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第2章 一元二次方程
2.2 一元二次方程的解法
九上数学 SK
1.能根据一元二次方程的特征选择适当的方法,如直接开平方法、配
方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程,体会转化
思想,提升运算能力.
2.会用一元二次方程根的判别式判断方程是否有实根及两个实根是
否相等，并能根据一元二次方程根的情况确定字母的值或取值范围.
1.直接开平方法:直接通过求平方根来解一元二次方程的方法叫作
直接开平方法.
2.直接开平方法的适用类型
适用类型 方程的解
典例1 用直接开平方法解下列方程:
（1） ；
解：移项，得 .
两边同除以2，得 .
直接开平方，得 ，
即， .
（2） ；
解：移项，得 .
两边同除以4，得 .
直接开平方，得 .
所以， .
典例1 用直接开平方法解下列方程:
（3） .
解：两边同乘6，得 .
直接开平方，得 .
所以， .
典例1 用直接开平方法解下列方程:
1.配方法：把一个一元二次方程变形为为常数
的形式，当 时，就可以根据平方根的意义求出方程的解.
这种解一元二次方程的方法叫作配方法 .
2.用配方法解一元二次方程的一般步骤#3
一般步骤 方法
一化 二次项系数化为1 左、右两边同时除以二次项系数.
二移 移项 将常数项移到等号右边，含未知数的项移到等号左边.
三配 配方 左、右两边同时加上一次项系数一半的平方.
四开 开平方求根 直接开平方法.
典例2 用配方法解方程:
（1） ；
解：移项，得.
配方，得 ，
即 .
直接开平方，得 .
所以， .
（2） .
解：将二次项系数化为1，得 .
移项，得
配方，得，即 .
直接开平方，得，所以， .
典例2 用配方法解方程:
1.因式分解法：当一个一元二次方程的一边是0，另一边能分解为
两个一次因式的乘积时，就可以把解这个一元二次方程转化为解两
个一元一次方程，这种解一元二次方程的方法叫作因式分解法 .
2.用因式分解法解一元二次方程的一般步骤
（1）移项:将方程的右边化为0.
（2）化积:将方程的左边分解为两个一次因式的乘积.
（3）转化:令两个一次因式分别为0，转化为两个一元一次方程.
（4）求解:分别解这两个一元一次方程，它们的解都是原方程的解.#3.4
3.常见的可以用因式分解法求解的方程的类型
常见类型 因式分解形式 方程的解
典例3 用因式分解法解下列方程:
（1） ;
解：移项，得 ，
将方程左边分解因式，得 ,
所以或 ，
所以, .
（2） .
解：整理方程，得 .
因式分解,得 ,
即 ,
所以或,
所以, .
典例3 用因式分解法解下列方程:
1.求根公式：
一元二次方程 的求根公式：
.
#2.1
其推导过程如下：
二次项系数化为1，得 .
移项，得 .
配方，得,即 .
, 当时， ,
.当 时，方程没有实数根.#2.1.1.4
2.公式法：在一元二次方程的一般形式下，当 时，把
各项系数，， 的值直接代入求根公式，求方程的根的方法称为
公式法.
3.用公式法解一元二次方程的步骤：
（1）化：把方程化为一般形式，确定 ，
， 的值；
（2）求：求出 的值；
（3）代：当时，代入求根公式 ，求出
方程的根.
典例4 用公式法解下列方程：
（1） ;
解：,, ，
,
方程无实数根.
（2） ；
解：将方程化为一般形式，得 .
,, ，
,
,
即
典例4 用公式法解下列方程：
（3） .
解：将方程化为一般形式，得 .
，， ，
，
，
即， .
典例4 用公式法解下列方程：
4.根的判别式：
定义
表示
与根的关系
典例5 一元二次方程 的实数根的情况是( )
A
A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根
C.没有实数根 D.不能确定
解析：把原方程化为一般形式为 .
,,, ，
方程有两个不相等的实数根.
一元二次方程解法的比较#4
方法 理论依据 适用方程 关键步骤 主要特点
直接 开平 方法 平方根的 意义. 开平方. 求解迅速、准确，
但只适用于一些特
殊结构的方程.
配方法 完全平方 公式. 所有一元二次方程. 配方. 解法烦琐，当二次项系数为1或常数项较大时，用此法较简单.
方法 理论依据 适用方程 关键步骤 主要特点
公式法 配方. 所有一元二次方程. 代入求 根公式. 依赖根的判别式，
且当计算量较大
时，易出现化简不
彻底的错误.
因式 分解法 能化为一边为 0，另一边为两 个一次式乘的 形式的方程. 分解 因式. 求解迅速、准确，
但适用范围较小.

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