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河南省安鹤新联盟 2025-2026 学年高二下学期 5 月联考数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1.已知全集 = { 3, 2, 1,0,1,2,3}，集合 = { ∈ ∣ 2 > 1}，则 = ( )
A. { 3, 2,2,3} B. { 1,0,1} C. {0} D. { 2, 1,0,1,2}
2.已知 为虚数单位，若复数 = (1 + )(2 )，则 在复平面内对应的点在( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.已知向量 = (2, ), = ( ,3)，则“ = 6”是“ // ”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.在正方体 1 1 1 1中，动点 在棱 1上，动点 在线段 1 1上， 为底面 的中心，若 1
= ， = ，则四面体 的体积( )
A. 与 ， 都有关 B. 与 ， 都无关
C. 与 有关，与 无关 D. 与 有关，与 无关

5.已知 > 0， > 0，2 + = 2，则 2+2 的最大值为( )
A. 1 22 B. 9 C. 1 D.
1
4
6 = ( 4) = .若直线 与曲线 9 + 3 2只有一个公共点，则 的取值范围是( )
A. ( 33 ,
3
3 ) B. [
3
3 ,
3
3 ] C. (
3, 3) D. [ 3, 3]
7.如图，正方形 的边长为1，取正方形各边的四等分点 1, 1, 1, 1，作第二个正方形 1 1 1 1，然
后再取正方形 1 1 1 1各边的四等分点 2 2 2 2，作第三个正方形 2 2 2 2，依此方法一直继续下去.
这些正方形的面积之和将趋于( )
A. 58 B. 2 C.
8 16
3 D. 5
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8.数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，如星形线等．某星形线如图所示，已知该曲线上一点
( , ) ( 3 , 3 )( > 0) = 8
2 9
0 0 的坐标可以表示为 ，若 0 0 125，且 0 + 0 = 5，则 = ( )
A. 2 B. 3 C. 2 D. 5
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若 < < 0，则下列不等式一定成立的有( )
A. 2 < 2 B. 1 > 1 C. ln( ) > 0 D.
3 < 3
1
10.已知正项数列{ }的首项 1 = 2，前 项积为 ，且( + 1) +1 = +1，则( )
A. = 32 2 B.

数列{ }是等差数列
C. { }是递增数列 D. 100 >
1
100
11.设 ∈ ，函数 ( ) = 3 3 + 3，则( )
A. ( )有两个极值点
B. 若 > 0，则当 > 0时， ( ) ≥ 1
C. 若 ( )有3个零点，则 的取值范围是(0,3 4)
D. 若存在 , ∈ ，满足 ( ) + ( + ) = 2 ( )，则 = 0
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知1，2， 成等比数列，则( + 1) 的展开式中所有项的系数之和为 ．
13.已知点 ( 1,1)， (3,3)，线段 为 ⊙ 的一条直径．设过点 (2, 1)且与 ⊙ 相切的两条直线的斜率
分别为 1， 2，则 1 + 2 = ．
14.从1，2，……，2026中随机取出六个不同的数 1、 2、 3、 4、 5、 6，制作长、宽、高分别为 1、
2、 3和 4、 5、 6的两个盒子，则其中一个盒子能以相邻三个面对应平行方式放入另一个盒子的概率为
．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
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如图，在四棱锥 中，底面 为正方形，侧面 是正三角形，平面 ⊥ 底面 , 是 的
中点．
(1)证明： ⊥ ．
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值．
16.(本小题15分)
2 2
已知椭圆 : 2 +

2 = 1( > > 0)
2
的离心率为 2 ，短轴长为2
3．
(1)求 的方程；
4
(2)若直线 : = + 与 交于 , 两点， 为坐标原点， 的面积为3，求 的值．
17.(本小题15分)
设等差数列{ }的前 项和为 ，已知 1 = 3， 3 = 5 1．
(1)求数列{ }的通项公式；
2
(2)设 = 1 + ，数列{ }的前 项和为 .定义[ ]为不超过 的最大整数，例如[0.3] = 0，[1.5] = 1.当[ 1
] + [ 2] + … + [ ] = 63时，求 的值．
18.(本小题17分)
已知函数 ( ) = + 1 (2 + 1) ．
(1)求曲线 = ( )在点(1, (1))处的切线方程．
(2)证明： ( )在(0, + ∞)上单调递减．
(3)若关于 的不等式 2 < 0恒成立，求整数 的最小值．
19.(本小题17分)
泊松分布是统计与概率学里常见的离散型概率分布，特别适合用于描述单位时间(或单位空间)内随机事件
发生的次数，如自然灾害发生的次数等．若随机变量 服从参数为 ( > 0)的泊松分布，记作

