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2025-2026学年七年级下学期期末模拟测试卷（北京专用）
数学
一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.
1．下列调查中，适合采用全面调查的是（　　）
A．了解某班同学的跳远成绩
B．了解夏季冷饮市场上冰激凌的质量情况
C．了解全国中学生的身高状况
D．了解某批次汽车的抗撞击能力
2．如图，在平面直角坐标系中有A，B，C，D四点，根据图中各点位置判断，哪一个点在第四象限（　　）
A．点A B．点B C．点C D．点D
3．已知点M在直线PQ外，要求过点M画直线PQ的平行线．某位同学先过点M画直线l交PQ于点N，并使得∠MNQ＝60°，然后他通过将含有30°角的三角板从点N处沿着直线l平移画出所要求作的直线．在点N处，他的三角板摆放方法正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．下列命题中是真命题的是（　　）
A．点P（﹣2，3）到x轴的距离是2
B．平方根等于本身的数有0和1
C．对顶角相等
D．两直线平行，同旁内角相等
5．如图，若AB∥CD，∠A＝80°，∠E＝36°，则∠C的度数为（　　）
A．36° B．44° C．50° D．54°
6．如图，要把直河道中的水引到灌溉站P处，规划四条渠道中最短的是（　　）
A．PA B．PB C．PC D．PD
7．实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（　　）
A．b﹣c＜0 B．b＞﹣2 C．a+c＞0 D．|b|＞|c|
8．现有如图①的小长方形纸片若干，如图②的图形若干，用3个如图②的图形和8个如图①的小长方形，拼成如图③的大长方形，若大长方形的宽为12，则图③中阴影部分面积与整个图形的面积之比为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（共16分，每题2分）
9．﹣的相反数是　 　．
10．平面直角坐标系第四象限内有一点P，它到x轴的距离为2，到y轴的距离为6，则点P的坐标为　 　．
11．设x为正整数，若，则x的值为　 　．
12．用一组a，b的值说明命题“若a＜b，则”是错误的，这组值可以是a＝　 　，b＝　 　．
13．已知是方程ax+by＝3的解，则代数式2a+4b﹣5的值为　 　．
14．某校组织开展消防安全知识竞赛活动，共25道题，答对一题得4分，不答或答错扣2分，如果得分不低于60分即可获奖，那么要想获奖至少应答对多少道题？设要获奖应答对x道题，根据题意，可列不等式为　 　．
15．如图是某商场1﹣4月份某种商品单个进价和售价的折线统计图，则单个商品盈利最小的是　 月份．
16．将两块完全相同且宽为10cm的长方体木块先按图①的方式放置，再按图②的方式放置，测得的数据如图所示（单位：cm），则桌子的高度h＝　 　cm．
三、解答题（共68分，第17-19题，每题5分，第20-21题，每题6分，第22-23题，每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）
17．计算：．
18．已知2a﹣1的平方根是±3，3a+b﹣1的算术平方根是4
（1）求a和b的值．
（2）求a+2b的平方根．
19．解方程组：．
20．某学校开展“浸书香校园，品诗词之美”读书活动．现有A，B两种诗词书籍整齐地叠放在桌子上，每本A书籍和每本B书籍厚度的比为5：6，根据图中所给出的数据信息，求每本A书籍的厚度．
21．解不等式组：．
22．如图，在△ABC中，点E在AC上，点F在BC上，点D、G在AB上，DF∥AC，且∠CDF+∠CEG＝180°．
（1）证明：EG∥CD；
（2）若EG⊥AB，DF平分∠BDC，求∠A的度数．
