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专题06 不等式
考点分类 2026年高考命题解读 创新考法
考点01 不等关系的判断 强调逻辑推理与反例构造。试题不再局限于单纯的数值计算，而是侧重于考查不等式的性质（如传递性）和逻辑判断能力。重点在于通过举反例排除错误选项，或利用已知条件通过代数变形推导正确结论。 生活情境与抽象符号结合：
如北京卷第2题，将不等式关系融入“学校组织参观博物馆”的实际场景中。这要求考生能将文字描述（如“高一总人数多于高二”）精准转化为数学符号进行推导，考查了数学建模和逻辑抽象能力。
考点02 基本不等式 回归运算本质，注重“一正二定三相等”。试题主要考查利用基本不等式求最值（如天津卷、上海卷）。重点在于配凑“定和”或“定积”的形式，并严格验证等号成立的条件 多变量条件下的最值求解：
如上海卷第3题，根据给出的条件 ，求的最大值。这种考法需要考生灵活运用基本不等式的变形（如平方和与和的关系），或者通过换元法将多变量问题转化为单变量问题，对代数变形能力要求较高。
考点03 不等式的解法 突出“数形结合”与“综合应用”。试题涵盖了分式不等式、含参不等式的求解。难点在于结合函数图像（如上海卷第1题）或导数工具（如上海卷第2题）来确定解集范围。 导数与不等式解集的深度捆绑：
如上海卷第2题，将不等式解集问题与导数几何意义（切线、法线）结合。题目要求直线与曲线在第一象限无交点，转化为分离参数后求函数最值的问题。这种考法综合性极强，要求考生具备利用导数研究函数单调性、最值来解决不等式恒成立或解集存在性问题的能力。
考点01 不等关系的判断
1．（2026·上海卷·高考真题）已知，则下列不等式恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2026·北京卷·高考真题）学校组织高一、高二学生参观甲、乙两地博物馆，每位学生可自主选择一处前往．已知高一学生总人数多于高二学生总人数，前往甲地的全体学生总数多于前往乙地的全体学生总数，则（ ）
A．去甲地的高一学生人数多于去乙地的高一学生人数
B．去甲地的高一学生人数多于去乙地的高二学生人数
C．去甲地的高一学生人数不多于去乙地的高二学生人数
D．去乙地的高二学生人数不少于去甲地的高二学生人数
考点02 基本不等式
1．（2026·天津卷·高考真题）（2026·天津·高考真题）的最小值为（ ）
A．10 B．9 C．8 D．6
2．（2026·上海卷·高考真题）已知，则的最大值为__________．
3．（2026·上海卷·高考真题）若，，且，则的最大值是______．
考点03 不等式的解法
1．（2026·上海卷·高考真题）关于的不等式的解集为____________.
2．（2026·上海卷·高考真题）已知，函数，．
(1)已知，求的解集；
(2)已知，是在点处的切线，是过点且垂直于的直线，与、在第一象限内均无公共点，求的取值范围．
一、单选题
1．（2026·北京石景山·二模）已知实数a，b，c，d满足：，则下列不等式恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2026·湖南长沙·模拟预测）不等式的解集为（ ）
A． B．
C．或 D．或
4．（2026·北京·三模）已知非零实数，满足，则（ ）
A． B．
C． D．
5．（2026·宁夏·一模）不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
6．（2026·湖南衡阳·模拟预测）已知正数a，b满足，的最大值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2026·重庆渝中·二模）已知不等式的解集为或，则实数的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
8．（2026·重庆·模拟预测）已知，，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2026·山东济宁·三模）已知，，为实数，则（ ）
A．若，则 B．若，，则
C．若，则 D．若，，，则
10．（2026·河南·模拟预测）已知，，，下列说法正确的是（ ）
A．的最大值为1 B．的最小值为2
C．ab的最大值为 D．的最小值为2
11．（2026·山东·模拟预测）已知，则（ ）
A． B． C． D．
12．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知不相等的实数，满足，则下面说法正确的是（ ）
A．存在实数使得，是方程的两根
B．若，则的取值范围是
C．的取值范围是
D．的取值范围是
三、填空题
13．（2026·上海杨浦·模拟预测）不等式的解集为__________．
14．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数，且在上恒成立，则实数的最小值为___________．
15．（2026·安徽·模拟预测）已知，，且，则的最小值为________．
四、解答题
16．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知函数．
(1)求极值点的个数，并解不等式；
(2)求证：若，则
17．（2026·安徽安庆·二模）设.