( ) ，则其概率分布为 ( = ) = ! , ∈ ．
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(1)当 ≥ 20时，泊松分布可以近似为正态分布 ( , ).已知某交通路口平均每分钟通过的车辆数 服从
= 25的泊松分布，试估算在一分钟内该路口通过的车辆数大于15且小于30的概率；参考数据：若
( , 2)，则 ( < < + ) ≈ 0.6827， ( 2 < < + 2 ) ≈ 0.9545)
(2)若随机变量 服从二项分布，当 ≥ 100且 ≤ 0.01时，二项分布近似于泊松分布，其中 = .某工厂
生产电子元器件的次品率为0.003，现从一批产品中随机抽取1000件，记其中的次品数为 ，按泊松分布近
似计算：
①这1000件产品中恰有2件次品的概率；(参考数据： 3 ≈ 0.05)
②求使得 ( = )最大时的 值．
(3)若 ( )，求证：当0 < < 0.1时， ( > 1) < 0.01．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.16
13.1.5
14.12/0.5
15.解：(1)证明：取 的中点为 ，连接 ， ，
因为 是等边三角形，所以 ⊥ ，
因为侧面 ⊥ 底面 ，侧面 ∩ 底面 = ，
所以 ⊥ 底面 ，因为 , 底面 ，
所以 ⊥ ， ⊥ ，所以 ， ， 两两垂直，
则分别以 ， ， 为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系 ，
不妨设 = 2，
则 (0,0, 3)， (1,0,0)， (1,2,0)， ( 1,2,0)， ( 1,0,0)， (0,2,0)，
= ( 2,0,0)， = (0,2, 3)，
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因为 = ( 2) × 0 + 0 × 2 + 0 × ( 3) = 0，所以 ⊥ ，所以 ⊥ ；
(2)在平面 中， = (1,2, 3)， = ( 1,2, 3)，
设 = ( , , )为平面 的一个法向量，
= 0 + 2 3 = 0
则 = 0 + 2 3 = 0,
令 = 3，则 = (0, 3,2)为平面 的一个法向量．
又平面 的一个法向量 = (0,1,0)，
设平面 与平面 夹角为 ，
cos = | | = |0+ 3+0|
= 21则 | | | | 7 ， 7 1
21
所以平面 与平面 夹角的余弦值为 7 ．
=
=
2
16. 2解：(1)由题意，得 2 = 2 3，解得 2 = 6, 2 = 3, 2 = 3，
2 = 2 + 2
2 2
则椭圆 的方程为 6 +

