资源简介

高一期末数学试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定
位置，在其他位置作答一律无效。
3．本卷满分 150 分，考试时间 120 分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。
1． 在复平面内， 1 i 对应的点在
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2． 已知平面向量 a (1， 3)，b (2， x) ，若 a∥b ，则 x =
A． 2 3 B． 2 3 C． 2 3 D． 2 3
3 3
3． 已知 l，m是两条直线， 是平面，若m ，则“ l m ”是“ l ”
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知 tan 2 ，则 tan 2
A． 4 B． 4 C． 2 D． 23 5 3 5
5． 在△ABC中，角 A，B，C的对边分别为 a，b，c．若 sin A：sin B：sinC 4：5：6 ，则 cosB
A． 9 B． 9 C． 3 D． 3
16 16 4 4

6． 在边长为 3 的正方形 ABCD中，DE 2EC，则 AB AE
A． 5 B． 5 C． 6 D． 9
7． 一组样本数据 x1 ，x2 ，x3 ， ，x8 的平均数为 x，标准差为 2．另一组样本数据 x1，
x2 ，x3 ， ，x8 ，x的平均数为 y，标准差为 s，则
A． x y，s 2 B． x y，s 2 C． x y，s 2 D． x y，s 2
数学试题 第 1 页（共 4页）
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8． 用半径为 2 的半圆形纸片卷成一个圆锥筒，则这个圆锥筒的体积为
A． 4π B． 3π C． 4π D． 3π
3 3
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
9. 在△ABC中，M为边 AB的中点，则

A． AB AC BC B．MA MC CA
1 1 1 C．CM CA 2 AB D．CM 2CA 2CB
10. 同时抛掷两枚均匀硬币，记“出现两个正面”为事件 A，“出现一正一反”为事件 B，
则
A． P(A) 1 B． P(B) 1
4 4
C． A与 B为互斥事件 D． A+B为必然事件
11．如图，在直四棱柱 ABCD A1B1C1D1 中， DAB 60 ， AA1 AB AD 2 ，M，N 分别
D1 C1
为棱 BB1 ，B1C1 的中点，则 N
A
A MN 1
B1
． ∥平面 ADD1A1
B．D1N BC M
D C
C．直线MN 与平面CC1D1D所成角的正弦值为
6
4
D．三棱柱 ABD A B D 的外接球的表面积为 7π A B1 1 1 3
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12．已知复数 z 1 3i，则 | z | ．
13．某学生 8 次素养测试的成绩统计如下：72，76，78，82，86，88，92，98，则该组数
据的第 80 百分位数为_________．
14．海上 A，B两个小岛相距 5 6 海里，从 A岛望 B岛和C岛所成的视角为 60 ，从 B岛望 A
岛和C岛所成的视角为 75 ，则 B，C两岛之间相距 海里.
数学试题 第 2 页（共 4页）
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四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. （13 分）
已知向量 a (1， 2)，b ( 3，2) ，求：
（1） | a 2b | ；
（2）向量 a b 与 a b 的夹角的余弦值．
16. （15 分）
已知 sin 3 ， 5 0，π .2
（1）求 sin 2 和 cos( π) 的值；
4
（2）若 0 π ， tan 1 ，求证： π .
2 7 4
17. （15 分）
某校知识竞赛分初赛、复赛两轮．某班从甲、乙两名学生中选拔一人参加学校知识竞赛
（初赛），抽取了两人 5 次模拟测试的成绩，统计结果如下表：
第 1 次 第 2 次 第 3 次 第 4 次 第 5 次
甲的成绩(分) 90 95 92 100 98
乙的成绩(分) 95 94 100 96 90
（1）试根据以上数据比较两名同学的平均水平和稳定性，并确定参加初赛的对象；
（2）初赛要求如下：参赛者从 5 道编号为“1、2、3、4、5”的试题中随机抽取 3 道作答，
已知该参赛者会这 5 道试题中的 3 道（编号为奇数的题目）．
（i）写出参赛者抽到的题号构成的样本空间 ；
（ii）规定抽取的 3 道题至少答对 2 题方可进入复赛，求参赛者能进入复赛的概率．
数学试题 第 3 页（共 4页）
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18. （17 分）
如图，在三棱锥 P ABC中， PA 平面 ABC .
（1）若 ACB 90 ，求证：平面 PBC 平面 PAC ；

