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福建宁德市 2025-2026 学年第二学期高二适应性练习
数学试卷
一、单选题
r r
1．已知a
r
= 2,-3,1 ,b = 2,0,3 ,cr = 0,0,2 ar 6b 8cr，则 + - 为（ ）
A． 14, -3,3 B． 14, -3, -7 C． 10, -3, -1 D． 10, -3,3
t S t = 2t 2 +1 S 1+ Δt - S 12 ．已知某质点的位移S与时间 满足函数关系式 ，则当Δt 趋近于 0 时， 趋近于
Δt
（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
uuuur uuur uuur uuur
3．如图，空间四边形OABC 中，点M 和点 N 分别在OA和BC 上，且满足OM = 2MA, BN = NC ，则下列向
uuuur
量与MN 是共线向量的是（ ）
2 uuur 2 uuur uuur
A．- OA - OB
1
+ OC
3 3 2
uuur uuur uuur
B．-4OA + 3OB + 3OC
uuur uuur uuur
C．OA + OB - OC
uuur uuur uuur
D． 4OA + 4OB - 3OC
4．已知函数 y = f x 的导函数 y = f x 的图象如图所示，则函数 y = f x 的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数 f x = x3 + ax2 + bx + a2在 x =1处有极值10，则 f 2 =（ ）
A．11 B．17 C．18 D．11或18
6．已知 A 1,0,0 , B 0,1,0 ,C 0,0,1 , D x, y,
1
÷四点共面，则 xy的最大值为（2 ）è
1 1
A． B． C．1 D．2
16 8
7．已知函数 f x = ex - alnx 是增函数，则实数a的取值范围为（ ）
A ． - ,
1 1
- ù B． - ,0 C． - ,0 D ù． - ,
è e ú è e ú
8．函数 f x = ln 1- x + x2 - cosx的零点的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、多选题
r r
9．已知空间向量 a = x,1,1 ,b = x +1,2x, 2 ,cr = x -1, -2,2x （ ）
A ar
r
．当 ∥ b 时， x =1
B．当< a
r,cr > 为钝角时，-2C x ar
r
．存在实数 ，使得 ^ b
r r r
D．存在实数 x，使得{a,b ,c}为空间的一组基底
10 3 2．设函数 f x = 2x - 2ax -1，则（ ）
a 3A．当 > 时， f x 有三个零点
2
B．当a > 0时， x = 0是 f x 的极大值点
C．存在a，使得点 0, f 0 为曲线 y = f x 的对称中心
a
D．存在a，使得过点 , f
a
÷÷ 可作曲线 y = f x 的切线有三条
è 3 è 3
11．“切线放缩”是处理不等式问题的一种技巧．如图所示，曲线 y = ex 在点 0,1 处的切线方程为 y = x +1．易
知，除切点 0,1 外， y = ex 图象上其余所有的点均在 y = x +1的上方，故有 ex x +1．显然，选择的切点不
同，所得不等式也不同．请根据以上材料，判断下列命题中正确的是（ ）
A．"x > 0， lnx 1 1 - x
B．"x > 0 ex， - ln x + 2 > 0
C．"x > 0， sinx 1- x
D．"a > 0， a ex + a - x 2lna 3+ 2
三、填空题
12．点 A 2,3,1 关于坐标平面 xOy 对称的点的坐标是__________.
1
13．曲线 y = 过点 A(1,0)的切线方程为______________________.x
ìx = t

14．在空间直角坐标系中，曲线C 的方程为 íy = ln t +1 -1，（ t为参数， t > -1），点 P 在曲线C 上，直线 l

z = t
2
r
过坐标原点且 l的一个方向向量u = 1,1,0 ，则点 P 到直线 l的最短距离为__________.
四、解答题
15．如图，已知四棱柱 ABCD - A1B1C1D1的底面 ABCD是正方形，BB1 = 3, BA = 2，
CBB 2π1 = , ABB
π
1 = .3 3
(1)求异面直线BD与CA1所成角的大小；
(2)求CA1的长.
x
16．已知函数 f x = x - x .e
(1)求 y = f x 在点 1, f 1 处的切线方程；
(2)设函数 g x = f x ，求 g x 的单调区间；
(3)求 f x 的极值点个数.
17．某工厂生产正四棱锥形状的精密零件，为防止运输时磕碰损坏，需要给每个零件定制专用的球形保护
包装盒，要求正四棱锥的所有顶点都在球面上（即正四棱锥内接于该球），已知球形包装盒的半径为 3，正
四棱锥的侧棱长 l满足3 l 3 3 .
(1)用侧棱长 l表示该零件的体积V ；
(2)在保证零件完全适配球形包装盒的前提下，如何设计侧棱长 l，使得零件的体积最大？求出此时零件的体
积V 及对应的侧棱长 l .
18．如图，在三棱锥 S - ABC 中，SC ^底面 ABC，AC ^ BC ，CE = 2EB = 4，AC = 3，D为棱 AB上的点，
CD = ED .
(1)求证：DE ^平面 SCD ；
(2)设 SD 2与底面 ABC所成角的正切值为 .
2
（i）求面 ASD与面 SCD 所成的二面角的正弦值；
（ii）棱 SE 上是否存在点 P ，使得点 P 到面 ASD 14的距离为 ？若存在，确定点 P 的位置；若不存在，请
14
说明理由.
19．已知函数 f x = x - aln 1+ x .
(1)讨论 f x 的单调性；
(2)当 x > 0时， f x 0 ，求a的取值范围；
1 1 1 1 1 1
(3)设 n N* ，证明： + +L+ < ln n +1 < + +L+2 3 n +1 2 2 2 .1 +1 2 + 2 n + n
1．A
2．B
3．B
4．D
5．C
6．A
7．C
8．B
9．ACD
10．BC
11．ABD
12． 2,3, -1
13． 4x + y - 4 = 0
14 2．
2
π
15．(1)
2
(2) 29
16．(1) ex - ey -1 = 0
(2)单调递增区间为 - , 2 ，单调递减区间为 2, +
(3)1 个
l 4 36 - l 2
17 (1) ． V = ,3 l 3 3
324
64
(2)当侧棱长为 2 6 时，零件的体积最大，此时体积为 3
18．(1)证明见解析
(2)（i 3 21） ；（ii）存在， P 为 SE 的中点
14
19．(1) a 0时， f x 在 -1, + 上单调递增，无单调递减区间；
a > 0时， f x 在 -1, a -1 上单调递减， f x 在 a -1, + 上单调递增.
(2) a 1
(3)证明见解析

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