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第五章《 特殊平行四边形》章节综合检测卷
一、选择题（10小题，每小题3分，共30分）
1．如图，四边形是平行四边形，下列说法不正确的是（ ）
A．当时，四边形是矩形
B．当时，四边形是菱形
C．当时，四边形是菱形
D．当时，四边形是正方形
2．如图，在直角坐标系中，矩形的对角线轴，若，，与的交点为E，则C的坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，矩形中，，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于长为半径画弧交于点P，作射线，过点C作的垂线分别交于点M，N，则的长为（ ）
A． B．1 C． D．
4．数学兴趣小组的同学用木棒做了4个相框，下面是他们的测量结果，则不一定是矩形相框的是（ ）
A．B． C． D．
5．如图，在正方形中，点G为边上一点，以为边向右作正方形，连接，交于点P，连接，过点F作交于点H，连接，交于点K，下列结论中错误的是（ ）
A． B．是等腰直角三角形
C．点P为中点 D．
6．如图，在正方形中，点E从点B出发，沿边方向向终点C运动，交于点F，以，为邻边构造平行四边形，连接，则的度数的变化情况是（　　）

A．一直减小 B．一直减小后增大
C．一直不变 D．先增大后减小
7．如图，在正方形纸片中，对角线相交于点O，折叠正方形纸片，使落在上，点恰好与上的点重合，展开后，折痕分别交、于点、，连接，下列结论：①；②；③；④四边形是菱形；⑤，其中结论正确的是（ ）
A．①④ B．②③④ C．①④⑤ D．①②④⑤
8．如图，点分别是四边形边的中点．则下列说法：
①若，则四边形为矩形；
②若，则四边形为菱形；
③若四边形是平行四边形，则与互相平分；
④若四边形是正方形，则与互相垂直且相等．
其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．两张全等的矩形纸片，按如图所示的方式交叉叠放在一起，，．若，，则图中阴影部分的面积（ ）
A．5 B． C． D．
10．如图，是菱形的对角线，作的垂直平分线分别交、于点E、F，连接、，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（8小题，每小题3分，共24分）
11．如图，在矩形中，以点为圆心，长为半径作弧交对角线于点，分别以点，为圆心，长为半径作弧，两弧交于点、连接交于点，连接，，则的值为___________．
12．如图，菱形的对角线、相交于点，过点作且，连接交于点，连接、．已知，，则菱形的面积______；______．
13．在矩形ABCD中，AB=8，BC=6，点E为AB上一动点，DE交AC于F，当∠CFE＝2∠ACB时，线段DF的长为____．
14．在矩形中，，．将边绕点A逆时针旋转，得到线段，过点E作的垂线交直线于点F．当F，E，D三点共线时，的长为______．
15．如图，在中，，点是上一点，交延长线于点，连接．若图中两阴影三角形的面积之差为32（即，），则___________．

16．如图：现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知甲、乙两个正方形边长之和为8，点H为的中点，连接．将乙纸片放到甲的内部得到图2，图2的阴影部分面积为6，则图1的阴影部分面积为__________．
17．如图，大正方形与小正方形的面积之差是8，则阴影部分的面积是_______．
18．如图，在菱形中，对角线，相交于点O，且是边长为的等边三角形．点E，F同时从点O出发在线段上以的速度反向运动（点E，F分别到达A，C两点时停止运动），连接，，，．当运动时间为______s时，四边形为正方形．
三、解答题（10小题，共66分）
19．实践探究：
（1）如图①，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，要得到一个正方形．剪口与折痕应成___________度的角．
知识应用：
（2）小明按照以上方法剪出两个边长为1的全等正方形，把正方形绕正方形的中心点转动的过程中，如图②所示摆放，求证．
拓展延伸
（3）小明把2024个边长为1的全等正方形重叠在一起，如图③……分别是正方形的中心，请直接写出正方形重叠阴影部分的面积．
20．如图①，将四边形纸片沿两组对边中点连线剪切为四部分，将这四部分镶嵌可得到如图②所示的四边形．