23．在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），若点Q的坐标为（ax+y，x+ay），则称点Q是点P的“a级关联点”（其中a为常数，且a≠0），例如，点P（1，4）的“2级关联点”为Q（2×1+4，1+2×4），即Q（6，9）．
（1）若点P的坐标为（﹣1，3），则它的“1级关联点”的坐标为　 　；
（2）若点P（x，﹣2）的“3级关联点”的坐标为（7，y），求x+y的值；
（3）若点Q是点P（m﹣2，3m）的“﹣2级关联点”，且点Q位于坐标轴上，求m的值．
24．如图，在平面直角坐标系xOy中，三角形ABC三个顶点的坐标分别是A（4，2），B（1，0），C（5，﹣3），三角形ABC中任意一点P（x0，y0），经平移后对应点为P'（x0﹣6，y0+2），将三角形ABC作同样的平移得到三角形A'B'C'，点A，B，C的对应点分别为A'，B'，C'．
（1）点A'的坐标为　 　，点B'的坐标为　 　；
（2）①画出三角形A'B'C'；
②写出三角形A'B'C'的面积；
（3）过点A'作A'D∥y轴，交B'C'于点D，则点D的坐标为　 　．
25．某大型超市购物结算有两种方式：
方式一：直接按照商品标价进行结算；
方式二：支付年费办理会员卡，一年内购物，部分商品按照标价打八折进行结算．
（1）小海去该超市购买了6盒牛奶和2盒“网红蛋糕”，按照标价共支付了310元；乐乐持有该超市的会员卡，他购买了同款的4盒牛奶和3盒蛋糕均可打折，共支付272元．问：每盒牛奶和蛋糕的标价分别是多少元？
（2）该超市有两种会员卡，一种是普通会员，年费260元；另一种是高级会员，年费680元．无论选择哪种会员，所有购物均可享受相同折扣．除此之外，高级会员还可额外获得年实际消费金额2%的返现，该返现可直接当作现金进行抵扣．小普同学家持有普通会员卡，去年在该超市的实际消费约为15000元，今年的购物预算将在去年实际消费的基础上增长20%，因此小普同学的家长今年打算把普通会员升级为高级会员，请通过计算判断这个决定是否划算．
26．某小区开展便民服务，设置了五种便民服务项目：家电维修（A）、快递代收（B）、文体活动（C）、健康义诊（D）、书籍借阅（E）．为了解小区居民对这五种便民服务项目的喜爱及需求情况，小区工作人员开展问卷调查，形成如下统计图（不完整）：
请根据调查报告，解答下列问题：
（1）本次抽样调查的人数共有　 　人，m＝　 　；
（2）根据调查结果补全条形统计图，并在对应条形图上方标记人数；
（3）若该小区共800名居民，所有居民都只选择一种便民服务项目，请通过计算估计该小区喜爱“文体活动”项目的居民有多少名？
27．为迎接校园文化艺术节，某中学举办了“青春绘梦，艺彩飞扬”绘画比赛，并购买A、B两种徽章作为奖品．已知购买2个A种徽章和3个B种徽章需156元；购买4个A种徽章和5个B种徽章需284元．
（1）每个A种徽章与每个B种徽章的价格分别为多少元？
（2）学校计划购进A、B两种徽章共60个，已知购进的A种徽章数不少于B种徽章数的2倍，且总费用不超过2000元，那么购进A种徽章的个数是多少？
28．已知直线AB∥CD，直线EF分别与AB、CD相交于E、F．
（1）如图1，PE、PF分别平分∠BEF和∠EFD，请直接写出∠EPF的度数；
（2）如图2，点G在射线EA上，点H在射线FD上，GP、FP分别平分∠BGH和∠EFH，若∠P＝50°，∠GQF＝70°，求∠EGH和∠EFH的度数；
（3）如图3，点G在线段EF上，点H是直线CD上的动点（不与F重合），FP、HP分别平分∠EFH和∠GHD，设∠EGH＝m°，请直接用含m的代数式表示∠FPH的度数．
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2025-2026学年七年级下学期期末模拟测试卷（北京专用）
数学
一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.
