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第8讲 平行线分线段成比例【知识精讲+典例+针对练习】
暑假预习讲义 2026-2027学年沪教版(五四制)数学九年级上册
思维导图 · 课程内容总览
课程目标 · 精准把握学习方向
理解 平行线分线段成比例定理及其推论，能正确识别“被截直线”与“对应线段”。
掌握 利用平行线分线段成比例定理求线段长度，能灵活运用比例性质进行变形与计算。
熟练运用 定理的逆定理（即判定平行），能根据线段比例关系判断两条直线是否平行。
理解 平行线分线段成比例在三角形中的常见模型（如“A字型”、“8字型”），能借助辅助线（如作平行线）构造比例关系。
体会 数形结合与转化思想，将线段比例问题转化为方程求解，感受几何定理在解决实际问题中的广泛应用。
核心思想：平行线截得对应线段成比例，是连接平行与比例的重要桥梁。
教材知识梳理 · 核心知识点
☆知识点1： 平行线分线段成比例定理 1
定理内容 平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线,截得的对应线段成比例
基本图形 “A”字型 “8”字型
符号表示
定理推导:
(1)“A”字型推导思路
如图,分别连接 BE、DC. 设点 E 到 AB 的距离为 h,
则
由此得 .①
同理可得 .②
由同底等高的两个三角形面积相等, 得 . ③
由①②③得
由比例的性质,得
(2)“8”字型推导思路
如图,分别连接 BE、DC. 设点 E 到 AB 的距离为 h,
同上可得 .
提醒 (1) 在该定理中, 成比例的对应线段在同一条直线上.
图1 图2
巧记口诀
A 字型或 8 字型， 一条线上找， .(如图1、2所示)
(2)在表述成比例的线段时,根据比例性质,也可写为
例 1 如图, 已知 , 求 CE 的长.
解：
(平行线分线段成比例定理1).
由 ，得 .
总结
解此类题需要先弄清平行线分线段成比例定理 1 中“对应线段”“成比例”等有关概念,然后直接运用定理进行计算.
☆知识点② 平行线分线段成比例定理 2
定理内容 两条直线被三条平行线所截,截得的对应线段成比例
基本图形
符号表示
定理推导：
如图, 过点 D 作 DM // EC 分别交直线 FG、BC 干点 N、M. ∵ DE // FG, DM // EC,
∴ 四边形 DEGN 是平行四边形.
同理 NM = GC.
由 ，得
由比例的性质, 得
另一图情形可类似处理.
提醒 (1) 如果直线 与 平行, 结论仍成立.
(2)当直线 过线段 DB 的中点, 即 DF = FB 时, 有 EG = GC.
也就是说:两条直线被三条平行的直线所截,如果在一条直线上截得的线段相等,那么在另一条直线上截得的线段也相等.
例 2 如图, 已知 , 求 DE、EF 的长.
解：∵ ,
(平行线分线段成比例定理2).
又∵AB=3,AC=10,DF=15,
核心考点 ·4大典型考点精讲
【考点1】平行线分线段成比例定理1求线段长（第1-10题）
※ 方法总结
识别基本图形：判断是否为“三条平行线截两条直线”或“三角形中的A字型”。
找准对应线段：在同一被截直线上，被平行线分成的线段是对应的。
列比例式：根据定理列出比例式，代入已知数值，解方程求未知线段。
注意单位：统一单位，比例式中线段长度单位一致。
常见陷阱：容易找错对应线段，如将AB与DE对应，但实际应AB与DE、BC与EF对应。
1．（2026春 麒麟区校级月考）如图，在△ABC中，点D在边AB上，，DE∥BC交AC于点E，若线段AE＝2.5，则线段CE的长为（　　）
A．7.5 B．10 C．15 D．20
【分析】由平行线分线段成比例列比例式即可求得答案．
【解答】解：∵DE∥BC，上，，AE＝2.5，
∴，
∴CE＝3AE＝3×2.5＝7.5．
故选：A．
【点评】本题考查的是平行线分线段成比例，熟知三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是解题的关键．
2．（2026 武威一模）D，E分别是△ABC的边AB、AC上的点，DE∥BC，如果，AE＝18，那么EC的长是（　　）
A．12 B．22.5 C．25 D．6
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算，得到答案．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴，即，
解得：EC＝12，
故选：A．
【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
3．（2026春 徐汇区校级期中）如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC的反向延长线上，已知DE∥BC，AB＝2AD，下列结论正确的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据平行线分线段成比例可得，再根据比例的性质进行变形即可．
【解答】解：∵在△ABC中，点D、E分别在AB、AC的反向延长线上，DE∥BC，
∴，
∴，，，故C正确，A、D错误；
由已知条件，无法判断AB与AE的关系，故B错误．
故选：C．
【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，熟知三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是解题的关键．
4．（2026 泗县一模）如图，AE与BD交于点C，已知AB∥CF∥DE，CF与BE交于点F．若AB＝4，DE＝6，则CF的长为（　　）
A． B．2 C． D．
【分析】根据AB∥CF∥DE可知△BCF∽△BDE，△CEF∽△AEB，根据相似三角形的性质可得：，，把等式两边分别相加可得：，解方程即可求出结果．
【解答】解：∵AB∥CF∥DE，CF与BE交于点F．AB＝4，DE＝6，
∴△BCF∽△BDE，△CEF∽△AEB，
∴①，②，
由①+②，得，
即，
解得：．
故选：A．
【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，熟知三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是解题的关键．
5．（2026 武威一模）如图，AB与CD相交于点E，点F在线段BC上，且AC∥EF∥DB，若BE＝5，BF＝3，AE＝BC，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【分析】设CF＝x，则，求出CF，再由AC∥DB，即可求出答案．
【解答】解：设CF＝x，
∵EF∥AC，
∴，
∵BE＝5，BF＝3，AE＝BC，
∴，
解得，
∴，
∴AE＝BC＝3，
∵AC∥DB，
∴∠A＝∠ABD，∠ACD＝∠D，
∴△BED∽△AEC，
∴．
故选：B．
【点评】本题考查平行线分线段成比例定理及相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握基本知识．
6．（2026 蓬江区校级三模）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝2，DB＝3，AE＝1.6，则AC＝　4　 ．
【分析】根据平行线分线段成比例求出EC，即可解答．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴，即，
解得：EC＝2.4，
∴AC＝AE+EC＝1.6+2.4＝4．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，解决本题的关键是熟记平行线分线段成比例定理．
7．（2026 麦积区二模）郑州中牟贾鲁河大桥，斜拉索都互相平行且距离相等．如图，小丽测得有两根拉索之间距离BD＝50米，DE＝10米，CE＝12米，AB∥CD，则AE的长为　72米　 ．
【分析】根据平行线分线段成比例定理计算得出AC＝60米，从而即可得出结果．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴（平行线分线段成比例的性质）．
∵BD＝50米，DE＝10米，CE＝12米，
∴．
∴AC＝60米，
∴AE＝AC+CE＝60+12＝72米，
则AE的长为72米，
故答案为：72米．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例，关键是相关性质的熟练掌握．
8．（2026春 顺义区校级月考）如图，已知AC∥EF∥DB，AF：BF＝2：3，CD＝15，CE＝　6　 ．
【分析】利用平行线分线段成比例定理解答即可．
【解答】解：∵AC∥EF∥DB，
∴，
由条件可得：，
∴，
∵CD＝15，
∴．
故答案为：6．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握该知识点是关键．
