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第五章《 特殊平行四边形》单元自测卷
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。）
1．矩形具有而菱形不一定具有的性质是（ ）
A．对边相等 B．对角线互相平分
C．对角线相等 D．对角线互相垂直
2．如图，、是菱形的对角线，．若，则的长是（ ）
A．3 B．6 C．8 D．10
3．如图，在菱形中，，过点作于点，交于点，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．下列命题不正确的是（ ）
A．对角线互相平分的四边形是平行四边形
B．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
C．对角线相等的四边形是矩形
D．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形
5．如图，在菱形中，对角线与交于点，垂足为，若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
6．中国结寓意团圆美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴．主体部分是一个菱形，如图所示，若菱形的边长为，对角线的长为，则另一条对角线的长为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在正方形中，点E是对角线上一点，连接、，的延长线交于点F．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，正方形的边长是2，是边上一点，连接，平分交于点，连接．若，则的长度是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在边长为8的正方形中，E，F分别是边、的中点：连接，，G，H分别是、的中点，连接，则的长度为（ ）
A．4 B． C． D．
10．图1是有一个内角为的平行四边形透明纸片，它的邻边的长分别为，，沿对边中点所连的虚线将其剪成四个四边形，按图2的方式叠放在同一平面内．给出下面四个结论，所有正确结论的序号是（ ）
①是等边三角形；
②四边形为菱形；
③六边形的周长是；
④存在，，使四边形的面积与的面积之比为．
A．①② B．②④ C．①③ D．①②④
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．）
11．如图，在平面直角坐标系中，，，菱形的边在轴上，则点的坐标是_____．
12．如图，四边形是正方形，以为边在正方形内部作等边，连接，则______．
13．如图，菱形的对角线，相交于点，过点作于点，连接．若，菱形的面积为，则的长为__________．
14．如图，在矩形中，，，点M是边的中点，点N是边上任意一点，将线段绕点M顺时针旋转，点N旋转到点，则周长的最小值为___________．
15．阅读下面的折纸过程：
第一步，在一张矩形纸片的一端，利用图1的方法折出一个正方形．然后把纸片展平．
第二步，如图2，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平．
第三步，折出矩形的对角线，并把折到图3中所示的处．
第四步，展平纸片如图4，按照所得的点折出，矩形就是黄金矩形．
请写出黄金矩形的边长之比，即_______________．
16．如图，在矩形中，，，点是边上一点，连接，将沿折叠，使点落在点处．当为直角三角形时，______．
三﹑解答题（本题共8小题，共72分．）
17．（8分）如图，矩形中，点在上，，且，垂足为．证明：．
18．（8分）如图，在菱形中，过点分别作于点，于点，连接．
求证：．
19．（8分）如图，嘉淇同学用一张矩形纸片进行折纸，已知该纸片宽为，为．当嘉淇折叠时，顶点D落在边上的点F处（折痕为）．
(1) ， ；
(2)求的长．
20．（8分）如图，在中，，．
(1)请用尺规作图的方法作一个菱形，使点D在线段上；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）的条件下，若，，求菱形的面积．
21．（10分）结合图形，解决以下问题：
(1)在数学活动课上，王老师为每位学生提供了几张长方形纸片和平行四边形纸片，王老师问了小明一个问题：如图1，已知矩形的对角线的垂直平分线与边分别交于点．求证：四边形是菱形．请你帮小明写出证明过程．
【类比应用】
(2)如图2，王老师要求小明将矩形沿直线翻折，使点的对称点与点重合，点的对称点为，直线分别交矩形的边于点，若，求折痕的长．
22．（10分）如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫作垂美四边形．
(1)概念理解：下列四边形中：①正方形，②矩形，③菱形，④平行四边形，是垂美四边形的是___________（填写序号）；
(2)性质探究：如图1，垂美四边形中，，垂足为，试猜想：与的数量关系，并说明理由；
(3)问题解决：如图2，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，且与相交于点，已知，求的长．
23．（10分）如图1，在正方形中，，为对角线的交点，是边上一动点（不与，重合）．
(1)当时，的长是__________；
(2)探究与存在怎样的数量关系，并说明理由；
(3)如图2，，是边上两点，，，求的长．
24．（10分）综合与探究
问题情境：如图1，在矩形中，，，点E和点P分别在边和上，将矩形沿直线折叠．
(1)若顶点C恰好落在顶点A处，求的长．
特例探究：
(2)如图2，若点C恰好落在边的中点处，连接，设与交于点F，求的长．
拓展延伸：
(3)如图3，F为的中点，点C恰好落在（含端点）上的点处，当为直角三角形时，请直接写出的长．
参考答案
一、选择题
1．C
解：矩形和菱形都是特殊的平行四边形，平行四边形对边相等，对角线互相平分，
选项对边相等、选项对角线互相平分是矩形和菱形都具有的性质，不符合题意；
矩形的对角线相等，菱形的对角线不一定相等，仅特殊菱形即正方形对角线相等，
选项对角线相等是矩形具有而菱形不一定具有的性质，符合题意；
菱形的对角线互相垂直，矩形的对角线不一定互相垂直，