1．下列调查中，适合采用全面调查的是（　　）
A．了解某班同学的跳远成绩
B．了解夏季冷饮市场上冰激凌的质量情况
C．了解全国中学生的身高状况
D．了解某批次汽车的抗撞击能力
解：A、了解某班同学的跳远成绩，适合采用普查，故本选项符合题意；
B、了解夏季冷饮市场上冰激凌的质量情况，适合采用抽样调查，故本选项不符合题意；
C、了解全国中学生的身高状况，适合采用抽样调查，故本选项不符合题意；
D、了解某批次汽车的抗撞击能力，适合采用抽样调查，故本选项不符合题意．
答案：A．
2．如图，在平面直角坐标系中有A，B，C，D四点，根据图中各点位置判断，哪一个点在第四象限（　　）
A．点A B．点B C．点C D．点D
解：A、点A在第一象限，故此选项不符合题意；
B、点B在x轴上，故此选项不符合题意；
C、点C在第三象限，故此选项不符合题意；
D、点D在第四象限，故此选项符合题意．
答案：D．
3．已知点M在直线PQ外，要求过点M画直线PQ的平行线．某位同学先过点M画直线l交PQ于点N，并使得∠MNQ＝60°，然后他通过将含有30°角的三角板从点N处沿着直线l平移画出所要求作的直线．在点N处，他的三角板摆放方法正确的是（　　）
A． B．
C． D．
解：选项C中，三角板向上平移可得MT∥PQ，符合题意．
答案：C．
4．下列命题中是真命题的是（　　）
A．点P（﹣2，3）到x轴的距离是2
B．平方根等于本身的数有0和1
C．对顶角相等
D．两直线平行，同旁内角相等
解：P（﹣2，3）到x轴的距离为|3|＝3≠2，A不是真命题，不符合题意；
平方根等于本身的数只有0，B不是真命题，不符合题意；
对顶角相等是真命题，C是真命题，符合题意；
两直线平行，同旁内角互补而非相等，D不是真命题，不符合题意；
答案：C．
5．如图，若AB∥CD，∠A＝80°，∠E＝36°，则∠C的度数为（　　）
A．36° B．44° C．50° D．54°
解：如图：
∵AB∥CD．
∴∠DOE＝∠A＝80°，
∴∠C+∠E＝∠DOE＝80°，
∵∠E＝36°，
∴∠C＝∠DOE﹣∠E＝80°﹣36°＝44°．
答案：B．
6．如图，要把直河道中的水引到灌溉站P处，规划四条渠道中最短的是（　　）
A．PA B．PB C．PC D．PD
解：如图，要把直河道中的水引到灌溉站P处，规划四条渠道中最短的是PC，
答案：C．
7．实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（　　）
A．b﹣c＜0 B．b＞﹣2 C．a+c＞0 D．|b|＞|c|
解：∵c＜b，
∴b﹣c＞0，
∴选项A不符合题意；
∵b＞﹣2正确，
∴选项B符合题意；
∵c＜0＜a，|c|＞|a|，
∴a+c＜0，
∴选项C不符合题意；
∵|c|＞|b|，
∴选项D不符合题意．
答案：B．
8．现有如图①的小长方形纸片若干，如图②的图形若干，用3个如图②的图形和8个如图①的小长方形，拼成如图③的大长方形，若大长方形的宽为12，则图③中阴影部分面积与整个图形的面积之比为（　　）
A． B． C． D．
解：设小长方形的长为a，宽为b．
∵大长方形的宽为12cm，
∴a+3b＝12，
根据图③可得3b＝a，
组成方程组，
解得，
∵阴影面积为3（a﹣b）2，
整个图形的面积为：4a（a+3b），
∴阴影部分面积与整个图形的面积之比为＝＝，
答案：C．
二、填空题（共16分，每题2分）
9．﹣的相反数是　　．
解：﹣的相反数是，
答案：．
10．平面直角坐标系第四象限内有一点P，它到x轴的距离为2，到y轴的距离为6，则点P的坐标为　（6，﹣2）　．
解：设点P的坐标是（x，y），
∵点P到x轴的距离为2，到y轴的距离为6，
∴|y|＝2，|x|＝6，
∴x＝±6，y＝±2，
∵点P在第四象限，
∴x＞0，y＜0，
∴x＝6，y＝﹣2，