(1)试判断四边形的形状，并证明．
(2)若要镶嵌后的平行四边形为矩形，则四边形需要满足什么条件，并证明．
21．如图矩形中，为平面直角坐标系的原点，、两点的坐标分别为、．
(1)直接写出点坐标；
(2)若过点的直线交边于点，且把矩形的周长分为1：3两部分，求直线的表达式．
22．如图，在四边形纸片中，，点E，F分别在边，上，将，分别沿，折叠，点B，D恰好都和点G重合，．
(1)求证：四边形是正方形；
(2)若正方形边长为3，，求的长度．
23．如图，在中，是对角线的交点，过点作对角线的垂线分别交于点，点在上，且，求证：四边形是菱形．
24．如图，将的边延长至点，使，连接,若 ．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，，求的面积．
25．如图①，在菱形中，点O为对角线的中点，将对角线绕点O逆时针旋转到，且旋转角α满足，构造出四边形，连结．
(1)四边形是哪种特殊的四边形？请写出你的猜想，并证明．
(2)若，设的面积为，的面积为，当时，求的值．
(3)如图②，若四边形是正方形，当经过中点时，探究三条边存在的等量关系．请给出结论，并说明理由．
26．如图，在矩形中，E，F分别为边，上的点，，，相交于点G，过点C作，交的延长线于点H，且．
(1)求证：四边形是正方形．
(2)已知，．
①连接，求的长．
②请直接写出与之间的距离．
27．已知平行四边形中，对角线、相交于点，．
(1)如图1，若，，求的长；
(2)如图2，，点、在线段上，为等腰直角三角形且，连接，求证：．
(3)如图3，若，，点是线段上的一个动点，连接，以线段为边在下方构造等边三角形，连接，当的值最小时，请直接写出的面积．
28．定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．
(1)根据定义判矩形
已知：如图1，在平行四边形中，是它的两条对角线，．求证：平行四边形是矩形．
(2)动手操作有发现
如图2，在矩形中，是的中点，将沿折叠后得到，点在矩形内部，延长交于点．猜想线段与有何数量关系 并证明你的结论．
(3)类比探究到一般
如图3，将(2)中的矩形改为平行四边形，其它条件不变，(2)中的结论是否仍然成立，请说明理由．
(4)解决问题巧应用
如图4，保持(2)中的条件不变，若点是的中点，且，请直接写出矩形的面积．
参考答案
一、选择题
1．D
解：A、，
根据对角线相等的平行四边形是矩形可得，四边形是矩形，故说法正确，不符合题意；
B、，
根据一组邻边相等的平行四边形是菱形可得，四边形是菱形，故说法正确，不符合题意；
C、∵，
根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可得，四边形是菱形，故说法正确，不符合题意；
D、，
根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可得，四边形是矩形，不一定是正方形，故说法错误，符合题意．
2．A
解：由轴，，，
不妨设，，
由矩形，
故点E是与的中点，且，
故，或，
同一点的坐标是相同的，
故，
故，
故
故，
解得，
故，
故选：A．
3．B
解：∵四边形是矩形，
∴，
∴；
由作图方法可知，平分，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
4．B
解：A、有三个角是直角的四边形是矩形，故不符合题意；
B、有两个角是直角的四边形不一定是矩形，故符合题意；
C、由两组对边相等得到该四边形是平行四边形，再由有一个角是直角的平行四边形是矩形，故不符合题意；
D、先由对角线互相平分得到该四边形是平行四边形，再由对角线相等得到该四边形是矩形，故不符合题意．
5．D
解：A．∵四边形CEFG是正方形，
∴GF∥CE，GF=CE，
∵BG∥HF，
∴四边形BHFG为平行四边形，
∴GF=BH，
∴BH=CE，
∴BC=HE，
∵四边形ABCD为正方形，
∴BC=CD．
∴HE=CD，故A正确；
B．∵ABCD是正方形，CEFG是正方形，
∴AB=BC，CE=EF，∠ABH=∠HEF=90°，
∵BC=HE，BH=CE，
∴AB=HE，BH=EF，
∴△ABH≌△HEF（SAS），
∴AH=HF，∠BAH=∠EHF，
∵∠BAH+∠AHB=90°，
∴∠EHF+∠AHB=90°，
∴∠AHF=90°，
∴△AHF为等腰直角三角形，故B正确；
C．过H作HM⊥BC，HM与BD交于点M，连接MF，则MH∥EF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，∠HBD=∠ABC，
∴∠HBM=45°，
∴BH=MH，
∵△ABH≌△HEF，
∴BH=EF，
∴MH=EF，
∴四边形EFMH为矩形，
∴MF∥BE∥AD，MF=HE，
∴∠DAP=∠MFP，∠ADP=∠FMP，
∵AD=BC=HE，
∴AD=MF，
∴△PAD≌△PFM（ASA），
∴AP=FP，故C正确；
D．将△ADP绕点A顺时针旋转90，得△ABQ，连接QK，则AQ=AP，∠QAP=90°，
∵△AHF是等腰直角三角形，
∴∠HAF=45°，
∴∠QAK=∠PAK=45°，
∵AK=AK，
∴△AQK≌△APK（SAS），
∴QK=PK，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABD=∠ADB=45°，
由旋转性质知，∠ABQ=∠ADP=45°，BQ=DP，
∴∠QBK=90°，
∴BK2+BQ2=QK2，
∴BK2+DP2=KP2，故D错误；
故选：D．
6．C
解：作交的延长线于H，

∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是的角平分线，
∴点P的运动轨迹是的角平分线，
∵，
∴，
而，
∴一直不变，
故选：C．
7．C
解：四边形是正方形，
∴∠GAD=∠ADO=45 ，
由折叠的性质可得：∠ADG=∠ADO=22.5
故，故①正确．
由折叠的性质可得：，，
∴AE=EF∴AE，
，故②错误．
∵∠AOB=90 ，
∴AG=FG>OG，与同高，
，故③错误．
∵∠EFD=∠AOF=90 ，
，
∵∠FEG=∠AGE，
∴∠AGE=∠FGE，
∵∠FEG=∠FGE，
，
，
，
∵AE=EF=GF，，
∵AE=EF=GF=AG，
四边形是菱形，
故四边形是菱形，故④正确．
四边形是菱形，
∴∠OGF=∠OAB=45 ，
，
，
，
同理可得．故⑤正确．
综上，正确的结论有①④⑤．
8．A
解：∵点分别是四边形边的中点，
∴，，，，
∴四边形是平行四边形，
①若，则，
∴四边形为菱形，即①错误；
②若，则，即，
∴四边形为矩形，即②错误；
③与是否互相平分均能得到四边形是平行四边形，即③错误；
④若四边形是正方形，则，，
∴，，即与互相垂直且相等，故④正确，
故正确的个数是1个．
故选：A．
9．D
解：如图：设相交于点G，相交于点H，
∵两张全等的矩形纸片，按如图方式交叉叠放在一起，
∴，
∴四边形是平行四边形，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴平行四边形是菱形，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得：，解得：
∴，
∴图中阴影部分的面积．
故选：D．
10．C
解：∵四边形为菱形，
∴，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∴．
二、填空题
11．2
解：如图，连接，，由作图痕迹可知，
四边形是菱形，
，
四边形是矩形，
四边形是平行四边形，
点是的中点，
．
12．
解：∵四边形是菱形，
∴，，．
∵，，
∴，，
在中，，
∴，则，
∴菱形的面积为；
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，．
在中，，
∴．
13．5
解：如图，连接BD交AC于点O，
在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，
∴AC＝BD＝10，
∴OA＝OB＝OC＝OD＝5，
∴∠ACB＝∠OBC，
∴∠AOB＝∠ACB+∠OBC＝2∠ACB，
∵∠CFE＝2∠ACB，
∴∠AOB＝∠CFE，
∵∠AOB+∠DOF＝∠CFE+∠DFO＝180°，
∴∠DFO＝∠DOF，
∴DF＝DO＝5．
故答案为：5．
14．1或9
解：∵四边形是矩形，
∴
①当点E在上时，连接，如图，
∵，
∴
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
由旋转得：，
∵，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，，
∴，
∴，
∴，
②当点在线段的延长线上时．如图，连接，
同理可得：，，，
设，则，，
∴，
∴，
∴，
综上所述：的长为或9．
15．8
解：如图，延长交于点E，过点C作于点H，于点G，则，