选项对角线互相垂直是菱形具有而矩形不一定具有的性质，不符合题意．
2．B
解：四边形是菱形
，
，
是等边三角形
．
3．A
解：∵菱形，，
∴，
∵于点，
∴，
∴．
4．C
解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，是平行四边形的判定定理，命题正确，不符合题意；
B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，是菱形的判定定理，命题正确，不符合题意；
C、对角线相等的四边形不一定是矩形，例如等腰梯形对角线相等，但不是矩形；只有对角线相等且互相平分的四边形才是矩形，因此该命题错误，符合题意；
D、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，是正方形的判定定理，命题正确，不符合题意．
5．A
解：∵四边形为菱形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
6．C
解：∵四边形是菱形，且边长为，对角线的长为，
∴，
∴，
∴．
7．B
解：∵四边形是正方形，
∴，，．
∵在和中，
，
∴（）．
∴．
设，则．
∵，
∴．
∵在中，，
∴．
∵，
∴．
∵在中，，
∴．
∴，
∴，即．
8．A
解：∵正方形的边长是2，
∴，，
设，则，
作交于G，
∵平分交于点，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
解得：，
∴．
9．C
解：如图所示，连接并延长交于点，连接，
四边形是正方形，
，，，
，分别是边，的中点，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
点是的中点，，
．
10．D
解：由题意得，，
∴是等边三角形，故①符合题意；
∴，
根据题意得，
∴，即，
同理可证明，
∴四边形为菱形，故②符合题意；
由题意得，，，
则六边形的周长为，故③不符合题意；
如图所示，分别过点A和点T作的垂线，垂足分别为P，Q，
，
，
∵在等边三角形中，，
∴，
∴，
根据勾股定理得，
，
∵四边形的面积与的面积之比为，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴当时，满足四边形的面积与的面积之比为，故④符合题意；
综上所述，①②④符合题意．
二、填空题
11．
解：，，
，，
在中，由勾股定理得：，
四边形是菱形，
，
边在轴上，且由图可知点在点的上方，
点的纵坐标为，
点的坐标为．
12．75
解：四边形是正方形，
，，
是等边三角形，
，，
，，
，
，
，
解得．
13．
解：菱形的对角线，相交于点，
，，
，
，
菱形的面积为，
，
解得，
，
，
．
14．/
解：∵，点M是边的中点，
∴，
如图，过点作，交、于、，过点作于点，
四边形为矩形，
，
，
∴，
∴，
四边形和都是矩形，
∴，
由旋转的性质得，
，
，
，
点在平行于，且与的距离为的直线上运动，
作点关于直线的对称点，连接交直线于点，
此时周长取得最小值，最小值为，
，
．
15．
解：设正方形的边长为，则
由第二步折叠可知，为的中点
在中，由勾股定理得
由第三步折叠可知，
．
16．3或6
解：∵在矩形中，，，
∴，
由折叠的性质得：，，．
①如图1，当时，为直角三角形，
∴，
∴点三点共线，
∵在中，，
∴，
设，则，
在中，，即，
解得，
即；
②如图2，当时，为直角三角形，
∴，
∴四边形是矩形，
又∵，
∴矩形是正方形，
∴；
③如图3，当时，为直角三角形，
∵，
∴在中，斜边，不符合题意，舍去；
综上，或．
三、解答题
17．证明：在矩形中，，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
．
18．证明：∵四边形是菱形，
∴．
∵，
∴，
∵在与中
∴，
∴，
∴．
19．（1）解：∵四边形是长方形，，，是 折叠得到，
∴．，
∴在中，，
∴．
（2）解：设，
∴，．
在中，，
∴，
解得：，
∴．
20．（1）解：四边形为所求作的四边形；
（2）解：∵四边形为菱形，
∴，
设，
∵，，，
∴在中，，
∴，
∴在中，，
即，解得，
∴，
∴．
21．（1）证明：四边形是矩形，
，
，
垂直平分，
，
，
，
又，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是菱形；
（2）解：如图2，连接，，
将矩形沿直线翻折，使点的对称点与点重合，
垂直平分，
由（1）得：四边形是菱形，
，
，
，
设，则，
由勾股定理得：，
解得，
，
，
，
；
22．（1）解：正方形的对角线互相垂直平分且相等；
矩形的对角线互相平分且相等；
菱形对角线互相垂直平分；
平行四边形的对角线互相平分；
因此是垂美四边形的是①③；
（2）解：；理由如下：
∵，
∴，
∴，，，，
∴，，
∴；
（3）解：连接，，如图所示：设交点为，
∵在中，，，
∴，
∵四边形和为正方形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
根据解析（2）的结论可知，，
∵，，
∴，
∴．
23．（1）解：取正方形边的中点F，连接，
∵是正方形，
∴，，
∵O为与的中点，为的中点，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，
．
（2）解：；理由如下：
同（1）取正方形边的中点F，连接，
则，，，
设，则，
在中，，
∵，
∴．
（3）解：如图，将绕点O顺时针旋转得到，连接，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
设，则，，
在中，，
∴，
解得，
∴，．
由（2）知，
∴，
∴．
24．（1）解：∵在矩形中，，，
∴，，
根据折叠的性质得，，
设，则，
在中，，
∴，
解得，
即；
（2）解：∵点是的中点，
∴，
在中，，
根据折叠的性质得，，
∴，，
设，则，
在中，，
∴，
解得，
在中，；
（3）解：∵矩形中，，，F为的中点，
∴，，，
∴，
∴，
根据折叠的性质得，，
设，则，
∵中，
∴当为直角三角形时，或，
当时，，则，，即可得到，解得；
当时，，则，即可得到，解得；
综上所述，当为直角三角形时，或．

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