9．（2026春 北京校级期中）已知：在△ABC中，点D、E分别是AB、AC上的点，DE∥BC，且．求证：DE是△ABC的中位线．
【分析】延长DE到点F，使EF＝DE，连接CF，证明四边形BCFD是平行四边形，进而证明△ADE≌△CFE（ASA）得出AE＝CE，AD＝CF，进而可得AD＝BD，结合AE＝CE，即可得证．
【解答】证明：延长DE到点F，使EF＝DE，连接CF，如图，
∵，
∴DF＝BC，
又∵DE∥BC，
∴DF∥BC，
∴四边形BCFD是平行四边形，
∴BD∥CF，BD＝CF，
∴∠1＝∠2，
∵EF＝DE，∠3＝∠4，
∴△ADE≌△CFE（ASA），
∴AE＝CE，AD＝CF，
∵BD＝CF，
∴AD＝BD，
又∵AE＝CE，
∴DE是△ABC的中位线．
【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，三角形中位线定理，熟知三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是解题的关键．
10．（2026春 浦东新区校级期中）如图，已知在△ABC中，EF∥CD，AF＝6，AD＝10，AE＝8．
（1）求AC的长；
（2）当DE∥BC时，求AB的长．
【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理得出比例式，求出AC即可；
（2）根据平行线分线段成比例定理，求出AB即可．
【解答】解：（1）∵EF∥CD，AF＝6，AD＝10，AE＝8，
∴，
∴，
∴；
（2）∵DE∥BC，，AE＝8，
∴，
∵AD＝10，
∴，
解得：．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，平行线的判定，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．
【考点2】平行线分线段成比例定理2求线段（第11-23题）
※ 方法总结
多线组合：当图形中有多条平行线时，可多次使用定理，或利用等比性质（合比、分比）。
中间量转化：有时需要先求中间线段，再通过比例关系求目标线段。
设参数法：当比例关系复杂时，可设每份为k，用k表示各线段，再根据已知条件列方程。
相似三角形法：平行线分线段成比例与相似三角形紧密相关，可转化为相似比求解。
注意：当图形中有多个平行线组时，要分析清楚哪两条直线被截，避免混淆。
11．（2026 道里区校级模拟）如图，AB∥CD∥EF，若AC＝10，CE＝20，DF＝16，则BD的长为（　　）
A．12 B．10 C．8 D．6
【分析】根据平行线分线段成比例进行计算即可．
【解答】解：由题知，
因为AB∥CD∥EF，
所以．
因为AC＝10，CE＝20，DF＝16，
所以，
所以BD＝8．
故选：C．
【点评】本题主要考查了平行线分线段成比例，熟知平行线分线段成比例是解题的关键．
12．（2026 南岗区校级二模）如图，AD∥BE∥CF，直线l1、l2与这三条平行线分别交于点A、B、C和点 D、E、F，若AB＝4，BC＝3，DF＝14，则 DE的长为（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可．
【解答】解：∵AD∥BE∥CF，
∴，
∵DF＝14，AB＝4，BC＝3，
∴AC＝AB+BC＝7，
∴，
解得：DE＝8，
故选C．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据定理得出比例式是解答此题的关键，注意：一组平行线截两条直线，所截得的对应线段成比例．
13．（2026 姜堰区二模）如图1是花架实物图，图2是其对应的侧面示意图，已知AB∥CD∥EF，，DF＝40cm，则BF的长为（　　）
A．32cm B．40cm C．50cm D．72cm
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算求出BD，进而求出BF．
【解答】解：∵AB∥CD∥EF，
∴，即，
解得：BD＝32，
∴BF＝BD+DF＝40+32＝72（cm），
故选：D．
【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用该定理、找准对应关系是解题的关键．
14．（2026 广宁县一模）如图，在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，AC上的点，且，DF∥BC，EF∥AB，连接DE，随机在△ABC内投针，则针扎到阴影区域内的概率为（　　）
A． B． C． D．
【分析】证明四边形BDFE是平行四边形，根据平行线分线段成比例定理以及几何型的概率公式求解即可．
【解答】解：∵DF∥BC，EF∥AB，
∴四边形BDFE是平行四边形．
∴△BDE的面积＝△DEF的面积，
∵，
∴，
∴，
∵DF∥BC，EF∥AB，
∴，，
∴，
∴，
∵EF∥AB，
∴，
∴S BDFE＝（1）S△ABCS△ABC，
∴针扎到阴影区域内的面积＝△DEF的面积S△ABC．
∴针扎到△DEF（阴影）区域内的概率是．
故选：B．
【点评】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，几何概率，根据平行线分线段成比例定理证得三角形之间的关系是解决问题的关键．
15．（2026 吉林一模）如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G，若AG＝2，GD＝1，DF＝5，则等于（　　）
A． B． C． D．1
【分析】根据平行线分线段成比例定理解答即可．
【解答】解：由条件可知AD＝AG+GD＝3，
根据平行线分线段成比例定理可得：
，
∵AB∥CD∥EF，
∴．
故选：C．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握该知识点是关键．
16．（2026 眉山）如图，l1∥l2∥l3，AB＝3，DE＝5，BC＝6，则DF的长度是　15　 ．
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算求出EF，进而求出DF．
【解答】解：∵l1∥l2∥l3，
∴，即，
解得：EF＝10，
∴DF＝DE+EF＝5+10＝15，
故答案为：15．
【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
17．（2026 沈阳三模）如图，已知l1∥l2∥l3，直线AB分别交l1、l2、l3于A、M、B，直线CD分别交l1、l2、l3于C、N、D，AM＝4，MB＝6，CD＝9，那么ND＝　5.4　 ．
【分析】利用平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．
【解答】解：∵l1∥l2∥l3，
∴，
∴，
解得 CN＝3.6，
∴ND＝CD﹣CN＝9﹣3.6＝5.4
故答案为：5.4．
【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理的应用，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
18．（2026 淮阴区二模）如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上，若线段AB＝6，则线段BC的长是 　2　 ．
【分析】过点A作直线的垂线，垂足分别为D、E、F、G，由平行线间的距离相等，可设AD＝DE＝EF＝FG＝h，利用平行线分线段成比例定理计算即可．
【解答】解：如图，过点A作直线的垂线，垂足分别为D、E、F、G，
∵五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成，
∴设AD＝DE＝EF＝FG＝h，
∴3，
解得BC＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握定理是解题的关键．
19．（2026春 芝罘区期中）如图，在△ABC中，延长BA至点D，使AD＝AB，E在BC上，连接DE交AC于点F，EG∥AC交AB于点G，已知BC＝8，DF＝5，EF＝2，则CE的长为　　 ．
【分析】根据平行线分线段成比例进行计算即可．
【解答】解：由题知，
∵EG∥AC，
∴．
∵DF＝5，EF＝2，
∴．
∵AD＝AB，
∴．
∵GE∥AC，
∴．
又∵BC＝8，
∴CE．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了平行线分线段成比例，熟知平行线分线段成比例是解题的关键．
20．（2026 淮安二模）我们把练习本上的横线看作平行且等距的格线．如图，嘉淇在两条横线上画出△ABC，且AB，AC与中间的另外两条横线交于D，F，E，G四点，连接CD交FG于点H．若HG＝2，则BC的长为　12　 ．
【分析】由题意可得DE∥FG∥BC，从而得出△ADE∽△ABC，△CHG∽△CDE，再由相似三角形的性质即可得解．
