资源简介

第五章《特殊平行四边形》单元综合测试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列图片中，能观察到菱形的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列性质中，矩形不一定具有的性质是（ ）
A．四边相等 B．对角线互相平分 C．对角线相等 D．对角相等
3．若一个正方形的边长是方程的一个根，则该正方形的周长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
4．下列说法正确的是（ ）．
A．有一组邻边相等的四边形是菱形 B．有一个角是直角的平行四边形是正方形
C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．对角线互相垂直的四边形一定是菱形
5．如图，在菱形中，，的垂直平分线交对角线于点，垂足为，连接，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在矩形中，对角线与相交于点，则的长为（ ）
A．4 B．8 C． D．
7．如图，在矩形中，O是对角线的中点，E，F分别是，上的点，且．若，，则的长为（ ）
A． B．2 C． D．
8．如图，两个全等的等腰和等腰有公共斜边，且四边形的面积为36，为等边三角形，点在四边形内，在上有一点，使的和最小，则这个最小值为（ ）

A．5 B．6 C．7 D．8
9．如图，点是正方形的中心（对角线的交点），以点为直角顶点作，的两直角边，分别交，于点，，若正方形的边长为8，则重叠部分四边形的面积为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．16
10．如图①，在正方形中，点是的中点，点是对角线上一动点，设，，图②是关于的函数图象，且图象上最低点的坐标为，则正方形的边长为（ ）
A． B． C． D．4
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．如图，要使是菱形，需添加的条件是 ．
12．如图，菱形的对角线、相交于点O，，垂足为E，，，则的长为 ．
13．如图，点为长方形纸片的边上一点，将长方形纸片分别沿，折叠，使点，分别与点，重合，点，，恰好在同一条直线上．若，则的度数为 ．
14．将矩形纸片按如图所示折叠，已知，，．则蚂蚁从点处到达点处需要走的最短路程是 ．
15．如图，在矩形ABCD中，，，点P从点A向点D以1cm/s的速度运动，点Q以3cm/s的速度从点C出发，在B，C两点之间做往返运动．两点同时出发，点P到达点D停止运动（同时点Q也停止运动）．这段时间内，当运动时间为 时，以P，Q，C，D四点为顶点可以组成矩形．
16．如图，正方形的边长为2，点F为边上一点，连接，交于点M，且，平分，交于点G，P是线段上的一个动点，过点P作，垂足为N，连接．有下列四个结论：①；②；③；④的最小值为．其中正确的有 （填写正确结论的序号）．
三、解答题（共8小题，共72分）
17．（8分）如图，矩形的对角线相交于点O， AOB的周长为9，，求的长．
18．（8分）如图，在正方形中，点E在延长线上，点F在延长线上，连接，且．求证：．
19．（8分）如图，在四边形中，，，E为的中点，连接，，求证：四边形为菱形．
20．（8分）如图，菱形的对角线、相交于点，过点作，且，连接、，交于点．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，求的长．
21．（8分）【观察猜想】我们知道，正方形的四条边都相等，四个角都为直角．
（1）如图1，在正方形中，点分别在边上，连接，并延长到点G，使，连接．若，则之间的数量关系为________；
【类比探究】（2）如图2，当点分别在线段的延长线上，且时，试探究之间的数量关系，并说明理由．
22．（10分）定义：若一个四边形的两条对角线互相垂直，则称这个四边形为“垂美四边形”．
(1)如图1，四边形是“垂美四边形”，则根据勾股定理
＝ ＋ ；＝ ＋ ；
＝ ＋ ；＝ ＋ ；
所以，用等式表示、、、之间的数量关系是 ；
(2)如图2，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接、、，分别交、于点，．
①与的位置关系是 ，给出证明；
②若，，则线段的长是 ．
23．（10分）如图，矩形中，．

(1)点E是边上一点，将沿直线翻折，得到．
①如图1，当平分时，求的长；
②如图2，连接，当时，求的面积；
(2)点E为射线上一动点，将矩形沿直线进行翻折，点C的对应点为，当点E，，D三点共线时，求的长．
24．（12分）对于平面直角坐标系中的点P和图形W，给出如下 定义：若图形W上存在点M和点Q，使得，且，则称点P为图形W的“等直点”．
(1)如图1，点A的坐标为，点B的坐标为，
①点， 是线段的“等直点”；
②若直线上存在线段的“等直点”，求k的取值范围；
(2)如图2，边长为2的正方形的对角线交于O点，其各边与坐标轴平行．记线段的“等直点”、线段的“等直点”、线段的“等直点”、线段的“等直点”所构成的图形为G．若直线上的所有图形G上的点所组成的线段长度为a，则直接写出a的取值范围是 ．
参考答案
一、选择题
1．B
解：选项A中四边形不是平行四边形，
选项B中，四边形的四边相等，能观察到菱形，符合题意；
选项C中是矩形，
选项D中没有四边都相等的四边形．
故选：B．
2．A
解：根据矩形的性质可知，矩形的对边相等，对角线相等而且互相平分、四个角等于，但矩形的邻边不一定相等，
故A符合题意，B不符合题意，C不符合题意，D不符合题意，
故选：A．
3．D
解：∵可因式分解为，
∴或．
∵正方形的边长必须为正数，
∴取．
∴周长为．
故选：D．
4．C
解：选项，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，但有一组邻边相等的四边形不一定为菱形，所以不符合题意；
选项，有一个角是直角的平行四边形是矩形，但不一定是正方形，所以不符合题意；
选项，对角线相等的平行四边形是矩形，符合题意；
选项，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，但对角线互相垂直的四边形不一定为菱形，所以不符合题意．
故选：．
5．B
解：∵四边形是菱形，，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选B．
6．B
解：∵四边形是矩形，
∴．
故选：B．
7．A
解：设的中点分别为，连接，
在矩形中，O是对角线的中点，
为的中位线，即，
，，
又，
，
又为中点，，
，
，
同理可得，
，
．
故选：A．
8．B
解： 连接，

