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第5章《特殊平行四边形》单元综合测试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．边长为的菱形的周长是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，矩形的顶点，B的坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．下列说法中，错误的是（ ）
A．矩形的对角线相等 B．正方形的对角线互相垂直平分
C．对角线互相垂直的四边形是菱形 D．对角线互相平分的四边形是平行四边形
4．已知正方形的对角线长为，则该正方形的面积为（ ）
A． B． C． D．
5．要使变为矩形，可以添加的条件是（ ）
A． B． C． D．
6．矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ）
A．对角线相等 B．对角线互相平分
C．对角线互相垂直 D．对角线平分对角
7．如图，在菱形中，对角线，相交于点，点为边的中点，菱形的周长为40，则的长为（ ）
A．4 B．5 C．8 D．20
8．如图，正方形内的图形来自中国古代的太极图，圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，设黑色部分面积为，正方形边长为，则为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在 ABC中，点D，E，F分别在边上，且，，下列四种说法：
①四边形是平行四边形：
②如果，那么四边形是矩形；
③如果平分，那么四边形是菱形；
④如果，且，那么四边形是正方形．其中，正确的有（ ）
A．①② B．①②④ C．①②③ D．①②③④
10．如图，菱形的边，高，是边上一动点，将四边形沿直线折叠，点的对应点为，当的长度最小时，的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．如图是男生宿舍的一个可伸缩衣架，这个衣架可以看作是由三个菱形组成，我们将其中一个记为菱形，小宇测得这个菱形的对角线，，则这个菱形的面积为 ．
12．如图，正方形的边长为，点分别为边的中点，则四边形的面积为 ．
13．如图，将长方形纸片，沿折痕折叠，分别落在对应位置处，交于点E，若，则为 ．
14．如图，在矩形ABCD中，，．若以BC的中点为坐标原点，BC边所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，则点D的坐标为 ．
15．6月2日6时23分，嫦娥六号着陆器和上升器组合体在鹊桥二号中继星的支持下，成功着陆在月球背面南极-艾特肯盆地预选着陆区．组合体元件中有个展板的平面图如图所示，在正方形中，，分别是，上的点，，相交于点．是的中点，若，，则的长为 ．
16．如图，四边形为正方形，点E为对角线上一点，连接，过点E作 交边于点 F，以为邻边作矩形，连接．若，则 ．
三、解答题（共8小题，共72分）
17．（8分）今年我县提倡六城建设，某社区有一个正方形空地，准备把此正方形空地分成面积相等的四部分，分别种植四种不同的花草，请你运用所学的知识，设计三种不同的方案．（画出即可）

18．（8分）如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中，有线段AB和线段CD，点A，B，C，D均在小正方形的顶点上．
(1)在方格纸中画以AB为一边的菱形ABEF，点E，F在小正方形的顶点上，且菱形ABEF的面积为3；
(2)在方格纸中画以CD为一边的等腰，点G在小正方形的顶点上，连接EG，使，并直接写出线段EG的长．
19．（8分）如图，在 ABC中，，为边上中线，点E为的中点，点F在的延长线上，且，连接、．
(1)依题意补全图形；
(2)求证四边形是菱形．
20．（8分）如图，在中，，为边的中点，以，为邻边作，连接，，求证：四边形是矩形．
21．（8分）如图，四边形是正方形，，是对角线上一点，过点作于点于点，若，求的长．
22．（10分）如图，做如下操作：对折矩形，使与重合，得到折痕，把纸片展平；再一次折叠纸片，使点落在上的点处，得到折痕与交于点，若直线交直线于点．
(1)猜想的度数，并说明理由；
(2)若，，求线段的长．
23．（10分）如图，在长方形中，，，∠B=90 ，，，点在边上，且不与点、重合，直线与的延长线交于点．
(1)当点是的中点时，求证：；
(2)将沿直线折叠得到，点落在长方形的内部，延长交直线于点．
①证明，并求出在（1）条件下求的值；
②连接，直接写出周长的最小值．
24．（12分）如图，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．（如图1）