【解答】解：∵横线为平行且等距的格线，△ABC的边AB，AC与中间的另外两条横线交于D，F，E，G四点，
∴DE∥FG∥BC，，，
∴△ADE∽△ABC，△CHG∽△CDE，
∴，，
∵HG＝2，
∴DE＝4，BC＝12．
故答案为：12．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解此题的关键．
21．（2026春 淮南月考）如图，已知AD∥BE∥CF，它们依次交直线l1，l2于点A，B，C和点D，E，F．
（1）若AB＝6，BC＝8，DE＝7，求DF的长；
（2）若AB：AC＝2：5，EF＝9，求DE的长．
【分析】（1）由平行线分线段成比例定理和比例的性质得出，即可求出EF的长，得出DF的长；
（2）由AB：AC＝2：5可得AB：BC＝2：3，由平行线分线段成比例定理得，代入EF＝9可得结论．
【解答】解：（1）∵AD∥BE∥CF，DE＝7，AB＝6，BC＝8，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）∵AB：AC＝2：5，
∴AB：BC＝2：3，
∵AD∥BE∥CF，EF＝9，
∴，
∴．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟知三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是解题的关键．
22．（2025秋 浦东新区校级期中）如图，在△ABC中，点D为BC上一点，点P在AD上，过点P作PM∥AC交AB于点M，作PN∥AB交AC于点N．
（1）若点D是BC的中点，且AP：PD＝2：1，求AM：AB的值；
（2）若点D是BC上任意一点，试证明：．
【分析】（1）过点D作DE∥PM交AB于E，由点D为BC中点与AP：PD＝2：1，根据平行线分线段成比例定理，即可求得AM：AB的值；
（2）过点D作DE∥PM交AB于E，即可得，又由PM∥AC，根据平行线分线段成比例定理可得，继而求得
【解答】（1）解：如图，过点D作DE∥PM交AB于E，
∵PM∥AC，
∴DE∥AC，
∴，
∵点D为BC中点，
∴点E是AB中点，且，
∴；
（2）证明：如图，过点D作DE∥PM交AB于E，
∴，
又∵PM∥AC，
∴DE∥AC，
∴，
∴，
同理可得：，
∴．
【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．
23．（2025秋 凉州区校级期末）如图，直线l1，l2，l3分别交直线l4于点A，B，C，交直线l5于点D，E，F，且l1∥l2∥l3．
（1）若AB＝5，BC＝2，DF＝10.5．求EF的长；
（2）点O是直线l4与l5的交点，若OB：BC＝3：2，CF＝15，求BE的长．
【分析】（1）由l1∥l2∥l3，得到，将已知条件代入比例式即可解答；
（2）先推导出BE∥CF，证明△OBE∽△OCF，则，由OB：BC＝3：2求出，即可解答．
【解答】解：（1）∵l1∥l2∥l3，直线l1，l2，l3分别交直线l4于点A，B，C，交直线l5于点D，E，F，
∴，
∵AB＝5，BC＝2，DF＝10.5，
∴，
∴EF＝3；
（2）∵l2∥l3，
∴BE∥CF，
∴△OBE∽△OCF，
∴，
∵OB：BC＝3：2，
∴，
∴，
∴BE＝9．
【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，熟知三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是解题的关键．
【考点3】平行线分线段成比例定理求作线段（第24-30题）
※ 方法总结
尺规作图：利用平行线分线段成比例的原理，通过作平行线来分割线段。
网格作图：利用网格中的平行线，通过相似三角形或平行线分线段成比例找分点。
构造比例：作已知线段的平行线，使截得的线段满足给定比例。
常见题型：在给定线段上找一点，使分成的两段之比为给定值；或作线段等于已知线段的比例中项。
策略：利用网格中的平行线或构造直角三角形，利用相似比或平行线分线段成比例定理确定分点位置。
24．（2025秋 虹口区校级月考）如图，A，B均在方格纸的格点上．在方格纸内另取格点C，D，连结CD，交线段AB于点P．若要使点P把线段AB分成1：2的两条线段，则（　　）
A．只有方法1对 B．只有方法2对
C．方法1，2都对 D．方法1，2都错
【分析】分别根据平行线分线段成比例即可得出答案．
【解答】解：方法1，
∵AC∥BD，BD＝2AC，
∴，
∴点P把线段AB分成1：2的两条线段；
方法2，如图，连接BC，AD，
∵BC∥AD，AD＝2BC，
∴，
∴点P把线段AB分成1：2的两条线段；
∴方法1，2都对．
故选：C．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例，关键是熟练掌握平行线分线段成比例的应用．
25．（2025秋 庐阳区校级期中）已知线段a，b，c，求作线段x，使，下列作法中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据平行线的性质一一分析．
【解答】解：A、根据平行线的性质得，故x，故此选项错误；
B、根据平行线的性质得，故x，故此选项错误；
C、根据平行线的性质得，故x，故此选项错误；
D、根据平行线的性质得故x，故此选项正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查了利用平行线的性质画图的方法．
26．（2026 沧州模拟）如图所示，直线l1∥l2∥l3，直线l1、l2、l3对应刻度尺上的刻度读数分别是5cm、8cm、14cm，若AC＝15cm，则BC的长为（　　）
A．5cm B．8cm C．10cm D．12cm
【分析】结合l1∥l2∥l3，得出，又因为AC＝15cm，得，再解得BC＝10cm，即可作答．
【解答】解：∵l1∥l2∥l3，直线l1、l2、l3对应刻度尺上的刻度读数分别是5cm、8cm、14cm，AC＝15cm，
∴，
∴，
∴BC＝10cm，
故选：C．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟知三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是解题的关键．
27．（2026 盐城三模）如图，在每个小正方形边长为1的网格中，点A、B、C、D均在格点上．
（1）仅用无刻度直尺，分别作出AB、BC、CD、DA的中点E、F、G、H，并保留作图痕迹．
（2）顺次连接点E、F、G、H，求证：四边形EFGH为平行四边形．
【分析】（1）根据网格的特点，找到线段的中点即可；
（2）根据中位线的性质得出，根据一组对边平行且相等，即可得证．
【解答】解：（1）如图，点E、F、G、H即为所求；
（2）如图，顺次连接点E、F、G、H，连接AC，BD，
∵点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，
∴，
∴四边形EFGH为平行四边形．
【点评】本题考查作图—应用与设计作图，三角形中位线定理，平行四边形的判定，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
28．（2026 兴庆区校级三模）由边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点均在格点上，请用无刻度直尺按要求作图，保留作图痕迹．
（1）在图①中画出△ABC的外心点O．
（2）如图②，在线段AC上找一点D使得．
（3）图③中的线段AB上作点Q，使CQ最短．
【分析】（1）取AC中点O即为所求；
（2）取AC与网格线交点D即为所求；
（3）取格点G，连接CG交AB于点Q即为所求．
【解答】解：（1）△ABC的外心点O，如图①即为所求；
理由：如图①，连接OB，
由网格特点得，OA＝OB＝OC，
∴点A，B，C在以点O为圆心的圆上，
∴点O为△ABC的外心；
（2）使得的点D，如图②即为所求；
理由：如图②，取格点E，F，
∵AE∥FC，
∴△ADE∽△CDF，
∴；
（3）使CQ最短的点Q，如图③即为所求；
理由：如图③，取格点H，
∵BG＝GH，∠BGA＝∠GHC＝90°，∠BGA＝∠GHC＝90°，
∴△BGA≌△GHC（SAS），
∴∠HGC＝∠GBA，
∵∠HGC+∠BGC＝90°，
∴∠GBA+∠BGC＝90°，
∴∠GQB＝90°，即CQ⊥AB，
∴CQ最短．
【点评】本题属于三角形综合题，主要直角三角形斜边上的中线，三角形的外心，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形与相似三角形的性质．
29．（2024 武威二模）如图，在由边长为1的小正方形构成的6×8的网格中，△ABC的顶点A，B，C均在格点上．请按要求完成作图：①仅用无刻度直尺；②保留作图痕迹并标注相关字母．
（1）如图1，在线段AC上找一点D，使得．
（2）如图2，画出△ABC的角平分线BE．