在中，∵，
∴，
∴，
∵，即，
∴，四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
在和中，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：8
16．19
解：设甲正方形的边长为a，乙正方形的边长为b，根据题意得
，，
由①，得，
由，得，
∴．
∵点H是的中点，
∴，
∴，
∴．
17．4
解：如图，
大正方形与小正方形的面积之差是8，
，
由图可知：
，
故答案为：4．
18．4
∵四边形是菱形，
∴，．
设运动时间为t，则．
∴四边形是菱形．
∴当时，四边形是正方形．
∵是边长为4 cm的等边三角形，
∴．
∴．
故答案为：4．
三、解答题
19．解：（1）一张长方形纸片对折两次后，剪下一个角，是菱形，而出现的四边形的两条对角线分别是两组对角的平分线，
所以当剪口线与折痕成角，菱形就变成了正方形．
故答案为：45；
（2）证明：在正方形和正方形中，
，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）由（2）可知，，
∴，
∴，
∵2024个边长为1的全等正方形重叠在一起，
∴正方形重叠阴影部分的面积为：
20．（1）解：平行四边形， 理由：
∵将四边形纸片沿两组对边中点连线剪切为四部分，将这四部分镶嵌可得到如图②所示的四边形，
∴，，
∴四边形是平行四边形；
（2）对角线时，密铺后的平行四边形为矩形．
理由：根据密铺后的平行四边形成为矩形，必须四个内角均为直角．
如图所示，

连接、、、，设与交于点O，
连接、，
由中位线定理得：，且，
，且，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴，
∴中点四边形为菱形，
∴，
故要镶嵌后的平行四边形为矩形，
则四边形需要满足的条件为．
21．（1）解：∵矩形，
∴OA∥BC，OC∥AB，OA=BC，OC=AB，
∵、，
∴B(3，5) ．
（2）∵过点C的直线CD交AB边于点D，且把矩形OABC的周长分为1：3两部分，
OC=AB>BD，OA=BC，
则一定有：，
解得BD=1，
∴AD=AB -BD=5-1=4，
即D点的坐标为（3，4），
设直线CD的关系式为y=kx+b，且经过（0，5）和（3，4）得，
解之得
即直线CD的关系式为：．
22．（1）证明：由折叠可知，、、、，
，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，
矩形是正方形；
（2）解：由（1）知，四边形是正方形，
、，
，
设，则，
由折叠的性质知，、，
，
在中，，
，
解得：，
．
23．证明：四边形是平行四边形，
，
．
又，
．
在和中，，
，
．
∴四边形是平行四边形．
∵过点作对角线的垂线分别交于点，
，
∴四边形是菱形．
24．（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∵，
∴，
∵，
∴四边形，
∵，
∴，
∴平行四边形是矩形；
（2）解：由（1）可知，四边形是矩形，
∴，即，
∵，，
∴，
∴平行四边形的面积．
25．（1）解：四边形为矩形，
证明：四边形为菱形，
∴O是中点，
∴，
由旋转知，
∴四边形为矩形；
（2）解：连接，延长交于G，如图①，
∵四边形为菱形，AC=4，
∴，，
∴，
在中， ， ，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵四边形为矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：连接，如图②，
∵四边形为正方形，
∴，
∵过中点，
∴平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
由（1）知四边形为矩形，
∴，
∴，
又∵，，
∴．
26．（1）解：∵四边形为矩形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴矩形为正方形；
（2）解：①过点D作于点M，如图所示：
∵四边形为正方形，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
根据解析（1）可知：，
∴，
∴，
∴，
同理得：，
在中，根据勾股定理得：
，
∴，
在中，根据勾股定理得：；
②过点C作于点N，如图所示：
则，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
在中，根据勾股定理得：，
即与之间的距离为．
27．（1）解：∵，，
∴ ABC是等边三角形，
∵，
∴，
∴平行四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：如图，过点A作，垂足为H，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，即，
∵为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
（3）解：连接，
∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，即，
∵，
∴， ABC是等边三角形，
∴，，
∴四边形是菱形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即当点在线段上时，的值最小，
如图，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
28．（1）证明：∵四边形是平行四边形
∴，，
在 ABC和中，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴平行四边形是矩形；
（2）证明：．
理由如下：如图，连接，
∵E是的中点，
∴，
∵沿折叠后得到，
∴，，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∵在和中，
∵，
∴，
∴；
（3）证明：（2）中的结论仍然成立．
理由如下：如图，连接，
∵E是的中点，
∴，
∵将沿折叠后得到，
∴，，
∴，
∴；
∵四边形为平行四边形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
即（2）中的结论仍然成立．
（4）解：在平行四边形中，，
由（2）可知，
∵点是的中点，
∴，
由折叠的性质，则，
∴，
∵，
∴，
∴矩形的面积为：
；

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