（2）已知M 为 PB的中点， AE 2EM ， F 是棱 PC上的一点.
（i）若 EF∥平面 ABC，求 PF ；
FC
（ii）若 EF 平面 PAB，试判断△ABC的形状，并给出证明.
P
M
E
A F B
C
19. （17 分）
在△ABC中，内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c， 3b sin A a(1 cos B) ．
（1）求 B ；
（2）若 a 1， b 3 .
（i）试判断△ABC的形状，并说明理由；
ii M AC BM D ADC 2π（ ）设点 在边 上，连接 并延长至点 ，且 3 ．求△ACD面积
的最大值及此时点M 的位置．
数学试题 第 4 页（共 4页）
{#{QQABAYYAoggAAAJAARhCUQHgCgGYkhACCIgGgAAQIAIByBFABAA=}#}高一期末测试
数学参考答案与评分建议
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。
1 2 3 4 5 6 7 8
B D B A B C A D
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分。
9 10 11
BCD AC ABC
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12．2 13．92 14．15
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. （13分）
【解】（1）因为 a 2b (7， 6)， ……2分
所以 | a 2b | 72 ( 6)2 85 . ……4分
（2）因为 a b ( 2，0)， a b (4， 4)，
所以 | a b | 2， | a b | 4 2， ……8分
因为 (a b) (a b) 2 4 0 ( 4) 8 ， ……10分
设向量 a b 与 a b 的夹角为 ，
cos (a b) (a b)所以 8 2 . ……13分
| a b || a b | 2 4 2 2
16. （15分）
【解】（1）因为 sin 3， (0，π)，
5 2
因为 sin2 cos2 1，
所以 cos 1 sin 2 4 . ……3分
5
所以 sin 2 2sin cos 24 . ……5分
25
所以 cos( π) 2 cos 2 sin 2 7 7 2 . ……7分
4 2 2 2 5 10
数学试卷答案 第 1 页（共 5页）
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（2）由（1）知 tan sin 3， ……9分
cos 4
3 1
tan( ) tan tan

因为 4 7 1， ……13分
1 tan tan 1 3
28
因为 0 π，0 π ，所以 0 π， ……14分
2 2
所以 π . ……15分
4
17. （15分）
【解】（1）由题意可得，
x 90 95 92 100 98甲 95，5
x 95 94 100 96 90乙 95． ……2分5
s 2 1甲 [(90 95)
2 (95 95)2 (92 95)2 (100 95)2 (98 95)2] 68 ，
5 5
s 2 1 [(95 95)2 (94 95)2乙 (100 95)
2 (96 95)2 (90 95)2] 52 ……4分
5 5
所以 x 2 2甲 x乙 ， s甲 s乙 ，
所以甲、乙的平均分相同，但乙的成绩比甲稳定，
故选乙参加知识竞赛较合适． ……6分
（2）在 5道题中，参赛者会答的 3道题分别为 1，3，5，
另外 2道不会答的题分别为 2，4．
（i）参赛者从 5道题中抽 3道题的结果构成的样本空间为
{（1,2,3），（1,2,4），（1,2,5），（1,3,4），（1,3,5），（1,4,5），（2,3,4），
（2,3,5），（2,4,5），（3,4,5）}，共 10种． ……11分
（ii）记“参赛者进入复赛”为事件 A，
进入复赛，即至少答对 2道的情况有(1，2，3)，(1，2，5)， (1，3，4)，
(1，3，5)，(1，4，5)， (2，3，5)，(3，4，5)，共 7种． ……13分
7
所以参赛者进入复赛的概率为 P(A) 10 ．
数学试卷答案 第 2 页（共 5页）
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答：该参赛者进入复赛的概率为 7 ． ……15分
10
18. （17分）
18. （17分）
【解】（1）因为 PA 平面 ABC， BC 平面 ABC，
所以 BC PA， …… 2分
因为 ACB 90°，所以 BC AC， PA AC A，
所以 BC 平面 PAC .
因为 BC 平面 PBC ，所以平面 PBC 平面 PAC . …… 5分
（2）连接 PE 并延长交 AB于点 N，连接CN . …… 6分
（i）因为 EF∥平面 ABC， EF 平面 PCN ，平面 PCN 平面 ABC CN ，
P
所以 EF∥CN . …… 8分