∴点P的坐标是（6，﹣2），
答案：（6，﹣2）．
11．设x为正整数，若，则x的值为　3　．
解：∵，
∴，
∵，x为正整数，
∴x＝3，
答案：3．
12．用一组a，b的值说明命题“若a＜b，则”是错误的，这组值可以是a＝　﹣1　，b＝　1　．
解：当a＝﹣1，b＝1时，满足a＜b，但＜．
答案：﹣1，1．
13．已知是方程ax+by＝3的解，则代数式2a+4b﹣5的值为　1　．
解：把代入ax+by＝3得：a+2b＝3，
则原式＝2（a+2b）﹣5
＝2×3﹣5
＝6﹣5
＝1．
答案：1．
14．某校组织开展消防安全知识竞赛活动，共25道题，答对一题得4分，不答或答错扣2分，如果得分不低于60分即可获奖，那么要想获奖至少应答对多少道题？设要获奖应答对x道题，根据题意，可列不等式为　4x﹣2（25﹣x）≥60　．
解：由题意可得，
4x﹣2（25﹣x）≥60，
答案：4x﹣2（25﹣x）≥60．
15．如图是某商场1﹣4月份某种商品单个进价和售价的折线统计图，则单个商品盈利最小的是　3　月份．
解：由图可知：
1月，利润是5﹣4＝1（元）；
2月，售价＞4，进价是2，此时利润大于2元；
3月，售价小于4，进价是3，此时利润小于1元；
4月，利润是3﹣2＝1（元）；
综上3月份的利润小于1元，最小，
答案：3．
16．将两块完全相同且宽为10cm的长方体木块先按图①的方式放置，再按图②的方式放置，测得的数据如图所示（单位：cm），则桌子的高度h＝　70　cm．
解：设长方体木块的长比高多xcm，
根据题意得：，
解得：，
∴桌子的高度h＝70cm．
答案：70．
三、解答题（共68分，第17-19题，每题5分，第20-21题，每题6分，第22-23题，每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）
17．计算：．
解：
＝﹣3+2+2﹣
＝1．
18．已知2a﹣1的平方根是±3，3a+b﹣1的算术平方根是4
（1）求a和b的值．
（2）求a+2b的平方根．
解：（1）根据题意可知，2a﹣1＝9，3a+b﹣1＝16，
解得：a＝5，b＝2；
（2）∵a＝5，b＝2，
∴a+2b＝5+2×2＝9，
∴a+2b的平方根为±3．
19．解方程组：．
解：解方程组：．
，
①×3+②，得22x＝242，
解得x＝11，
把x＝11代入②，得44﹣15y＝11，
解得，
所以方程组的解为．
20．某学校开展“浸书香校园，品诗词之美”读书活动．现有A，B两种诗词书籍整齐地叠放在桌子上，每本A书籍和每本B书籍厚度的比为5：6，根据图中所给出的数据信息，求每本A书籍的厚度．
解：设每本A书籍厚度为xcm，则每本B书籍的厚度为xcm，桌子高度为ycm，
由题意可得
解得
答：每本A书籍厚度为1cm．
21．解不等式组：．
解：，
解不等式①得，x＞2，
解不等式②得，x≤6，
∴原不等式组的解集为2＜x≤6．
22．如图，在△ABC中，点E在AC上，点F在BC上，点D、G在AB上，DF∥AC，且∠CDF+∠CEG＝180°．
（1）证明：EG∥CD；
（2）若EG⊥AB，DF平分∠BDC，求∠A的度数．
（1）证明：∵DF∥AC，
∴∠CDF＝∠ACD．
∵∠CDF+∠CEG＝180°，
∴∠ACD+∠CEG＝180°，
∴EG∥CD；
（2）解：∵EG⊥AB，
∴∠EGB＝90°．
∵EG∥CD，
∴∠CDB＝∠EGB＝90°．
∵DF平分∠BDC，
∴∠BDF＝∠CDB＝45°．
∵DF∥AC，
∴∠A＝∠BDF＝45°．
23．在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），若点Q的坐标为（ax+y，x+ay），则称点Q是点P的“a级关联点”（其中a为常数，且a≠0），例如，点P（1，4）的“2级关联点”为Q（2×1+4，1+2×4），即Q（6，9）．