(1)解不等式;
(2)设，若存在，使得，求实数的取值范围.21世纪教育网(www.21cnjy.com)
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考点分类 2026年高考命题解读 创新考法
考点01 不等关系的判断 强调逻辑推理与反例构造。试题不再局限于单纯的数值计算，而是侧重于考查不等式的性质（如传递性）和逻辑判断能力。重点在于通过举反例排除错误选项，或利用已知条件通过代数变形推导正确结论。 生活情境与抽象符号结合：
如北京卷第2题，将不等式关系融入“学校组织参观博物馆”的实际场景中。这要求考生能将文字描述（如“高一总人数多于高二”）精准转化为数学符号进行推导，考查了数学建模和逻辑抽象能力。
考点02 基本不等式 回归运算本质，注重“一正二定三相等”。试题主要考查利用基本不等式求最值（如天津卷、上海卷）。重点在于配凑“定和”或“定积”的形式，并严格验证等号成立的条件 多变量条件下的最值求解：
如上海卷第3题，根据给出的条件 ，求的最大值。这种考法需要考生灵活运用基本不等式的变形（如平方和与和的关系），或者通过换元法将多变量问题转化为单变量问题，对代数变形能力要求较高。
考点03 不等式的解法 突出“数形结合”与“综合应用”。试题涵盖了分式不等式、含参不等式的求解。难点在于结合函数图像（如上海卷第1题）或导数工具（如上海卷第2题）来确定解集范围。 导数与不等式解集的深度捆绑：
如上海卷第2题，将不等式解集问题与导数几何意义（切线、法线）结合。题目要求直线与曲线在第一象限无交点，转化为分离参数后求函数最值的问题。这种考法综合性极强，要求考生具备利用导数研究函数单调性、最值来解决不等式恒成立或解集存在性问题的能力。
考点01 不等关系的判断
1．（2026·上海卷·高考真题）已知，则下列不等式恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】举反例即可求解ABD，根据不等式的传递性即可求解C.
【详解】对于A,取，则故，所以A错误，
对于B，取则，此时，故B错误，
对于C，由于，故，因此，C正确，
对于D,取，则，此时，故D错误，
故选：C
2．（2026·北京卷·高考真题）学校组织高一、高二学生参观甲、乙两地博物馆，每位学生可自主选择一处前往．已知高一学生总人数多于高二学生总人数，前往甲地的全体学生总数多于前往乙地的全体学生总数，则（ ）
A．去甲地的高一学生人数多于去乙地的高一学生人数
B．去甲地的高一学生人数多于去乙地的高二学生人数
C．去甲地的高一学生人数不多于去乙地的高二学生人数
D．去乙地的高二学生人数不少于去甲地的高二学生人数
【答案】B
【分析】设出高一、高二去甲、乙地的人数，根据题目条件建立不等关系，即可得出结论.
【详解】由题意，设高一学生去甲地的人数为，去乙地的人数为，
高二学生去甲地的人数为，去乙地的人数为，
∴高一总人数：，高二总人数，前往甲地的学生人数：，前往乙地的学生人数：，
∵高一总人数多于高二总人数，前往甲地的全体学生总数多于前往乙地的全体学生总数，
∴，由不等式的性质，两侧分别相加并化简得，
∴高一学生去甲地的人数多于高二学生去乙地的人数，故B正确，A，C，D均错误.
考点02 基本不等式
1．（2026·天津卷·高考真题）（2026·天津·高考真题）的最小值为（ ）
A．10 B．9 C．8 D．6
【答案】B
【详解】因为，
当且仅当，即，时，等号成立,
所以的最小值为9.
2．（2026·上海卷·高考真题）已知，则的最大值为__________．
【答案】/
【分析】根据基本不等式可得，结合条件即可求结论.
【详解】因为，当且仅当时等号成立，
结合可得，，
当且仅当，或，时等号成立，
所以当，或，时，取最大值，最大值为.