因为 AE 2EM ，M 是 PB中点， ME
所以 E是△PAB的重心， N是 AB的中点，
A F N B
所以 PF PE 2 . …… 10分
FC EN
C
（ii）△ABC是等腰三角形，理由如下：
因为 EF 平面 PAB， EF 平面 PCN ，
所以平面 PCN 平面 PAB . …… 12分
因为 PA 平面 ABC， PA 平面 PAB，
所以平面 PAB 平面 ABC . …… 13分
法 1：在平面 PCN 内过C作CN1 PN ，
因为CN1 平面 PCN ，平面 PCN 平面 PAB，平面 PCN 平面 PAB PN ，
所以CN1 平面 PAB；
同理，过C作CN2 AB，可知CN2 平面 PAB . …… 14分
因为过平面 PAB外一点C有且只有一条直线与该平面垂直，
所以CN1，CN2 重合，由于 AB PN N ，
数学试卷答案 第 3 页（共 5页）
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所以 N1，N2 ，N 重合，
所以CN AB，
因为 N为 AB中点，故 AC BC ，即△ABC是等腰三角形. …… 17分
法 2：证明结论：设 ， ， 是平面，若 l， ， ，则 l .
因为 ，设 m，在 内作 l1 m，则 l1 ，
同理，可设 n， l2 ，l2 n，则 l2 ，
所以 l1∥l2 ，
因为 l2 ，l1 ，所以 l1∥ ，因为 l1 ， l ，所以 l1∥l .
所以 l .
因为平面 PCN 平面 ABC CN ，所以CN 平面 PAB，
因为 AB 平面 PAB，所以CN AB，
因为 N为 AB中点，故 AC BC ，即△ABC是等腰三角形.
19. （17分）
【解】（1）在△ABC a中，由正弦定理 sin A
b a sin Asin B ，得 b sin B ．
因为 3bsin A a(1 cosB)，
所以 3 sin B sin A sin A(1 cosB)． ……2分
因为 0 A π，所以 sin A 0，
所以 3 sin B 1 cosB，
3 sin B cosB 2sin(B π6) 1，
sin(B π) 16 2 ． ……3分
因为 0 B π，
π所以 6 B
π
6
5π
6 ，
B π π6 6 ，
数学试卷答案 第 4 页（共 5页）
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B π3 ． ……5分
（2 π）（i）在△ABC中， a 1， b 3，由（1）知 B 3 ．
在△ABC a b中，由正弦定理 sin A sin B ，
sin A a sin B 1得 b 2 ． ……7分
因为 a b，所以 A B ，
π
所以 A 6 ，C π A B
π
2 ，
所以△ABC是直角三角形. ……9分
（ii）在△ABC中，因为 c2 a2 b2 4，所以 c 2． ……10分
设 AD x，CD y．
在△ACD中，由余弦定理 AC 2 AD2 CD2 2AD CD cos ADC，
2π
得 3 x2 y2 2xy cos x23 y
2 xy． ……12分
因为 x2 y2 xy≥2xy xy 3xy，
所以 xy≤1，所以 S 1ACD xy sin
2π 3 xy 3≤ ，△ 2 3 4 4
当且仅当 x y 1时等号成立．
所以△ACD面积的最大值为 3． ……14分
4
在△ACD 2π π中，因为 AD 1，CD 1， ADC 3 ，所以 ACD 6 ．
在△BCD BCD 2π中，因为 ，CD BC 1 π3 ，所以 CBD 6 ．
在Rt△BCM 中，CM BCtan π 3 ，
6 3
所以点M 在 AC 边上靠近C的三等分点． ……17分
数学试卷答案 第 5 页（共 5页）
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