【分析】（1）利用数形结合的思想画出图形即可；
（2）根据等腰三角形的性质和角平分线的定义即可得到结论．
【解答】解：（1）如图所示，点D即为所求；
（2）如图所示，线段BE即为所求．
【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
30．（2023 南关区校级模拟）图①、图②均是7×7的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹．
（1）在图①的线段AC上画一点D，使得AD：DC＝2：3；
（2）在图②中，画△ABC的高BE；
（3）在图②中，若点P、Q分别为线段BE、AB上的动点，连接PA、PQ，当PA+PQ取最小值时，画出点P、Q的位置．
【分析】（1）取格点F，G，使AF：CG＝2：3，连接FG交AC于点D，则点D即为所求．
（2）由题意得，△ABC为等腰三角形，则取AC的中点E，连接BE即可．
（3）取格点H，连接CH，交AB于点Q，交BE于点P，使CH⊥AB，连接AP，此时PA+PQ取得最小值．
【解答】解：（1）如图①，取格点F，G，连接FG交AC于点D，
∵AF：CG＝2：3，
∴AD：CD＝2：3．
则点D即为所求．
（2）∵BC＝5，AB5，
∴AB＝BC，
∴△ABC为等腰三角形，
如图②，取AC的中点E，连接BE即可．
（3）∵△ABC为等腰三角形，BE为△ABC的高，
∴点A与点C关于BE对称，
如图②，取格点H，连接CH，交AB于点Q，交BE于点P，使CH⊥AB，
连接AP，
此时PA+PQ取得最小值，最小值即为CQ的长．
即点P，Q为所求．
【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图、等腰三角形的性质、轴对称﹣最短路线问题，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
【考点4】创新及压轴题（第31-34题）
※ 方法总结
角平分线分线段成比例定理：可通过作平行线证明，并利用该定理快速求解相关线段。
综合应用：与直角三角形、勾股定理、面积、最值等结合，综合性强。
新定义与建模：如“均值不等式”与平行线分线段成比例结合求最值，需理解题意并建立数学模型。
解题策略：① 识别基本图形；② 作辅助线构造平行；③ 利用比例关系列方程；④ 结合其他知识（如勾股定理、面积公式）求解。
31．（2025秋 东港区校级月考）阅读题
请阅读以下材料，并完成相应的问题．
角平分线分线段成比例定理：如图（1），在△ABC中，AD平分∠BAC，则AB：AC＝BD：CD．
下面是这个定理的部分证明过程：如图（2），过点C作CE//DA，交BA的延长线于E，
任务：
（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；
（2）如图（3），已知Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，AD平分∠BAC，求BD的长．（请按照本题题干的定理进行解决）
【分析】（1）过点C作CE∥DA，交BA的延长线于点E，由CE∥DA，可得BD：CD＝BA：EA，∠2＝∠ACE，∠1＝∠E，可得AE＝AC，即可得证；
（2）由题意可得：AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，根据勾股定理可得AC，利用角平分线分线段成比例定理即可求解．
【解答】（1）证明：如图（2），过点C作CE∥DA，交BA的延长线于点E，
∵CE∥DA，
∴BD：CD＝BA：EA，∠2＝∠ACE，∠1＝∠E，
∵∠1＝∠2，
∴∠ACE＝∠E，
∴AE＝AC，
∴AB：AC＝BD：CD；
（2）解：如图（3），∵AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，
∴AC5，
∵AD平分∠BAC，
∴，即，
∴BDBC．
【点评】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，角平分线分线段成比例定理，勾股定理等知识点，熟练掌握相关定理是解决问题的关键．
32．（2025春 厦门校级月考）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，BE∥DC交AC的延长线于点E．
（1）请用无刻度的直尺和圆规在线段BE上求作点M，使得（保留作图痕迹，不写作法）．
（2）在（1）的条件下，若AE＝6，BC＝4，求四边形CDBM的周长．
【分析】（1）根据作一个角等于已知角的方法作图，作∠ECM＝∠A，交EB于点M即可；
（2）先证明四边形CDBM是菱形，然后利用直角三角形斜边中线的性质得出，最后根据菱形的判定和性质即可求得．
【解答】解：（1）在线段BE上求作点M，使得，如图，点M即为所求，
由作图可知：∠ECM＝∠A，
∴CM∥AB，
∴；
（2）∵∠ECM＝∠A，
∴CM∥AB，
∵BE∥CD，
∴四边形CDBM是平行四边形，
在Rt△ABC中，
∵CD是斜边AB上的中线，
∴，
∴平行四边形CDBM是菱形，
∵CD∥EB，
∴，
∴AC＝CE，
∵AE＝6，
∴AC＝3，
在Rt△ABC中，根据勾股定理得：
，
∴，
∴四边形CDBM的周长为．
【点评】本题考查了尺规作图，平行线分线段成比例，菱形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质等知识，解决本题的关键是掌握基本作图方法．
33．（2025秋 金山区校级月考）在不等式领域中有一个重要结论叫“均值不等式”，表述如下：对于任意的正数a，b，都有a+b≥2，当且仅当“a＝b”时，等号成立，这个结论是解决最值问题的有力工具．例如：若x＞0时，则有x2，即x2，当且仅当“x”，即x＝1时，等号成立，从而x有最小值为2．
（1）填空：若x＞0，则x的最小值为 　6　 ，此时x＝ 　3　 ；
（2）现有一个面积为的锐角三角形ABC，按照如图所示的方式裁剪正方形DEFG，正方形面积S的最大值是多少？某学习小组对该问题做了如下探索：
设DE＝x，AC＝a，AC边上的高BH＝h，最终推导出x．
①请你补充该小组的推导过程；
②该小组发现要使得内接正方形面积S最大，也就是求x的最大值，只需使分母a+h最小即可．由S△ABC为定值，即ah＝3，可得h．请结合以上信息，求底边长a为多少时，内接正方形面积S最大，最大值为多少？
【分析】（1）结合题干即可直接求解；
（2）①设DE＝x，AC＝a，AC边上的高BH＝h，则MH＝DE＝x，根据三角形面积可得ah＝3，根据DE∥AC可得，从而可得；
②由ah＝3得，根据，当且仅当时等号成立即可作答．
【解答】解：（1）∵，
∴，当且仅当，即x＝3时，等号成立，
∴的最小值为6，此时x＝3，
故答案为：6，3；
（2）①设DE＝x，AC＝a，AC边上的高BH＝h，则MH＝DE＝x，
∵锐角三角形ABC的面积为1.5，
∴，
∴ah＝3，
∵DE∥AC，
∴，即，
∴；
②∵ah＝3，
∴，
∵，
∴，当且仅当，即时，等号成立，
即当时，a+h有最小值为，
∴当时，有最大值，
∴S＝x2有最大值为，
即当底边长a为时，内接正方形面积S最大，最大值为．
【点评】本题考查定义新运算、平行线分线段成比例定理的应用、正方形的性质，掌握新运算是解题的关键．
34．（2024秋 滦州市期中）如图，阳光（平行光线）通过窗户照到厂房内，竖直窗框（CD）在地面上留下2米长的影子（AB），窗框影子的一端B到窗下墙脚O的距离OB为3.6米，窗口底边C与地面的距离OC为1.2米．
（1）求窗户的高度（CD的长）；
（2）如图，随着平行光线照射角度的变化，窗框影子的一端A沿OE向右移动到A′，AA′＝0.4米，另一端B恰好移动到厂房的另一墙脚E，求BE的长．
【分析】（1）由题意得DB∥AC，利用平行线分线段成比例定理即可求解；
（2）由题意得DE∥A′C，利用平行线分线段成比例定理求得A′E＝2.5，再根据BE＝OA′+A′E﹣OB，求解即可．
【解答】解：（1）∵阳光是平行线，即DB∥AC，
∴，
∵OC＝1.2，OB＝3.6，AB＝2，
∴OA＝OB﹣AB＝1.6，
∴，解得CD＝1.5（米），
答：窗户的高度为1.5米；
（2）由题意得DE∥A′C，
∴，
∵OC＝1.2，OA′＝OA﹣AA′＝2，CD＝1.5，
∴，
∴A′E＝2.5，
∴BE＝OA′+A′E﹣OB＝2+2.5﹣3.6＝0.9（米），
答：BE＝0.9米．
【点评】本题考查平行线分线段成比例定理的应用．熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．
随堂检测 · 精选练习
练习1：三条平行线截两条直线，已知部分线段，求另一条线段（直接应用定理）。
练习2：三角形中平行线截两边，利用比例关系求线段长（A字型）。
练习3：多条平行线，利用线段和差及比例关系求线段。
练习4：正方形内接三角形，利用平行线分线段成比例求正方形面积。
练习5：三条平行线，已知部分线段长度，求另一条线段（注意点的顺序）。
【练习1】（2025秋 虹口区期末）如图，直线AB∥CD∥EF，如果，BD＝6，那么BF的长是　14　 ．
