜率为．
直线的方程为：，
联立，整理得，
因
设，则
．
18．（2026·河南南阳·三模）已知双曲线的离心率，左顶点，过C的右焦点F作与x轴不重合的直线l，交C于P、Q两点．
(1)求双曲线C的方程；
(2)求证：直线、的斜率之积为定值；
(3)设，试问：在x轴上是否存在定点T，使得恒成立？若存在，求出点T的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)由题意知．设直线，
与双曲线方程联立得．
，
设、，则，
故直线、的斜率之积为
．
(3)存在，
【分析】（1）根据离心率的定义及求解即可.
（2）设直线，与双曲线方程联立，结合韦达定理求解即可.
（3）根据向量垂直的坐标表示得到，即，结合即韦达定理求解即可.
【详解】（1）设双曲线的半焦距为c．
由题意知．故，
所以，双曲线C的方程为．
（2）略
（3）由题意知，得．
设，则．
即．
又，即，解得．
所以，
因此在x轴上存在定点，使得恒成立．
19．（2026·重庆·三模）已知椭圆：过抛物线的焦点，且与双曲线有相同的焦点．
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线：与椭圆交于不同的两点，，点，若直线的斜率与直线的斜率互为相反数，求证：直线过定点．
【答案】(1)
(2)直线过定点，证明见解析
【分析】（1）由抛物线方程和双曲线方程分别可焦点坐标，进而可得，，再由椭圆的性质可得，因此可得椭圆方程；
（2）设交点坐标，再联立直线的方程与椭圆的方程消去，由根与系数关系及可得，进而可得直线过定点.
【详解】（1）由抛物线，得焦点，
因为椭圆过抛物线的焦点，所以.
由双曲线，得焦点，
因为椭圆与双曲线有相同的焦点，所以.
由椭圆的性质，，
∴椭圆的方程为.
（2）设，，
联立，消去得，
，
，，
由已知，
所以，
所以，
则，
，
，解得，满足，
∴直线的方程为，故直线恒过定点
20．（2026·云南·三模）在平面直角坐标系中，，以为圆心作半径为4的圆，是圆上任意一点，线段的垂直平分线与半径交于点.
(1)当在圆上运动时，求点的轨迹方程；
(2)过的直线交曲线交于两点，点关于轴的对称点为.
（i）直线与轴的交点为，求点的坐标；
（ii）求的取值范围.
【答案】(1)
(2)（i）（ii）
【分析】（1）由条件可得，结合椭圆的定义判断轨迹形状，位置，结合椭圆方法求结论；
（2）（i）设直线方程为，，联立方程组求，求直线的方程和的坐标，（ii）结合（i）利用表示，利用换元法及二次函数性质求其范围.
【详解】（1）因为是圆上任意一点，点为线段的垂直平分线与半径的交点，
则,故，
又因为，则
所以的轨迹是以为两焦点，长轴长为4的椭圆，
即,
故的轨迹方程为.
（2）（i）由已知直线与直线不重合，
设过的直线方程为，，
联立，化简得，
显然，且，
又因为，则直线的方程为，令，得，
将代入上式，
可得，
所以点的坐标为.
（ii）由（i）得，
同理得，，
则
将代入，
化简得，，
故
令，则，
，
由，则，
当时，，当时，，
所以的取值范围为.
21．（2026·陕西商洛·模拟预测）由半个椭圆和两个相同的半圆组成的形如心脏的曲线称为“类心脏曲线”．如图，在平面直角坐标系中，类心脏曲线的两个半圆和的圆心恰好分别是半椭圆的左、右焦点和，且点，分别为的左、右顶点．已知半圆和的半径均为1．
(1)求半椭圆的方程和离心率；
(2)若直线交曲线C于A，B两点，动点S在曲线C上，求面积的最大值；
(3)如图，分别过点，作两条平行线，，分别与，和，交于点M，N和点P，Q，求的最小值．
【答案】(1)，
(2)最大值．
(3)5
【分析】（1）由半圆的半径求解，，即可求解半椭圆的方程与离心率；
（2）设点A在x轴下方，点B在x轴上方，直线与椭圆联立，再由点S在半圆上以及可得的面积最大即可求解；
（3）由题意知，，再由，由对称性求解所截得弦的长，直线与椭圆联立，由韦达定理的代入求解即可.
【详解】（1）设半椭圆的方程为（，且）．
由半圆的半径为1，得，，
故，，，，所以，，
所以，解得，
所以半椭圆的方程为，
所以半椭圆的离心率．
（2）如图，不妨设点A在x轴下方，点B在x轴上方，
由，得，解得或，
所以，则直线的方程为，
又等于半径1，所以．
显然，当点S在半圆上且时，的面积最大．
因为点到直线的距离，
所以点S到直线的距离，
故，
所以面积的最大值．
（3）由题意知，．
因为，所以由对称性可知，为椭圆截直线所得弦的长．
设，且与椭圆交于点和．
由，得，则，
所以，，
所以，
所以当时，取得最小值，
所以的最小值为．
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