3．（2026·上海卷·高考真题）若，，且，则的最大值是______．
【答案】2
【分析】由于、为正值，且为定值4，因此可以运用基本不等式先求出的最大值，进而求出的最大值．
【详解】解：∵，，
∴
∴，当且仅当时取等号，即，时取等号
故答案为：2．
考点03 不等式的解法
1．（2026·上海卷·高考真题）关于的不等式的解集为____________.
【答案】
【分析】由可得:，解不等式可得其解集.
【详解】由可得:，
解得:，
所以不等式的解集为.
故答案为：.
2．（2026·上海卷·高考真题）已知，函数，．
(1)已知，求的解集；
(2)已知，是在点处的切线，是过点且垂直于的直线，与、在第一象限内均无公共点，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出参数，解不等式即可求出的范围；
（2）求出直线与的方程，利用与、在第一象限内均无公共点，得出与无正实数解，分离参数，转化为直线与与曲线在内均无交点，对求导讨论其单调性，得出函数的最值，建立不等关系，即可求出实数的取值范围.
【详解】（1）由题意，.在与中，
，解得，∴，
∵，
∴，解得或或，
∴不等式的解集为.
（2）由题意知，由，得，
∴.
∵直线为在点的切线，
∴直线的方程为，即，
∵是过点且垂直于的直线，
∴直线的方程为：，即，
对于函数，，曲线与、在第一象限内均无公共点，
∴与无正实数解，
分离参数得，，，
∴直线与与曲线在内均无交点，
而，
当时，解得（舍）或，
∴当即时，函数单调递减，
当即时，函数单调递增，
∴在处取最小值，.
当时，，当时，，
∴且，即或，
∴实数的取值范围为.
一、单选题
1．（2026·北京石景山·二模）已知实数a，b，c，d满足：，则下列不等式恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】举出反例可判断BCD，根据不等式的基本性质，可判断A，进而得到答案．
【详解】对于A，由，两式相加得，故A正确；
对于B，令，满足，
此时，，故B错误；
对于C，令，满足，
此时，，故C错误；
对于D，令，满足，
此时，，故D错误.
2．（2026·湖南长沙·模拟预测）不等式的解集为（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】D
【详解】解不等式，得或，
所以不等式的解集为或.
3．（2026·河南开封·模拟预测）已知实数，满足，则的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
【答案】B
【分析】借助基本不等式计算即可得.
【详解】，
当且仅当，即、时，等号成立，
即的最小值为.
4．（2026·北京·三模）已知非零实数，满足，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】通过举反例排除A、B、D三个错误选项，再利用重要不等式或柯西不等式证明选项C恒成立.
【详解】排除选项A：取，满足，此时，故A错误；
排除选项B：取，满足，此时，故B错误；
排除选项D：取，满足，此时，故D错误；
证明选项C：方法一：因为，所以，
即，又，当且仅当时等号成立，
所以，
所以，
方法二：由柯西不等式得： ，
化简得，即，
因为，所以，故C正确.
5．（2026·宁夏·一模）不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据分式不等式求解方法进行求解即可．
【详解】由不等式，即，
则，解得，即，
所以不等式的解集为．
6．（2026·湖南衡阳·模拟预测）已知正数a，b满足，的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由得，于是，
当且仅当，即，时，等号成立.
7．（2026·重庆渝中·二模）已知不等式的解集为或，则实数的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】C
【分析】根据方程的根与不等式的解集之间的关系求解即可.
【详解】易知是方程的根，
即，所以,
当时，不等式为，即,其解集为或.
故实数的值为1.
8．（2026·重庆·模拟预测）已知，，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】直接由基本不等式的变形不等式可得关于的一元二次不等式，进而可得最小值.
【详解】因为，，且，
由基本不等式得，当且仅当时等号成立，
即，得，因为，所以.
由代入，解得，
因此当，的最小值为.
二、多选题
9．（2026·山东济宁·三模）已知，，为实数，则（ ）
A．若，则 B．若，，则
C．若，则 D．若，，，则
【答案】ACD
【分析】可根据不等式的性质判断A，可通过举反例来判断该选项B是否正确，通过作差法判断C，可通过对 进行变形，然后利用基本不等式判断D.