【分析】由，得，由AB∥CD∥EF，得即可解答．
【解答】解：∵，
∴，
∵AB∥CD∥EF，
∴，
∵BD＝6，
∴如果，BD＝6，那么，
故答案为14．
【点评】本题考查平行线分线段成比例，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
【练习2】（2026春 闵行区校级月考）我们把练习本上的横线看作平行且等距的格线．如图，小明在两条横线上画出△ABC，且AB、AC与中间的另外两条横线交于D、F、E、G四点，连接CD交FG于点H．若HG＝3，则BC的长为　18　 ．
【分析】由题意可得DE∥FG∥BC，，，从而得出△ADE∽△ABC，△CHG∽△CDE，再由相似三角形的性质即可得解．
【解答】解：∵DE∥FG∥BC，，，
∴△ADE∽△ABC，△CHG∽△CDE，
∴，，
∴DE＝6，BC＝18．
故答案为：18．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握该知识点是关键．
【练习3】（2025秋 浦东新区期末）如图，已知AB∥CD∥EF，它们依次交直线l1，l2于点A、D、F和点B、C、E．如果AD：DF＝3：2，BC＝21，那么CE＝　14　 ．
【分析】根据平行线分线段成比例定理即可得到结论．
【解答】解：∵AD：DF＝3：2，
∴，
∵AB∥CD∥EF，
∴，
∵AF＝AD+DF
∴，
∵BC＝21，
∴，
∴BE＝35，
∴如果AD：DF＝3：2，BC＝21，那么CE＝BE﹣BC＝35﹣21＝14，
故答案为：14．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例，找准对应线段是解题的关键
【练习4】（2025 徐汇区模拟）如图，△ABC中，∠C＝90°，正方形CDEF的顶点D、E、F分别在边AC、AB、BC上，如果AE＝2BE，且S△ABC＝36．那么正方形CDEF的面积为 　16　 ．
【分析】设正方形CDEF的边长为x，得到CD＝CF＝EF＝DE＝x根据平行线分线段成比例定理得到2，，求得AD＝2CD＝2x，BFx，AC＝3x，BCx，根据三角形的面积公式列方程得到CD＝4，于是得到正方形CDEF的面积＝4×4＝16．
【解答】解：设正方形CDEF的边长为x，
∴CD＝CF＝EF＝DE＝x
∵DE∥BC，EF∥AC，
∴2，，
∴AD＝2CD＝2x，BFx，
∴AC＝3x，BCx，
∵S△ABC＝36．
∴3x x＝36，
∴x＝4（负值舍去），
∴CD＝4，
∴正方形CDEF的面积＝4×4＝16．
故答案为：16．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，三角形的面积，正方形的性质，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．
【练习5】（2025秋 嘉定区校级月考）如图，直线AD、BE、CF分别交直线AC于点A、B、C，交直线DF于点D、E、F，且AD∥BE∥CF．已知AB＝3，AC＝5，OB＝1，DF＝9，求DE、OF的长．
【分析】由平行线分线段成比例定理即可求出DE、OF的长．
【解答】解：∵AD∥BE∥CF．
∴∵，，
又∵AB＝3，AC＝5，DF＝9，
∴，
解得DE，
∵OB＝1，
∴AO＝AB﹣OB＝3﹣1＝2，
∴OC＝AC﹣AO＝5﹣2＝3，
∴，
∴OF．
【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．
课后巩固 · 针对性练习
作业1：判断能推出DE∥BC的比例条件（逆定理应用）。
作业2：在反向延长线上，根据比例判断平行（逆定理）。
作业3：识别不能推出平行的比例式（逆定理的易错点）。
作业4：三条平行线截两条直线，求线段长（实际应用，人字梯）。
作业5：三条平行线，已知部分线段，求整体线段长。
作业6：三角形中有两组平行线，利用比例关系求比值。
作业7：两条直线被一组平行线所截，求比例值。
作业8：等距平行线，利用比例求线段长（古筝琴弦）。
作业9：三角形中平行线，求线段长（两种不同已知条件）。
作业10：两条直线被平行线所截，求线段比。
作业11：角平分线分线段成比例定理的证明及应用（含勾股定理）。
作业12：三角形中位线及平行线分线段成比例的综合证明与计算。
复习建议 本讲核心是“平行线分线段成比例”，重点掌握：
定理内容及对应线段的识别（避免错位）；三角形中的“A字型”与“8字型”比例关系；
作辅助线构造平行线（如过中点作平行线）；与三角形、勾股定理等知识的综合运用。
【作业1】（2025秋 浦东新区期末）如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，下列条件中一定能判定DE∥BC的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据平行线分线段成比例定理对各个选项进行判断即可
【解答】解：A、由，能得到DE∥BC，符合题意；
B、由，不能得到DE∥BC，不符合题意；
C、由，不能得到DE∥BC，不符合题意；
D、由，不能得到DE∥BC，不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，掌握相关知识是解题的关键．
【作业2】（2025秋 崇明区期末）如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC的反向延长线上，已知AC＝2AE，下列条件中能判定DE∥BC的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】利用平行线的判定方法解决问题即可．
【解答】解：选项B符合题意．
理由：∵，
∴，
∵AC＝2AE，
∴，
∴DE∥BC．
故选：B．
【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
【作业3】（2025秋 嘉定区期末）在△ABC中，点M、N分别是边AB、AC上的点，那么下列条件中不能推得MN∥BC的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据平行线分线段成比例，对所给选项依次进行判断即可．
【解答】解：根据平行线分线段成比例可知，
当或或时，可得MN∥BC．
当时，不能确定△AMN与△ABC相似，
所以得不到∠ANM＝∠C，
因此不能得到MN∥BC．
故选：D．
【点评】本题主要考查了平行线分线段成比例，熟知平行线分线段成比例是解题的关键．
【作业4】（2026 小店区校级模拟）如图是一架人字梯及其侧面示意图，已知AB∥CD∥EF，AC＝50cm，CE＝30cm，BD＝45cm，则BF的长为（　　）
A．27cm B．50cm C．72cm D．80cm
【分析】先根据平行线等分线段定理列比例式求得DF＝27cm．BF＝BD+DF＝72cm，再运用线段的和差求解即可．
【解答】解：已知AB∥CD∥EF，AC＝50cm，CE＝30cm，BD＝45cm，
∴，
∴，
解得：DF＝27cm．
∴BF＝BD+DF＝72cm，
∴BF＝BD+DF＝72cm，
故选：C．
【点评】本题主要考查了平行线分线段成比例，根据平行线等分定理列比例式成为解题的关键．
【作业5】（2026 淄博模拟）如图，两条直线被三条平行线所截，已知AB＝3，DE＝4，EF＝8，则AC的长是　9　 ．
【分析】根据平行线分线段成比例得到，然后利用比例的性质求AC的长．
【解答】解：∵l1∥l2∥l3，AB＝3，DE＝4，EF＝8，
∴，即，
∴AC＝9．
故答案为：9．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟知三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是解题的关键．
【作业6】（2026 成都模拟）如图，点D，E，F分别在△ABC的三边上，若DE∥AC，DF∥AB，，则的值为　　 ．
【分析】根据两直线平行线得到∠A度数，再根据两直线平行同旁内角互补可得∠2度数．
【解答】解：∵点D，E，F分别在△ABC的三边上，DE∥AC，，
∴，
∵DF∥AB，
∴，
故答案为：．
【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
【作业7】（2026 榆树市三模）如图，直线AE，BF交于点O，AB∥CD∥EF．若OA＝1，AC＝2，CE＝4．则的值为 　　 ．
【分析】由CD∥EF，利用平行线分线段成比例，可得出，结合OC＝OA+AC＝3，CE＝4，即可求出结论．
【解答】解：∵CD∥EF，
∴，
又∵OA＝1，AC＝2，CE＝4，
∴OC＝OA+AC＝1+2＝3，
∴．
故答案为：．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例，牢记“平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例”是解题的关键．