（1）若点P的坐标为（﹣1，3），则它的“1级关联点”的坐标为　（2，2）　；
（2）若点P（x，﹣2）的“3级关联点”的坐标为（7，y），求x+y的值；
（3）若点Q是点P（m﹣2，3m）的“﹣2级关联点”，且点Q位于坐标轴上，求m的值．
解：（1）点P的“1级关联点”的坐标为（﹣1×1+3，﹣1+1×3），即（2，2）．
答案：（2，2）；
（2）∵点P（x，﹣2）的“3级关联点”的坐标为（7，y），
∴3x﹣2＝7，x+3×（﹣2）＝y，
解得：x＝3，y＝﹣3，
∴x+y＝0；
（3）∵点P（m﹣2，3m）的“﹣2级关联点”为Q，
﹣2（m﹣2）+3m＝m+4，m﹣2+（﹣2）×3m＝﹣5m﹣2，
∴Q（m+4，﹣5m﹣2），
①当点Q位于x轴上时，﹣5m﹣2＝0，
解得：；
②当点Q位于y轴上时，m+4＝0，
解得：m＝﹣4．
综上，m的值为或﹣4．
24．如图，在平面直角坐标系xOy中，三角形ABC三个顶点的坐标分别是A（4，2），B（1，0），C（5，﹣3），三角形ABC中任意一点P（x0，y0），经平移后对应点为P'（x0﹣6，y0+2），将三角形ABC作同样的平移得到三角形A'B'C'，点A，B，C的对应点分别为A'，B'，C'．
（1）点A'的坐标为　（﹣2，4）　，点B'的坐标为　（﹣5，2）　；
（2）①画出三角形A'B'C'；
②写出三角形A'B'C'的面积；
（3）过点A'作A'D∥y轴，交B'C'于点D，则点D的坐标为　（﹣2，﹣）　．
解：（1）∵三角形ABC中任意一点P（x0，y0），经平移后对应点为P'（x0﹣6，y0+2），
∴△ABC向左平移6个单位，向上平移2个单位，
∵三角形ABC三个顶点的坐标分别是A（4，2），B（1，0），C（5，﹣3），
∴点A'（﹣2，4），点B'（﹣5，2），点C'（﹣1，﹣1），
答案：（﹣2，4），（﹣5，2）；
（2）①如图所示：
②△A'B'C'的面积＝5×4﹣×3×2﹣×4×3﹣×5×1＝；
（3）∵S△A'B'C'＝×A'D×4＝，
∴A'D＝，
∵点A'（﹣2，4），
∴点D（﹣2，﹣），
答案：（﹣2，﹣）．
25．某大型超市购物结算有两种方式：
方式一：直接按照商品标价进行结算；
方式二：支付年费办理会员卡，一年内购物，部分商品按照标价打八折进行结算．
（1）小海去该超市购买了6盒牛奶和2盒“网红蛋糕”，按照标价共支付了310元；乐乐持有该超市的会员卡，他购买了同款的4盒牛奶和3盒蛋糕均可打折，共支付272元．问：每盒牛奶和蛋糕的标价分别是多少元？
（2）该超市有两种会员卡，一种是普通会员，年费260元；另一种是高级会员，年费680元．无论选择哪种会员，所有购物均可享受相同折扣．除此之外，高级会员还可额外获得年实际消费金额2%的返现，该返现可直接当作现金进行抵扣．小普同学家持有普通会员卡，去年在该超市的实际消费约为15000元，今年的购物预算将在去年实际消费的基础上增长20%，因此小普同学的家长今年打算把普通会员升级为高级会员，请通过计算判断这个决定是否划算．
解：（1）他购买了同款的4盒牛奶和3盒蛋糕均可打折，共支付272元．
设每盒牛奶标价x元，每盒蛋糕标价y元，
解得，
答：每盒牛奶标价25元，每盒蛋糕标价80元．
（2）今年的购物预算为15000×（1+20%）＝18000（元），
办理普通会员的实际花费为18000+260＝18260（元），
办理高级会员的实际花费为18000+680﹣18000×2%＝18000+680﹣360＝18320（元）
∵18260＜18320，
∴办理普通会员更划算，小普同学的家长今年打算把普通会员升级为高级会员，这个决定不划算．