【详解】选项A：已知 ，则，则 ，所以选项A正确；
选项B： 当 时，满足 ， ，
此时 ，显然 ，所以选项B错误；
选项C：，
因为 ，所以，
所以，即，，选项C正确;
选项D: 已知 ， ，将 变形为：,
根据基本不等式，因为 ，所以 ，
则 （当且仅当 ，即 时，等号成立）；
所以 ，即 ，所以选项D正确.
10．（2026·河南·模拟预测）已知，，，下列说法正确的是（ ）
A．的最大值为1 B．的最小值为2
C．ab的最大值为 D．的最小值为2
【答案】BD
【分析】A直接利用基本不等式；B利用基本不等式求的最值；C对利用基本不等式；D利用消元法求解.
【详解】对于A，因为，，，
所以，
当且仅当，即，时，等号成立，
此时是最小值不是最大值，故A不正确；
对于B，，
当且仅当，即，时，等号成立，故B正确；
对于C，因为，所以，
因为，，所以，所以，
令，所以，即，所以，
所以，所以，
当且仅当，即，时，等号成立，故C不正确；
对于D，因为，所以，
所以，
令，所以，
所以，
当且仅当，即，所以时，等号成立，故D正确.
11．（2026·山东·模拟预测）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【分析】根据题意，结合选项，利用基本不等式和作差比较法，逐项分析判断，即可求解.
【详解】对于A，因为，由基本不等式，可得，
当且仅当时，等号成立，所以A正确；
对于B，由，可得，因为指数函数为单调递增函数，
所以，所以B正确；
对于C，当时，此时，所以C不正确；
对于D，由，
因为，可得，所以，所以，所以D正确.
12．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知不相等的实数，满足，则下面说法正确的是（ ）
A．存在实数使得，是方程的两根
B．若，则的取值范围是
C．的取值范围是
D．的取值范围是
【答案】ABD
【分析】结合韦达定理、基本不等式、二次函数值域求解，先利用题干等式转化为韦达定理形式，再分别分析各选项.
【详解】选项A：若、是方程的两根，
由韦达定理得，，代入题干，
左边，右边，等式成立；又，
则，即或时存在这样的，A正确；
选项B：若，由基本不等式，
代入得，令，
则，解得即，当且仅当时等号成立，
但，故，即范围为，B正确；
选项C：令，则，则、是方程的两根，
判别式，解得或，
即的范围是，并非仅，C错误；
选项D：，
由：当时，，故；
当时，，故，综上范围为，D正确.
三、填空题
13．（2026·上海杨浦·模拟预测）不等式的解集为__________．
【答案】
【分析】转化成分式不等式组，分别求解再取交集.
【详解】由题意得：，
由，化简得，解得：；
由，化简，解得；
取交集得：
14．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数，且在上恒成立，则实数的最小值为___________．
【答案】
【分析】利用所给定义域构造基本不等式求最值
【详解】当时，，当且仅当时等号成立
．又，即实数的最小值为-3．
15．（2026·安徽·模拟预测）已知，，且，则的最小值为________．
【答案】
【详解】由题意得，，
所以，
当且仅当，，即时，等号成立．
四、解答题
16．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知函数．
(1)求极值点的个数，并解不等式；
(2)求证：若，则
【答案】(1)2个；；
(2)证明见解析
【分析】（1）求导，由不同实根的个数判断；由，利用穿根法求解；
（2）由，设，代入求解.
【详解】（1）因为，
所以，
令，
因为，两个根为，
当或时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以在处取得极值，所以有两个极值点；
由，
当时，，则；
当时，，则，
当时，，则，
当时，，则，
所以的解集为：.
（2）由，
设，
则，
，
所以，
所以当时，.
17．（2026·安徽安庆·二模）设.
(1)解不等式;
(2)设，若存在，使得，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因，则，
故，
即，解得，
故原不等式的解集为.
（2）因，
由，可得为奇函数.
又，因，，则
故在上单调递增.
故存在使得等价于存在使得，
等价于存在使得，
即存在使得，
因，，
则当时，取得最小值，故得.
故实数的取值范围是.
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