【作业8】（2026 松原一模）古筝是中国独有的民族乐器之一，被誉为“东方钢琴”，如图所示为其部分琴弦的示意图．已知弦l1∥l2∥l3∥l4∥l5∥l6，且相邻两弦之间的距离相等，P是弦l1上一点，过点P作射线PA，交弦l6于点A，交弦l3于点E．若AP＝10，则AE＝　6　 ．
【分析】利用平行线分线段成比例定理求解．
【解答】解：∵弦l1∥l2∥l3∥l4∥l5∥l6，且相邻两弦之间的距离相等，
∴AE：EP＝3：2，
∵AP＝10，
∴AE＝6，EP＝4，
故答案为：6．
【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是理解题意，联合应用所学知识所学知识解决问题．
【作业9】（2026春 临淄区期中）如图，在△ABC中，D，E分别是AB和AC上的点，且DE∥BC，
（1）如果AD＝7cm，DB＝3cm，EC＝2cm，那么AE的长是多少？
（2）如果AB＝10cm，AD＝6cm，AC＝8cm，那么EC的长是多少？
【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理得到，代入AD＝7cm，DB＝3cm，EC＝2cm，可求出AE的长度；
（2）根据平行线分线段成比例定理得到，则，可求出EC的长度．
【解答】解：（1）DE∥BC，
∴，
∵AD＝7cm，DB＝3cm，EC＝2cm，
∴，
∴AE，
∴AE的长是cm；
（2）DE∥BC，
∴，
∵AB＝10cm，AD＝6cm，AC＝8cm，
∴，
∴EC，
∴EC的长是cm．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
【作业10】（2025秋 沛县期末）如图，直线AD、BC交于点O，AB∥EF∥CD，若BO＝2，OE＝1，EC＝2，求的值．
【分析】由线段的和差可得BE＝3，再根据平行线等分线段定理可得即可解答．
【解答】解：∵BO＝2，OE＝1，
∴BE＝BO+OE＝2+1＝3，
∵AB∥EF∥CD，
∴．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，理解平行线分线段成比例定理是解答关键．
【作业11】（2025秋 裕华区校级期末）阅读与计算，请阅读以下材料，并完成相应的问题．
阅读：角平分线分线段成比例定理：如图1，在中，AD平分∠BAC，则．
下面是这个定理的部分证明过程．
证明：如图2．过C作CE∥DA．交BA的延长线于E．…
任务：（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分：
（2）计算：如图3，已知Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8，∠ABC＝90°，AD平分∠BAC，求△ABD的周长．
【分析】（1）过C作CE∥DA．交BA的延长线于点E，则∠1＝∠E，∠2＝∠3，再根据角平分线定义得∠1＝∠2，由此得∠E＝∠3，则AE＝AC，然后根据CE∥DA得，据此可得出结论；
（2）先由勾股定理求出AC＝10，由（1）的结论得，设BD＝5a，CD＝3a，则BC＝BD+CD＝8a＝8，由此得a＝1，继而得CD＝3，再由勾股定理求出AD，据此可得△ABD的周长．
【解答】（1）证明：过C作CE∥DA．交BA的延长线于点E，如图2所示：
∴∠1＝∠E，∠2＝∠3，
∵AD平分∠BAC，
∴∠1＝∠2，
∴∠E＝∠3，
∴AE＝AC，
∵CE∥DA．
∴，
∴；
（2）解：在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8，∠ABC＝90°，
由勾股定理得：AC10，
∵AD平分∠BAC，
∴，
∴，
∴，
设BD＝5a，CD＝3a，
∴BC＝BD+CD＝8a＝8，
∴a＝1，
∴CD＝3a＝3，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD，
∴AB+BD+AD，
∴△ABD的周长为：．
【点评】此题主要考查了平行线分线段成比例定理，勾股定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理，灵活利用勾股定理进行计算是解决问题的关键．
【作业12】（2025秋 二道区校级期末）【知识储备】如图①，在△ABC中，点D是AB的中点，DE∥BC，则AE与AC的数量关系为AC＝2AE ；
【类比探究】小明同学在学习时遇到这样一个问题：
如图②，在△ABC中，点D是边BC的中点，点E是边AB上一点，且BE＝2AE，AD、CE相交于点O．求证：AO＝DO．
小明同学发现：如图③，可以过点D作DF∥CE，交边AB于点F，从而可以得到△AFD∽△AEO，再利用线段间的数量关系推出结论．下面是小明同学的部分证明过程：
证明：如图③，过点D作DF∥CE，交AB于点F．
∵DF∥CE，点D是边BC的中点，
∴点F是BE的中点，
∴BE＝2EF．
请你补全余下的证明过程．
【拓展迁移】如图④，在△ABC中，点D是边BC的中点，点E是边BA延长线上一点，且BE＝3AE，射线DA与射线CE相交于点O，则线段AO和线段DO的数量关系是　　 ．
【分析】【知识储备】根据平行线分线段成比例，可得，即可得出答案；
【类比探究】结合BE＝2AE，可得到AE＝EF，再根据平行线分线段成比例，得到，即可得证；
【拓展迁移】过点D作DH∥CE，先证明点H是BE的中点，那么BE＝2EH，结合BE＝3AE，得到，推出，再根据平行线分线段成比例，得到，那么，即可得出结论．
【解答】解：【知识储备】∵点D是AB的中点，DE∥BC，
∴，
∴AC＝2AE；
故答案为：AC＝2AE；
【类比探究】：
证明：如图③，过点D作DF∥CE，交AB于点F．
∵DF∥CE，点D是边BC的中点，
∴点F是BE的中点，
∴BE＝2EF．
∵BE＝2AE，
∴AE＝EF，
∵DF∥CE，
∴，
∴AO＝DO；
【拓展迁移】如图④，过点D作DH∥CE，
∵点D是边BC的中点，DH∥CE，
∴点H是BE的中点，
∴BE＝2EH，
∵BE＝3AE，
∴2EH＝3AE，
∴，
∴，
∵DH∥CE，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例，根据题意作出辅助线是解题的关键．
第1页（共1页）第8讲 平行线分线段成比例【知识精讲+典例+针对练习】
暑假预习讲义 2026-2027学年沪教版(五四制)数学九年级上册
思维导图 · 课程内容总览
课程目标 · 精准把握学习方向
理解 平行线分线段成比例定理及其推论，能正确识别“被截直线”与“对应线段”。
掌握 利用平行线分线段成比例定理求线段长度，能灵活运用比例性质进行变形与计算。
熟练运用 定理的逆定理（即判定平行），能根据线段比例关系判断两条直线是否平行。
理解 平行线分线段成比例在三角形中的常见模型（如“A字型”、“8字型”），能借助辅助线（如作平行线）构造比例关系。
体会 数形结合与转化思想，将线段比例问题转化为方程求解，感受几何定理在解决实际问题中的广泛应用。
核心思想：平行线截得对应线段成比例，是连接平行与比例的重要桥梁。
教材知识梳理 · 核心知识点
☆知识点1： 平行线分线段成比例定理 1
定理内容 平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线,截得的对应线段成比例
基本图形 “A”字型 “8”字型
符号表示
定理推导:
(1)“A”字型推导思路
如图,分别连接 BE、DC. 设点 E 到 AB 的距离为 h,
则
由此得 .①
同理可得 .②
由同底等高的两个三角形面积相等, 得 . ③
由①②③得
由比例的性质,得
(2)“8”字型推导思路
如图,分别连接 BE、DC. 设点 E 到 AB 的距离为 h,
同上可得 .
提醒 (1) 在该定理中, 成比例的对应线段在同一条直线上.
图1 图2
巧记口诀
A 字型或 8 字型， 一条线上找， .(如图1、2所示)
(2)在表述成比例的线段时,根据比例性质,也可写为
例 1 如图, 已知 , 求 CE 的长.
解：
(平行线分线段成比例定理1).
由 ，得 .
总结
解此类题需要先弄清平行线分线段成比例定理 1 中“对应线段”“成比例”等有关概念,然后直接运用定理进行计算.
☆知识点② 平行线分线段成比例定理 2
定理内容 两条直线被三条平行线所截,截得的对应线段成比例
基本图形
符号表示
定理推导：
如图, 过点 D 作 DM // EC 分别交直线 FG、BC 干点 N、M. ∵ DE // FG, DM // EC,
∴ 四边形 DEGN 是平行四边形.
同理 NM = GC.
由 ，得
由比例的性质, 得
另一图情形可类似处理.
提醒 (1) 如果直线 与 平行, 结论仍成立.
(2)当直线 过线段 DB 的中点, 即 DF = FB 时, 有 EG = GC.
也就是说:两条直线被三条平行的直线所截,如果在一条直线上截得的线段相等,那么在另一条直线上截得的线段也相等.
例 2 如图, 已知 , 求 DE、EF 的长.
解：∵ ,
(平行线分线段成比例定理2).