26．某小区开展便民服务，设置了五种便民服务项目：家电维修（A）、快递代收（B）、文体活动（C）、健康义诊（D）、书籍借阅（E）．为了解小区居民对这五种便民服务项目的喜爱及需求情况，小区工作人员开展问卷调查，形成如下统计图（不完整）：
请根据调查报告，解答下列问题：
（1）本次抽样调查的人数共有　100　人，m＝　20　；
（2）根据调查结果补全条形统计图，并在对应条形图上方标记人数；
（3）若该小区共800名居民，所有居民都只选择一种便民服务项目，请通过计算估计该小区喜爱“文体活动”项目的居民有多少名？
解：（1）调查的总人数为28÷28%＝100（人），
所以m%＝＝20%，即m＝20，
答案：100，20；
（2）C选项的人数为100﹣4﹣20﹣28﹣8＝40（人），
补全条形统计图为：
（3）800×40%＝320（名），
答：估计该小区喜爱“文体活动”项目的居民有320名．
27．为迎接校园文化艺术节，某中学举办了“青春绘梦，艺彩飞扬”绘画比赛，并购买A、B两种徽章作为奖品．已知购买2个A种徽章和3个B种徽章需156元；购买4个A种徽章和5个B种徽章需284元．
（1）每个A种徽章与每个B种徽章的价格分别为多少元？
（2）学校计划购进A、B两种徽章共60个，已知购进的A种徽章数不少于B种徽章数的2倍，且总费用不超过2000元，那么购进A种徽章的个数是多少？
解：（1）设每个A种徽章的价格为x元，每个B种徽章的价格为y元，购买2个A种徽章和3个B种徽章需156元；购买4个A种徽章和5个B种徽章需284元．
由题意得：，
解得：，
答：每个A种徽章的价格为36元，每个B种徽章的价格为28元；
（2）设购进m个A种徽章，
由题意得：，
解得：，
∴m＝40，
答：购进A种徽章的个数是40个．
28．已知直线AB∥CD，直线EF分别与AB、CD相交于E、F．
（1）如图1，PE、PF分别平分∠BEF和∠EFD，请直接写出∠EPF的度数；
（2）如图2，点G在射线EA上，点H在射线FD上，GP、FP分别平分∠BGH和∠EFH，若∠P＝50°，∠GQF＝70°，求∠EGH和∠EFH的度数；
（3）如图3，点G在线段EF上，点H是直线CD上的动点（不与F重合），FP、HP分别平分∠EFH和∠GHD，设∠EGH＝m°，请直接用含m的代数式表示∠FPH的度数．
解：（1）∠EPF＝90°．
∵PE、PF分别平分∠BEF和∠EFD，
∴设∠BEP＝∠FEP＝x，∠EFP＝∠PFD＝y，
∵AB∥CD，
∴2x+2y＝180°，
∴x+y＝90°，
又∵x+y+∠EPF＝180°，
∴90°+∠EPF＝180°，
∴∠EPF＝90°．
（2）∵∠GQF＝∠P+∠PGQ＝70°，∠P＝50°，
∴∠PGQ＝70°﹣∠P＝20°，
∵GP平分∠BGH，
∴∠EGH＝2∠PGQ＝40°，
∵AB∥CD，
∴∠BGH＝∠QHF＝40°，
∵∠GQF＝∠QFH+∠QHF＝70°，
∴∠QFH＝70°﹣∠QHF＝30°，
∵FP平分∠EFH，
∴∠EFH＝2∠QFH＝60°．
（3）∠FPH的度数为或．
分以下两种情况：
当点H在点F的右边时，如图，
∵FP、HP分别平分∠EFH和∠GHD，
∴设∠EFP＝∠PFH＝x，∠GHP＝∠PHD＝y，∠GHF＝180°﹣∠GHD＝180°﹣2y，∠EGH＝∠GFH+∠GHF＝2x+180°﹣2y＝m0，
∵∠PHD＝∠P+∠PFH，
∴∠P＝∠PHD﹣∠PFH＝y﹣x＝90°﹣2m°；
当点H在点F的左边时，如图，
∵FP、HP分别平分∠EFH和∠GHD，
∴可设∠EFP＝∠PFH＝a，∠GHP＝∠PHF＝b，
∴∠GFH＝2a，∠GHF＝2b，
∴∠EGH＝∠GFH+∠GHF＝2a+2b＝m°，
∴，
∵∠P+∠PHF+∠PFH＝180°，
∴，
综上，∠FPH的度数为或．
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