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第5章《特殊平行四边形》单元自测卷
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。）
1．菱形的边的长度为，则周长为（　　）
A．6cm B． C． D．
2．在矩形中，对角线、相交于点，，则等于（ ）
A．3 B．4 C．6 D．12
3．如图，四边形是菱形，已知，则菱形的周长为（ ）
A．12 B．9 C．6 D．3
4．已知一个四边形的对角线互相垂直，那么顺次连接这个四边形的四边中点所得的四边形是（　　）
A．矩形 B．菱形 C．等腰梯形 D．正方形
5．将一张正方形纸片，按如图步骤①，②，沿虚线对折两次，然后沿③中的虚线剪去一个角，展开铺平后的图形是（ ）
A． B． C． D．
6．中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴，小陶家有一个菱形中国结装饰．测得．则该菱形的面积为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，菱形的周长为16， ，对角线与交于点O， E为的中点，则的长为（ ）
A．1 B．2 C． D．4
8．如图，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于，两点，连接，，，，，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．垂直平分 B．
C．是等边三角形 D．
9．如图，七巧板是由宋代的宴几图演变而来的，小明用边长为的正方形纸板制作了一幅七巧板（图①），然后拼成“飞机”（图②），则“飞机尾翼”（阴影部分）的面积是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在矩形中，，，点E为的中点，将沿折叠，使点B落在矩形内点F处，连接，则的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．）
11．如图，在中，若，则四边形是________．
12．如图，将长方形沿折叠，使点D落在边上的点F，若，则__________°．

13．如图，正方形的面积为，点，，，分别为边，，，的中点，则四边形的面积为______．
14．如图，在矩形中，连接，以为圆心，为半径画弧交射线于点，连接，若，，则的长为______．
15．如图，菱形中，对角线相交于点O，H为边中点，菱形的周长为24，则的长等于_____．
16．如图，有一块边长为4的正方形（四条边相等，四个角是直角）塑料模板，将一块足够大的直角三角板的直角顶点落在点，两条直角边分别与交于点，与的延长线交于点，则四边形的面积是___________．
三、解答题（本题共8小题，共72分．）
17．（8分）如图，菱形花坛的边长为，沿着菱形的对角线修建了两条小路和．求：
(1)两条小路的长度；
(2)菱形花坛的面积．
18．（8分）已知，如图所示，折叠长方形的一边，使点落在边的点处，已知，求：
(1)求的坐标；
(2)求的坐标．
19．（8分）如图，在与中，，，，相交于点．过点作交的延长线于点，过点作交的延长线于点，，相交于点．
(1)求证：；
(2)满足什么条件时，四边形是正方形？请说明理由．
20．（8分）如图，在菱形中，对角线相交于点O，过点C作，过点D作，与相交于点E．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)连接，若，求的长．
21．（10分）如图，已知，延长至点，使，连接，，，且；
(1)求证：四边形是矩形；
(2)连接，若，，求的长．
22．（10分）已知中，平分，交于E，交于F．
(1)试判断四边形的形状，并说明理由．
(2)当满足什么条件时，四边形是正方形？
23．（10分）如图，正方形的边长为4，点为对角线的中点，点为边上的动点，点在边上，连接，，．
(1)求证：．
(2)当点在边上运动时，四边形的面积是否会发生变化？若不变，请求出其面积；若改变，请说明理由．
24．（10分）如图，将一张矩形纸片的边斜着向边对折，使点落在边上，记为，折痕为，再将边斜向上对折，使点落在上，记为，折痕为，
(1)求证：；
(2)根据以下描述：分别延长和交于点，过点作的平行线，分别交和的延长线于点和，请补全图形，并求的值．
参考答案
一、选择题
1．C
解：∵菱形的边的长度为，且菱形的四边相等，
∴周长，
故选：C．
2．A
解：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
故选：A．
3．A
解：∵四边形是菱形，
∴，
∴菱形的周长为，
故选：A．
4．A
解：如图，
四边形中，E、F、G、H分别是、、、的中点，
则，；，，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴，，
∴边形是矩形．
故选A．
5．B
解：根据图③的剪法，展开后所得图形为，
故选：B．
6．A
四边形是菱形，
，
，
，
故选：A．
7．B
解：∵菱形的周长为16，
∴，
∵对角线与交于点O，
∴为线段的中点，
∵E为的中点，
∴是的中位线，即．
8．C
解：由题中作图方法可得，
四边形是菱形，是等腰三角形，不能得是等边三角形，
垂直平分、平分、，
，，故A、B、D均正确；C错误．
9．A
解：依题意，“飞机尾翼”（阴影部分）为等腰直角三角形，腰长为正方形边长的，
∵边长为的正方形纸板，
∴“飞机尾翼”（阴影部分）的面积为，
故选：A．
10．D
解：连接交于点，
∵四边形是矩形
∴
∵，点E为的中点，
∴，
∵，
∴，
∵将沿折叠，使点B落在矩形内点F处，
∴，
即，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
∵
∴，
∴，
故选：D．
二、填空题
11．菱形
解：∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴根据邻边相等的平行四边形是菱形，
∴四边形是菱形，
故答案为：菱形 ．
12．70
解：由题意得：
∵
故答案为：70
13．
解：正方形的面积为4，
，，
点，，，分别为边，，，的中点，
，
，
同理可得，
四边形的面积为．
14．
解：由题意可知，，
四边形是矩形，
，，，
，
，
，
．
15．3
解：∵菱形的周长等于24，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∵H为边中点，
∴在中，为斜边上的中线，
∴．
故答案为：3．
16．16
解：∵正方形，
∴，，
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：16．
三、解答题
17．（1）解：如图所示，设与交于点O，
∵四边形是菱形，且边长为，，
∴，，
∴，则，
∴，则；
（2）解：由（1）得．
18．（1）解：由折叠可知：，
，
，，
在中，由勾股定理得，
点坐标为；
（2） ，，
由折叠可知：，
设，则，
在中，由勾股定理得：，解得：，
点坐标为．
19．（1）证明：在和中，
；
（2）解：，理由如下：
证明：，
四边形是平行四边形
平行四边形是菱形
，
又
菱形是正方形．
20．（1）证明：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴四边形是矩形；
（2）解：依题意，连接，如图所示：
∵四边形为菱形，
∴，
由（1）得四边形是矩形，
∴．
21．（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形；
（2）解：如图，连接，
由（）知，，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴．
22．（1）解：四边形是菱形．理由如下：
，，
四边形是平行四边形，，
平分，
，
，
，
四边形是菱形．
（2）时，四边形是正方形．
，四边形是菱形，
四边形是正方形．
23．（1）解：过点O作于点M，于点N，如图所示：
∴，
∵四边形是正方形，且边长为4，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴矩形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：当点E在边上运动时，四边形的面积不会发生变化，始终等于4，理由如下：
连接，如图所示：
∵四边形是正方形，点为对角线的中点，
∴，，
∴是等腰直角三角形
∵
∴
则
由（1）得
∴
由（1）得，矩形是正方形，
则．
24．（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，
由折叠的性质得：，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图，
由折叠的性质得：，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．

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