又∵AB=3,AC=10,DF=15,
核心考点 ·4大典型考点精讲
【考点1】平行线分线段成比例定理1求线段长（第1-10题）
※ 方法总结
识别基本图形：判断是否为“三条平行线截两条直线”或“三角形中的A字型”。
找准对应线段：在同一被截直线上，被平行线分成的线段是对应的。
列比例式：根据定理列出比例式，代入已知数值，解方程求未知线段。
注意单位：统一单位，比例式中线段长度单位一致。
常见陷阱：容易找错对应线段，如将AB与DE对应，但实际应AB与DE、BC与EF对应。
1．（2026春 麒麟区校级月考）如图，在△ABC中，点D在边AB上，，DE∥BC交AC于点E，若线段AE＝2.5，则线段CE的长为（　　）
A．7.5 B．10 C．15 D．20
2．（2026 武威一模）D，E分别是△ABC的边AB、AC上的点，DE∥BC，如果，AE＝18，那么EC的长是（　　）
A．12 B．22.5 C．25 D．6
3．（2026春 徐汇区校级期中）如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC的反向延长线上，已知DE∥BC，AB＝2AD，下列结论正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2026 泗县一模）如图，AE与BD交于点C，已知AB∥CF∥DE，CF与BE交于点F．若AB＝4，DE＝6，则CF的长为（　　）
A． B．2 C． D．
5．（2026 武威一模）如图，AB与CD相交于点E，点F在线段BC上，且AC∥EF∥DB，若BE＝5，BF＝3，AE＝BC，则的值为（　　）
A． B． C． D．
6．（2026 蓬江区校级三模）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝2，DB＝3，AE＝1.6，则AC＝　 　 ．
7．（2026 麦积区二模）郑州中牟贾鲁河大桥，斜拉索都互相平行且距离相等．如图，小丽测得有两根拉索之间距离BD＝50米，DE＝10米，CE＝12米，AB∥CD，则AE的长为　 　 ．
8．（2026春 顺义区校级月考）如图，已知AC∥EF∥DB，AF：BF＝2：3，CD＝15，CE＝　 　 ．
9．（2026春 北京校级期中）已知：在△ABC中，点D、E分别是AB、AC上的点，DE∥BC，且．求证：DE是△ABC的中位线．
10．（2026春 浦东新区校级期中）如图，已知在△ABC中，EF∥CD，AF＝6，AD＝10，AE＝8．
（1）求AC的长；
（2）当DE∥BC时，求AB的长．
【考点2】平行线分线段成比例定理2求线段（第11-23题）
※ 方法总结
多线组合：当图形中有多条平行线时，可多次使用定理，或利用等比性质（合比、分比）。
中间量转化：有时需要先求中间线段，再通过比例关系求目标线段。
设参数法：当比例关系复杂时，可设每份为k，用k表示各线段，再根据已知条件列方程。
相似三角形法：平行线分线段成比例与相似三角形紧密相关，可转化为相似比求解。
注意：当图形中有多个平行线组时，要分析清楚哪两条直线被截，避免混淆。
11．（2026 道里区校级模拟）如图，AB∥CD∥EF，若AC＝10，CE＝20，DF＝16，则BD的长为（　　）
A．12 B．10 C．8 D．6
12．（2026 南岗区校级二模）如图，AD∥BE∥CF，直线l1、l2与这三条平行线分别交于点A、B、C和点 D、E、F，若AB＝4，BC＝3，DF＝14，则 DE的长为（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
13．（2026 姜堰区二模）如图1是花架实物图，图2是其对应的侧面示意图，已知AB∥CD∥EF，，DF＝40cm，则BF的长为（　　）
A．32cm B．40cm C．50cm D．72cm
14．（2026 广宁县一模）如图，在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，AC上的点，且，DF∥BC，EF∥AB，连接DE，随机在△ABC内投针，则针扎到阴影区域内的概率为（　　）
A． B． C． D．
15．（2026 吉林一模）如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G，若AG＝2，GD＝1，DF＝5，则等于（　　）
A． B． C． D．1
16．（2026 眉山）如图，l1∥l2∥l3，AB＝3，DE＝5，BC＝6，则DF的长度是　 　 ．
17．（2026 沈阳三模）如图，已知l1∥l2∥l3，直线AB分别交l1、l2、l3于A、M、B，直线CD分别交l1、l2、l3于C、N、D，AM＝4，MB＝6，CD＝9，那么ND＝　 　 ．
18．（2026 淮阴区二模）如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上，若线段AB＝6，则线段BC的长是 　 　 ．
19．（2026春 芝罘区期中）如图，在△ABC中，延长BA至点D，使AD＝AB，E在BC上，连接DE交AC于点F，EG∥AC交AB于点G，已知BC＝8，DF＝5，EF＝2，则CE的长为　 　 ．
20．（2026 淮安二模）我们把练习本上的横线看作平行且等距的格线．如图，嘉淇在两条横线上画出△ABC，且AB，AC与中间的另外两条横线交于D，F，E，G四点，连接CD交FG于点H．若HG＝2，则BC的长为　 　 ．
21．（2026春 淮南月考）如图，已知AD∥BE∥CF，它们依次交直线l1，l2于点A，B，C和点D，E，F．
（1）若AB＝6，BC＝8，DE＝7，求DF的长；
（2）若AB：AC＝2：5，EF＝9，求DE的长．
22．（2025秋 浦东新区校级期中）如图，在△ABC中，点D为BC上一点，点P在AD上，过点P作PM∥AC交AB于点M，作PN∥AB交AC于点N．
（1）若点D是BC的中点，且AP：PD＝2：1，求AM：AB的值；
（2）若点D是BC上任意一点，试证明：．
23．（2025秋 凉州区校级期末）如图，直线l1，l2，l3分别交直线l4于点A，B，C，交直线l5于点D，E，F，且l1∥l2∥l3．
（1）若AB＝5，BC＝2，DF＝10.5．求EF的长；
（2）点O是直线l4与l5的交点，若OB：BC＝3：2，CF＝15，求BE的长．
【考点3】平行线分线段成比例定理求作线段（第24-30题）
※ 方法总结
尺规作图：利用平行线分线段成比例的原理，通过作平行线来分割线段。
网格作图：利用网格中的平行线，通过相似三角形或平行线分线段成比例找分点。
构造比例：作已知线段的平行线，使截得的线段满足给定比例。
常见题型：在给定线段上找一点，使分成的两段之比为给定值；或作线段等于已知线段的比例中项。
策略：利用网格中的平行线或构造直角三角形，利用相似比或平行线分线段成比例定理确定分点位置。
24．（2025秋 虹口区校级月考）如图，A，B均在方格纸的格点上．在方格纸内另取格点C，D，连结CD，交线段AB于点P．若要使点P把线段AB分成1：2的两条线段，则（　　）
A．只有方法1对 B．只有方法2对
C．方法1，2都对 D．方法1，2都错
25．（2025秋 庐阳区校级期中）已知线段a，b，c，求作线段x，使，下列作法中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
26．（2026 沧州模拟）如图所示，直线l1∥l2∥l3，直线l1、l2、l3对应刻度尺上的刻度读数分别是5cm、8cm、14cm，若AC＝15cm，则BC的长为（　　）
A．5cm B．8cm C．10cm D．12cm
27．（2026 盐城三模）如图，在每个小正方形边长为1的网格中，点A、B、C、D均在格点上．
（1）仅用无刻度直尺，分别作出AB、BC、CD、DA的中点E、F、G、H，并保留作图痕迹．
（2）顺次连接点E、F、G、H，求证：四边形EFGH为平行四边形．
28．（2026 兴庆区校级三模）由边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点均在格点上，请用无刻度直尺按要求作图，保留作图痕迹．
（1）在图①中画出△ABC的外心点O．
（2）如图②，在线段AC上找一点D使得．
（3）图③中的线段AB上作点Q，使CQ最短．
29．（2024 武威二模）如图，在由边长为1的小正方形构成的6×8的网格中，△ABC的顶点A，B，C均在格点上．请按要求完成作图：①仅用无刻度直尺；②保留作图痕迹并标注相关字母．
（1）如图1，在线段AC上找一点D，使得．
（2）如图2，画出△ABC的角平分线BE．
30．（2023 南关区校级模拟）图①、图②均是7×7的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹．
（1）在图①的线段AC上画一点D，使得AD：DC＝2：3；
（2）在图②中，画△ABC的高BE；
（3）在图②中，若点P、Q分别为线段BE、AB上的动点，连接PA、PQ，当PA+PQ取最小值时，画出点P、Q的位置．
【考点4】创新及压轴题（第31-34题）
※ 方法总结