3 = 1．
(2)设 ( 1, 1), ( 2, 2)，
= +
联立 2 2+ = 1，得3 2 +4 + 2 2 6 = 0，6 3
则 = 16 2 12(2 2 6) > 0，解得 3 < < 3，
4 2 2 6
且 1 + 2 = 3 , 1 2 = 3 ，
2
所以| | = 1 + 12 ( 1 + 2)2
2
4 1
4 2 6 4
2 = 2 23 4 × 3 = 3 9 ，
(0,0) | |点 到直线 的距离为 ，2
4
则 1 4 | | = 22 3 9 = ，解得 =± 1或 =± 2 2，满足 3 < < 3， 2 3
则 =± 1或 =± 2 2．
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17.解：(1)设等差数列{ }的公差为 ，因为 1 = 3，则 3 = 3 1 +3 = 9 + 3 ．
因为 3 = 5 1 = 15，则9 + 3 = 15，得 = 2．
所以数列{ }的通项公式是 = 3 + 2( 1) = 2 + 1．
(2) = 3 + ( 1)
1
因为 2 × 2 =
2 +2 2 2 1，则 = 1 + = 1 + ( +2) = 1 + +2．
1 1 1 1 1 1 1 1 1
所以 = + 1 3 + 2 4 + 3 5 +… + 1 +1 + +2
1 1 1= + 1 + 2 +1 +2 ．
当 ≤ 2 1 1 1 1时，因为 3 ≤ 2 +1 +2 < 0，则[ ] = ．
1
当 ≥ 3时，因为0 < 1 1 12 +1 +2 < 2，则[ ] = + 1.因为[ 1] + [ 2] + … + [ ] = 63，
则1 + 2 + 4 + 5 + … + ( + 1) = 63 3 + ( 2)(4+ +1)，即 2 = 63，
即 2 +3 130 = 0，即( 10)( + 13) = 0.因为 ∈ ，所以 = 10．
18.解：(1) ′( ) = 1由题意可得， 2 1，则 ′(1) = 2，
又 (1) = 2，所以切线方程为 2 = 2( 1)，即 = 2 + 4．
(2)证明：令 ( ) = ′( ) = 1 2 1， > 0，
1 2 1 2
则 ′( ) = 2 = 2 ，
当 ∈ (0,12)时， ′( ) > 0， ( )单调递增，
当 ∈ (12, + ∞)时， ′( ) < 0， ( )单调递减，
所以 ( ) 1的最大值为 (2) = 2
1
2 2 1 = 2 2 3 < 2 3 = 1，
即 ′( ) < 0在(0, + ∞)上恒成立，所以 ( )在(0, + ∞)上单调递减．
(3)关于 的不等式 2 < 0恒成立，即 < 2 + 恒成立，
由于 > 0 ，所以 > 2+ 恒成立，
设 ( ) = 2+ ，则 ′( ) =
+1 (2 +1) ( )
( 2+ )2 = ( 2+ )2，
由(2)知 ( )在(0, + ∞)上单调递减，且 (1) = 2， ( ) = ，
+1
所以存在唯一 0 ∈ (1, )，使得 ( 0) = 0，即
0
0 = 2 0+1，
则当 ∈ (0, 0)时， ′( ) > 0，因此函数 ( )在(0, 0)上单调递增，
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当 ∈ ( 0, + ∞)时， ′( ) < 0，因此函数 ( )在( 0, + ∞)上单调递减，
1
故函数 ( ) ( ) = 0 = 0+1的最大值为 0 2 = ，0+ 0 (2 20+1)( 0+ 0) 0(2 0+1)
因为 = 2 2 + 在(1, )上单调递增，则 ( 0) ∈ (
1 ,12 2+ 3)，
要使 > 2+ 恒成立，且 为整数，
所以 的最小值为1．
19.解：(1)因为 ( )，且 = 25 > 20，可近似地认为 ( , )，即
(25,25), = 25, = 5，
所以 (15 < < 30) ≈ ( 2 < < + ) = ( 2 < < ) + ( ≤ < + )
= 0.9545+0.68272 = 0.8186；
(2)①由题知 ( )，其中 = = 1000 × 0.003 = 3，
2
( = 2) = 3 3 92! = 2 3 ≈ 4.5 × 0.05 = 0.225．
3 +1 3
② ( = ) = 3 3 ! , ( = + 1) = ( +1)! ，
( = +1) 3 +1 ! 3
所以 ( = ) = ( +1)! = +1，3
= 1 ( = +1) > 1 > 2 ( = +1) < 1 = 2 ( = +1)当 时， ( = ) ，当 时， ( = ) ，当 时， ( = ) = 1，
所以 ( = 1) < ( = 2) = ( = 3) > ( = 4) >
所以当 = 2，或 = 3时， ( = )最大．
(3)因为 ( )，所以 ( > 1) = 1 ( = 0) ( = 1)，
由泊松分布的概率公式，得 ( = 0) = , ( = 1) = ，
所以 ( > 1) = 1 = 1 (1 + ) = 1 1+ ，
要证当0 < < 0.1时， ( > 1) < 0.01，只要证当0 < < 0.1 1+ 时， > 0.99．
+1
令 ( ) = ( > 0)，则 ′( ) =

< 0，
所以 ( )在(0, + ∞)上单调递减，
1+0.1 1+0.1
又 (0.1) = 0.1 ，所以只要证 0.1 > 0.99，
因为0.99 = 1 0.12 = (1 + 0.1)(1 0.1)，所以只需证 0.1 > 1 0.1，
令 ( ) = 1( ≤ 0)，则 ′( ) = 1 < 0对任意的 ∈ ( ∞,0)恒成立，
所以 ( )在( ∞,0)上单调递减，且 (0) = 0，
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所以 ( 0.1) = 0.1 +0.1 1 > (0) = 0，所以 0.1 > 1 0.1，
所以当0 < < 0.1时， ( > 1) < 0.01．
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