∵两个全等的等腰和等腰有公共斜边，
∴， ，
∴四边形为正方形，
∵正方形的面积为，
∴正方形的边长为，
∵为等边三角形，
∴，
∵四边形为正方形，
∴与关于对称，
∴，
∴，
∴有最小值为，
故选： B．
9．D
解：过点E分别作，，如图所示：
∵四边形是正方形，正方形的边长为8，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形，
∵点E是正方形的中心，
∴，
∴四边形是正方形，
∴，
∴，
∵的两直角边分别交于点M，N，
∴
∴
∵，，
∴
∴
则重叠部分四边形的面积为，
∴，
即重叠部分四边形的面积为，
故选：D．
10．B
解：如图，点是点关于直线的对称点，连接交于点，
根据点的对称性，，则为最小，
故，
设正方形的边长为，则，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：（负值已舍去），
故选：B．
二、填空题
11．或
解：因为一组邻边相等的平行四边形是菱形，对角线互相垂直平分的四边形是菱形，
那么可添加的条件是：或．
故答案为∶ 或
12．
解：∵菱形的对角线、相交于点O，且，，
∴，
∴，
在中，由等积法得：，
∴，
故答案为：．
13．
解：由折叠的性质可得：，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：
14．10
解：如图，展开矩形，则，
∵矩形对边平行相等，
∴
∴．
故答案为：10．
15．3s或6s或9s
解：根据题意可知，当点P到达点D时，
点Q的运动轨迹为．
∵四边形ABCD是矩形，
∴，，
∴．
若，则四边形PQCD是矩形．
设运动时间为ts．由题意，得．
分三种情况讨论：
①当时，，
∴，
解得；
②当时，，
∴，
解得；
③当时，，
∴，
解得．
综上所述，当运动时间为3s或6s或9s时，以P，Q，C，D四点为顶点可以组成矩形．
16．①②③
解：∵正方形的边长为2，
∴，，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，则结论①正确；
∵在中，，
∴，
如图，过点作于点，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，则结论②正确；
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∵，平分，
∴，
∴，
∴，
在和 CDF中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，则结论③正确；
如图，连接，，
∵，平分，
∴垂直平分，
∴，
∴，
由两点之间线段最短可知，当点共线时，的值最小，最小值为，
由垂线段最短可知，当时，的值最小，即的值最小，
∴此时有，
∴，
∴的最小值为，则结论④错误；
综上，结论正确的有①②③，
故答案为：①②③．
三、解答题
17．解：∵四边形是矩形，且，
∴，，
∵ AOB的周长为9，
∴，
∴，
∴．
18．证明：∵正方形，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴．
19．证明：∵E为的中点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，E为的中点，
∴，
∴四边形是菱形．
20．（1）证明：四边形是菱形，
，
，
，
，
，
∴四边形是平行四边形，
又，
平行四边形是矩形；
（2）解：由（1）可知，，，
∴，
，
∴四边形是平行四边形，
，
∵四边形是矩形，
．
21．解：（1），
∵四边形为正方形，
，，
，
，
，，
∵四边形为正方形，
，
，
，
，
，
在和中，，
，
，
，
．
（2），理由如下：
如图2，在上截取，连接．
∵四边形为正方形，
，，
，
，
，，
∵四边形为正方形，
，
，
，
，
，
在和中，，
，
，
，
．
22．（1）解： ，
理由：∵，
∴，
由勾股定理得，
，，
∴，
，
；
故答案为：，，
（2）①，证明如下：
如图2，连接，
∵正方形和正方形，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
即，
∴四边形是垂美四边形，
②由①得，，
∵，，
∴，
∵，，
∴ ，
∴．
故答案为：
23．（1）解：①∵四边形是矩形，
∴，
∵将沿直线翻折，得到，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴
∴；
②如图所示，延长交的延长线于点G，

∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵将沿直线翻折，得到，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
即，
解得：，
∴，，
设中边上的高为h，则，
∴，
∴的面积；
（2）当点E、、D三点共线时，分两种情况：
①当E在的延长线上时，

∵四边形是矩形，
∴，
∴，
由折叠的性质得：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
②当E在线段上时，

由折叠的性质得：，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴；
综上所述，的长为或．
24．（1）解：①∵点A的坐标为，点B的坐标为，
∴，
如图，
对于，，
对于，，
∴，
∴，
∴和是线段的“等直点”；
而对于和线段上找不到任何两个点可以使和符合线段的“等直点”的条件，
故答案为：；；
②设点是线段的“等直点”，
如图，，点C坐标为，D坐标为，
根据“等直点”定义可知，点P的横坐标必须在A、B两点横坐标之间，点P到的最大距离为的长度，
∴点P在平面直角坐标系中的位置都在线段外围虚线所围的区域内，但不包含线段，
∴，
∴当直线经过点时，k取最大值，最大值为3，
当直线经过点时，k取最小值，最小值为，
∵，
∴k的取值范围为且；
（2）解：如图，根据（1）②得，所有正方形的“等直点”都在虚线封闭图形区域内，而直线上的所有正方形的“等直点”组成的线段，就是直线在虚线封闭图形内的线段部分，长度为a，
当直线经过点或时，a取得最小值，
此时；
当直线经过点、、、中任意一点时，a取得最大值，
此时，
∴a的取值范围为．
故答案为：

展开更多......

收起↑