角平分线分线段成比例定理：可通过作平行线证明，并利用该定理快速求解相关线段。
综合应用：与直角三角形、勾股定理、面积、最值等结合，综合性强。
新定义与建模：如“均值不等式”与平行线分线段成比例结合求最值，需理解题意并建立数学模型。
解题策略：① 识别基本图形；② 作辅助线构造平行；③ 利用比例关系列方程；④ 结合其他知识（如勾股定理、面积公式）求解。
31．（2025秋 东港区校级月考）阅读题
请阅读以下材料，并完成相应的问题．
角平分线分线段成比例定理：如图（1），在△ABC中，AD平分∠BAC，则AB：AC＝BD：CD．
下面是这个定理的部分证明过程：如图（2），过点C作CE//DA，交BA的延长线于E，
任务：
（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；
（2）如图（3），已知Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，AD平分∠BAC，求BD的长．（请按照本题题干的定理进行解决）
32．（2025春 厦门校级月考）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，BE∥DC交AC的延长线于点E．
（1）请用无刻度的直尺和圆规在线段BE上求作点M，使得（保留作图痕迹，不写作法）．
（2）在（1）的条件下，若AE＝6，BC＝4，求四边形CDBM的周长．
33．（2025秋 金山区校级月考）在不等式领域中有一个重要结论叫“均值不等式”，表述如下：对于任意的正数a，b，都有a+b≥2，当且仅当“a＝b”时，等号成立，这个结论是解决最值问题的有力工具．例如：若x＞0时，则有x2，即x2，当且仅当“x”，即x＝1时，等号成立，从而x有最小值为2．
（1）填空：若x＞0，则x的最小值为 　 　 ，此时x＝ 　 　 ；
（2）现有一个面积为的锐角三角形ABC，按照如图所示的方式裁剪正方形DEFG，正方形面积S的最大值是多少？某学习小组对该问题做了如下探索：
设DE＝x，AC＝a，AC边上的高BH＝h，最终推导出x．
①请你补充该小组的推导过程；
②该小组发现要使得内接正方形面积S最大，也就是求x的最大值，只需使分母a+h最小即可．由S△ABC为定值，即ah＝3，可得h．请结合以上信息，求底边长a为多少时，内接正方形面积S最大，最大值为多少？
34．（2024秋 滦州市期中）如图，阳光（平行光线）通过窗户照到厂房内，竖直窗框（CD）在地面上留下2米长的影子（AB），窗框影子的一端B到窗下墙脚O的距离OB为3.6米，窗口底边C与地面的距离OC为1.2米．
（1）求窗户的高度（CD的长）；
（2）如图，随着平行光线照射角度的变化，窗框影子的一端A沿OE向右移动到A′，AA′＝0.4米，另一端B恰好移动到厂房的另一墙脚E，求BE的长．
随堂检测 · 精选练习
练习1：三条平行线截两条直线，已知部分线段，求另一条线段（直接应用定理）。
练习2：三角形中平行线截两边，利用比例关系求线段长（A字型）。
练习3：多条平行线，利用线段和差及比例关系求线段。
练习4：正方形内接三角形，利用平行线分线段成比例求正方形面积。
练习5：三条平行线，已知部分线段长度，求另一条线段（注意点的顺序）。
【练习1】（2025秋 虹口区期末）如图，直线AB∥CD∥EF，如果，BD＝6，那么BF的长是　 　 ．
【练习2】（2026春 闵行区校级月考）我们把练习本上的横线看作平行且等距的格线．如图，小明在两条横线上画出△ABC，且AB、AC与中间的另外两条横线交于D、F、E、G四点，连接CD交FG于点H．若HG＝3，则BC的长为　 　 ．
【练习3】（2025秋 浦东新区期末）如图，已知AB∥CD∥EF，它们依次交直线l1，l2于点A、D、F和点B、C、E．如果AD：DF＝3：2，BC＝21，那么CE＝　 　 ．
【练习4】（2025 徐汇区模拟）如图，△ABC中，∠C＝90°，正方形CDEF的顶点D、E、F分别在边AC、AB、BC上，如果AE＝2BE，且S△ABC＝36．那么正方形CDEF的面积为 　 　 ．
【练习5】（2025秋 嘉定区校级月考）如图，直线AD、BE、CF分别交直线AC于点A、B、C，交直线DF于点D、E、F，且AD∥BE∥CF．已知AB＝3，AC＝5，OB＝1，DF＝9，求DE、OF的长．
课后巩固 · 针对性练习
作业1：判断能推出DE∥BC的比例条件（逆定理应用）。
作业2：在反向延长线上，根据比例判断平行（逆定理）。
作业3：识别不能推出平行的比例式（逆定理的易错点）。
作业4：三条平行线截两条直线，求线段长（实际应用，人字梯）。
作业5：三条平行线，已知部分线段，求整体线段长。
作业6：三角形中有两组平行线，利用比例关系求比值。
作业7：两条直线被一组平行线所截，求比例值。
作业8：等距平行线，利用比例求线段长（古筝琴弦）。
作业9：三角形中平行线，求线段长（两种不同已知条件）。
作业10：两条直线被平行线所截，求线段比。
作业11：角平分线分线段成比例定理的证明及应用（含勾股定理）。
作业12：三角形中位线及平行线分线段成比例的综合证明与计算。
复习建议 本讲核心是“平行线分线段成比例”，重点掌握：
定理内容及对应线段的识别（避免错位）；三角形中的“A字型”与“8字型”比例关系；
作辅助线构造平行线（如过中点作平行线）；与三角形、勾股定理等知识的综合运用。
【作业1】（2025秋 浦东新区期末）如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，下列条件中一定能判定DE∥BC的是（　　）
A． B． C． D．
【作业2】（2025秋 崇明区期末）如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC的反向延长线上，已知AC＝2AE，下列条件中能判定DE∥BC的是（　　）
A． B． C． D．
【作业3】（2025秋 嘉定区期末）在△ABC中，点M、N分别是边AB、AC上的点，那么下列条件中不能推得MN∥BC的是（　　）
A． B． C． D．
【作业4】（2026 小店区校级模拟）如图是一架人字梯及其侧面示意图，已知AB∥CD∥EF，AC＝50cm，CE＝30cm，BD＝45cm，则BF的长为（　　）
A．27cm B．50cm C．72cm D．80cm
【作业5】（2026 淄博模拟）如图，两条直线被三条平行线所截，已知AB＝3，DE＝4，EF＝8，则AC的长是　 　 ．
【作业6】（2026 成都模拟）如图，点D，E，F分别在△ABC的三边上，若DE∥AC，DF∥AB，，则的值为　 　 ．
【作业7】（2026 榆树市三模）如图，直线AE，BF交于点O，AB∥CD∥EF．若OA＝1，AC＝2，CE＝4．则的值为 　 　 ．
【作业8】（2026 松原一模）古筝是中国独有的民族乐器之一，被誉为“东方钢琴”，如图所示为其部分琴弦的示意图．已知弦l1∥l2∥l3∥l4∥l5∥l6，且相邻两弦之间的距离相等，P是弦l1上一点，过点P作射线PA，交弦l6于点A，交弦l3于点E．若AP＝10，则AE＝　 　 ．
【作业9】（2026春 临淄区期中）如图，在△ABC中，D，E分别是AB和AC上的点，且DE∥BC，
（1）如果AD＝7cm，DB＝3cm，EC＝2cm，那么AE的长是多少？
（2）如果AB＝10cm，AD＝6cm，AC＝8cm，那么EC的长是多少？
【作业10】（2025秋 沛县期末）如图，直线AD、BC交于点O，AB∥EF∥CD，若BO＝2，OE＝1，EC＝2，求的值．
【作业11】（2025秋 裕华区校级期末）阅读与计算，请阅读以下材料，并完成相应的问题．
阅读：角平分线分线段成比例定理：如图1，在中，AD平分∠BAC，则．
下面是这个定理的部分证明过程．
证明：如图2．过C作CE∥DA．交BA的延长线于E．…
任务：（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分：
（2）计算：如图3，已知Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8，∠ABC＝90°，AD平分∠BAC，求△ABD的周长．
【作业12】（2025秋 二道区校级期末）【知识储备】如图①，在△ABC中，点D是AB的中点，DE∥BC，则AE与AC的数量关系为　 　 ；
【类比探究】小明同学在学习时遇到这样一个问题：
如图②，在△ABC中，点D是边BC的中点，点E是边AB上一点，且BE＝2AE，AD、CE相交于点O．求证：AO＝DO．
小明同学发现：如图③，可以过点D作DF∥CE，交边AB于点F，从而可以得到△AFD∽△AEO，再利用线段间的数量关系推出结论．下面是小明同学的部分证明过程：
证明：如图③，过点D作DF∥CE，交AB于点F．
∵DF∥CE，点D是边BC的中点，
∴点F是BE的中点，
∴BE＝2EF．
请你补全余下的证明过程．
【拓展迁移】如图④，在△ABC中，点D是边BC的中点，点E是边BA延长线上一点，且BE＝3AE，射线DA与射线CE相交于点O，则线段AO和线段DO的数量关系是　 　 ．
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