(1)概念理解：在平行四边形，矩形，菱形，正方形中，一定是垂美四边形的是 ；
(2)性质证明：如图1，四边形是垂美四边形，请写出其两组对边，与，之间的数量关系 ；并给出证明．
(3)问题解决：如图2，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，，，已知，，求的长．
参考答案
一、选择题
1．D
解：∵菱形的四边相等，且边长为，
∴周长
故选：D．
2．A
解：矩形的顶点，
，，轴，
B的坐标为．
故选：A．
3．C
解：A、矩形的对角线相等，原说法正确，不符合题意；
B、正方形的对角线互相垂直平分，原说法正确，不符合题意；
C、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，原说法错误，符合题意；
D、对角线互相平分的四边形是平行四边形，原说法正确，不符合题意；
故选：C．
4．B
解：∵四边形为正方形，
∴，
∴正方形的面积，
故选：B．
5．D
解：选项A和B是平行四边形固有性质，不能保证为矩形，不符合题意；
选项C中，表示邻边相等，可证四边形为菱形，但不一定是矩形，不符合题意；
选项D中，对角线相等，可证平行四边形为矩形，符合题意；
故选D．
6．B
解：矩形、菱形、正方形的对角线相互平分，
故选：B．
7．B
解：∵四边形是菱形，且其周长为40，
∴，，
∴，
∵点为边的中点，
∴．
故选：B．
8．B
解：正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，
白色部分的面积等于黑色部分的面积，
，
设半径为，
正方形边长为，
，
，
，
，
故选：．
9．C
解：∵，，
四边形是平行四边形，故选项①正确；
∵，
平行四边形为矩形，故选项②正确；
又平分，
，
又，
，
，
，
平行四边形为菱形，故选项③正确；
又，，
平分，
同理可得平行四边形为菱形，但不一定为直角，
故菱形不一定为正方形；故选项④错误；
则其中正确的是①②③ ．
故选：C．
10．D
解：如图1，
∵菱形的边，
∴，，
∵高，即，
∴，
∴，，
∴，
∵将四边形沿直线折叠，点的对应点为，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴当点落在上时，取得最小值，最小值为，
如图2，
点在上，则，
∴，
∴．
故选：D．
二、填空题
11．
解：∵菱形的对角线，，
∴这个菱形的面积为
故答案为：
12．
解：∵四边形是正方形，
∴，
∵点分别为边的中点，
∴，
∴四边形的面积为
，
故答案为：．
13．
解：如图，作，
∵，
∴，
由折叠得，，
∴，
∴．
故答案为：．
14．
解：以的中点为坐标原点，边所在直线为轴：
∵，为中点，
∴，
∴点坐标为，点坐标为，
∵矩形中，，且平行于轴，
∴点由点向右平移个单位得到，坐标为．
故答案为：．
15．
解：∵，，四边形是正方形，
∴，，
∴在和 CBF中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∵是的中点，
∴，
故答案为：．
16．
解：∵四边形是正方形，是正方形的对角线，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
如图所示，过点作于点，于点，
∴，
∴四边形是矩形，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴矩形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴矩形是正方形，
∴，
在中，
，
∴，
∴，
故答案为： ．
三、解答题
17．解：如图①，连接该正方形的两条对角线，则正方形被分为4个全等的等腰直角三角形；
如图②，连接该正方形对边中点，则正方形被分为4个全等小正方形；
如图③，连接该正方形一组对边的4等分点，则正方形被分为4个全等矩形．

18．（1）解：如图所示：
（2）解：如图所示：
．
19．（1）解：如图：
（2）证明：∵为边上中线，
∴，
，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴为菱形．
20．证明：，为边的中点，
，，
，
四边形是平行四边形，
，，
，，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是矩形．
21．解：如图，延长，交于点．
四边形是正方形，
．
∵PF BC,PE CD,
，
，
四边形是矩形，
，
，
四边形是矩形，
．
∵DE=1,BF=2，
，
．
22．（1）解：，理由如下：
连接，由对折矩形可知：
，
，
由第二次折叠可知：，
，
为等边三角形，
，
；
（2）解：在中，，
，
∵矩形，
∴，，，
∵沿着对折，
，
∴四边形是平行四边形，
，
，，
，
，
，
在中，，设，
，
，
解得（舍去负值），
即，故．
23．（1）证明：四边形是矩形，
，
，，
点是的中点，
，
；
（2）解：①四边形是矩形，
，
，
由折叠得，
，
，
矩形中，，，
，
点是的中点，
，
由折叠得，，，
设，则，
，
在中，，
，
解得，
即；
②由折叠得，，
的周长，
连接，，
，
当点恰好位于对角线上时，最小，
在中，，，
，
的最小值，
周长的最小值．
24．（1）解：∵在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，两条对角线互相垂直的四边形是菱形、正方形，
∴菱形和正方形一定是垂美四边形，
故答案为：菱形、正方形；
（2）解：，理由如下，
如图所示，设与交于点O，

四边形是垂美四边形，
，
，
由勾股定理，得：，，，，
∴，，
；
（3）解：如图，连接，．

，
，
即．
又∵，，
，
，
又，
．
又，
，
，
四边形是垂美四边形．
由（2）可知，
∵，，
由勾股定理，得，，，
，
．

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