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第3章 圆
3.6 正多边形与圆
九上数学 SK
1.能用尺规作图作圆的内接正六边形，发展空间观念.
2.了解正多边形与圆的关系，并进行相关计算.
把圆等分，然后顺次连接各等分点即可得到正 边形.具体作法如
下：#3.2.2
具体作法 图示 说明
用量角 器作出 一个圆 心角， 再等分 圆周 如右图所示，先作一个圆 和一个度数为 的圆心 角，这个角所对的弧就是 圆周的 ，然后在圆上依次 截取这条弧的等弧，就得 到圆的 等分点，顺次连接 各等分点即可作出正 边形. 此方法可将圆
任意 等分，
所以用该方法
可作出任意正
多边形，但边
数很大时，容
易产生较大的
误差.
具体作法 图示 说明
用尺 规等 分圆 以圆的内接正六边形为例： 圆的内接正六边形的边长与 半径相等，从圆上的任意一 点开始，用圆规取半径的 长，依次在圆上确定其他顶 点的位置，顺次连接各顶点 即可作出圆的内接正六边形. 此方法是一
种比较准确
的等分圆的
方法，但有
局限性，不
能将圆任意
等分.
1.与正多边形有关的概念#4
名称 定义 图形
中心 一般地，正多边形都有一个外接圆，外 接圆的圆心叫作正多边形的中心.
半径 正多边形外接圆的半径叫作正多边形的 半径. 名称 定义 图形
边心距 正多边形的中心到正多边形的一边的距 离叫作正多边形的边心距.
中心角 正多边形每一条边所对的外接圆的圆心 角叫作正多边形的中心角. 2.与正边形有关的计算公式正边形的半径为，边长为 ，边心
距为，周长为，面积为 #5
名称 公式 示例（以正六边形为例）
内角 正 边形的每个内角都为 .
名称 公式 示例（以正六边形为例）
中心角 正 边形的每个中心角都 为.（正 边形绕它的中 心，至少旋转 就能与 自身重合）
外角 正 边形的每个外角都为 . 名称 公式 示例（以正六边形为例）
边心距 正 边形的边心距 .
周长 正边形的周长 . 面积 正边形的面积 . 典例1 分别以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的
边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是( )
A
A. B. C. D.
解析：如图（1），
，
，
,
.
如图（2），，
, ，
.
如图（3），， ,
， ,
该三角形的三边长分别为1，， .
， 该三角形是直角三角形，
该三角形的面积是 ．
解题通法
解决正多边形计算问题的策略
正边形的半径和边心距把正边形分成 个全等的直角三角形，
所以可以把正多边形有关问题转化到直角三角形中，利用勾股定理
等解决.
第3章 圆
3.7 扇形
九上数学 SK
1.了解扇形的概念，会计算圆的弧长、扇形的面积，发展运算能力.
2.了解圆锥的构成和圆锥母线的概念，了解圆锥的侧面展开图,体会
圆锥侧面展开图与圆锥中各元素间的对应关系，发展空间观念；
会计算圆锥的侧面积和全面积.
1.扇形：如图，一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成
的图形叫作扇形.
2.弧长公式
图示 推导过程
_____________________________ . 圆的周长为， 的圆心角所对的弧
长为圆周长的，即 ；
的圆心角所对的弧长为圆周长的 ，即
典例1 如图，用一个半径为的定滑轮拉动重物上升，
滑轮旋转了 ，假设绳索粗细不计，且与滑轮之间
没有滑动，则重物上升了____．（结果保留 ）
解析：由题意，得重物上升的距离是半径为 ，
圆心角为 的圆弧所对应的弧长，即 .
3.扇形的面积公式
类似地，当圆的半径确定时，同样可以利用比例关系得到 圆
心角所在扇形的面积是圆面积的，即.
比较扇形面积公式与弧长公式发现：.#2.5.1
弓形#2.5.3
定义 由弦及弦所对的弧组成的图形叫作弓形. 图示
计算 公式 . . .
典例2（1）已知扇形的半径为，面积为 ，则该扇形的
圆心角的度数为____.
解析：设扇形的圆心角是 .
由扇形的面积公式，得 ，
解得 .
（2）已知扇形的圆心角为 ，弧长为 ，则扇形的面积为
______.
解析：设扇形的面积为，所在圆的半径为 .
由弧长公式，得，
解得 .
由扇形面积公式，得
.
1.与圆锥有关的概念#2.6
名称 概念 图示
圆锥 圆锥是由一个底面和一个侧面围成的几何体（如图所示）.圆锥可以看成由一个直角三角形绕它的一条直角边所在的直线旋转一周形成的图形. ___________________________
. .
. .
名称 概念 图示
圆锥的 母线 连接圆锥的顶点和底面圆上一点的线段叫作圆锥的母线（圆锥的母线有无数条，它们的长都相等）. ___________________________
圆锥的母线 ，高，底面圆的半径 构成
一个直角三角形,满足
.
圆锥 的高 连接圆锥顶点与底面圆心的线段叫作圆锥的高. 2.圆锥的侧面积和全面积#2.7
圆锥的侧面展 开图 圆锥与圆锥侧面展开图的对应关系 备注
_________________________ 圆锥的侧面展 开图是一个扇 形. 圆锥底面圆的周长 圆锥侧面展开 扇形的弧长 . “弧”对“弧”
圆锥的母线长 圆锥侧面展开扇形 的半径 . “线”对“线”
圆锥的侧面展 开图 圆锥与圆锥侧面展开图的对应关系 备注
_________________________ 圆锥的侧面展 开图是一个扇 形. 圆锥的侧面积 圆锥侧面展开扇形 的面积 ； 圆锥的全面积 圆锥侧面展开扇形 的面积 圆锥的底面积 . “面”对“面”
典例3 一个圆锥的母线长是9，底面圆的半径是6，则
这个圆锥的全面积是_____.
解析：这个圆锥的全面积是 ．

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