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江苏扬州市2025-2026学年高二第二学期期末调研数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.的值是( )
A. B. C. D.
2.下列函数中存在极值点的是( )
A. B. C. D.
3.若水池的排水量单位：与时间单位：满足函数关系式，则的实际意义是( )
A. 秒时水池的排水量 B. 秒内水池的排水总量
C. 秒时水池排水量的瞬时变化率 D. 秒内水池排水量的平均变化率
4.在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为( )
A. B. C. D.
5.如图，从甲地到乙地有条路，从乙地到丁地有条路，从甲地到丙地有条路，从丙地到丁地有条路，则从甲地到丁地不同的走法总数为( )
A. B. C. D.
6.在空间直角坐标系中，已知点，，，，则点到平面的距离为( )
A. B. C. D.
7.甲乙两个学习小组，甲小组中有名男生和名女生，乙小组中有名男生和名女生先从甲小组中随机抽出名学生转入乙小组，然后再从乙小组中随机抽出名学生，则从乙小组中抽出的学生是女生的概率为( )
A. B. C. D.
8.已知函数，若存在唯一整数，使得，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列选项中正确的有( )
A. 若随机变量，，则
B. 若随机变量的数学期望，则
C. 研究两个变量的相关性时，相关系数的绝对值越接近，两个变量的线性相关性越强
D. 进行独立性检验时，统计量的值越大，判断“两个分类变量相关”犯错误的概率越小
10.某班级数学课外活动小组中有男生人，女生人，则下列选项中正确的有( )
A. 从中选出人分别担任组长和副组长，共有种不同的安排方案
B. 从中选人参加语文、数学、英语知识竞赛，其中语文需要人，数学和英语各需要人，共有种不同的安排方案
C. 人排成一排，甲乙两人之间恰好间隔人，共有种不同的安排方案
D. 人排成一排，女生两两不相邻，且女生甲在排头或排尾，共有种不同的安排方案
11.如图，已知正方体的棱长为，点，，分别是棱，，的中点，点在四边形及其内部运动，则下列选项中正确的有( )
A. 存在点，使得
B. 存在点，使得
C. 若平面，则直线与所成的角可能为
D. 三棱锥的外接球半径的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在空间四边形中，，，，若，，则 用向量，，表示．
13.已知函数在上单调递增，则实数的最大值为 ．
14.从所有的四位正整数中随机取一个，记所取正整数的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，则：
；
结果用最简分数表示
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知．
求展开式中含项的系数；
求证：能被整除．
16.本小题分
为科学评估施肥对某品种农作物发育情况和产量的影响，某研学小组对劳动实践基地中随机抽取的株该品种农作物进行了观察，并进行数据分析．
将所抽取的农作物按是否施肥分为两类，并将其分为“发育正常”和“发育不正常”两类，整理得到下表：
施肥 不施肥 合计
发育正常
发育不正常
合计
请补全以上表格，判断能否有的把握认为“是否施肥”与“该品种农作物是否发育正常”有关，并说明理由．
对施肥的农作物进行观察，发现施肥超过某标准量后，产量反而会迅速下降．从施肥的该品种农作物中随机抽取株，记录它们的过量施肥量与产量，数据如下表：
农作物编号
过量施肥量
产量
经计算，，，，，求关于的线性回归方程．
附：，
对于一组数据，，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：
，．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，底面侧面，是正三角形，是的中点．

求证：平面；
若，且直线与平面所成角的正弦值为，
求的值；
求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．
18.本小题分
袋中共装有大小相同的个红球和个黑球，现连续从袋中随机取出小球，每次取个．
若每次取出小球后放回，连取次，记取出黑球的次数为，求的概率分布和方差；
若每次取出的小球不放回，
记前次取球中，取出黑球次数为的概率是，求取最大值时的值；
当取出所有黑球时，记取出的小球总个数是，求的数学期望．
19.本小题分
已知函数，．
若，求在点处的切线方程；
若在上存在唯一零点，
求的取值范围；
求证：．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：由二项式定理可知，在的展开式中，
第项为，
令，解得，
因此二项展开式中含的项系数为．
．
因为上式的每一项都能被整除，所以能够被整除．

16.【答案】解：补全列联表如下：
施肥 不施肥 合计
发育正常
发育不正常
合计
所以
所以有的把握认为“是否施肥”与“该品种农作物是否发育正常”有关．
已知，，，
所以，，
则，
所以关于的线性回归方程是．

17.【答案】解：为正方形，，
又平面平面，平面平面，平面，
平面，又平面，，
又在正中，为的中点，故，
又，平面，，平面．
取的中点，的中点，连接，，
由平面平面，平面平面，
，平面，可得平面，
又由为正方形，，分别为，的中点，可得，
分别以，，所在直线为轴，轴，轴，建立如图所示的坐标系，
则，，，，
由，得，
，
又平面的一个法向量为，
由，
解得或舍去，即有；
由，则，，
设面的法向量为，
则
可取，，，则，
由知，平面的一个法向量为，
设平面与平面所成锐二面角的大小为，
则，
所以平面与平面所成锐二面角大小的余弦值为．


18.【答案】解：由题意得，的取值集合是，
，，
，，
．
由题意得，
所以，
令，解得，
将，，，代入可得，
将，，代入可得，
综上，取最大值时，．
的取值集合是，
则，可得，
，
故．

19.【答案】解：，定义域为，
，
时，，，故切线方程为；
，，
当时，，函数在上单调递增，，
所以在上不存在零点，
当时，令，在上单调递增，
，使得，即，
所以时，，时，，
所以在上单调递减，上单调递增，
，，，
其中，所以，
所以当时，函数在上存在唯一零点，其中．
法一：为唯一零点，所以，
，
要证，即证，即证，
即证，即证，
因为，，
令，则，
所以在上单调递增，则，
即，又，所以，
由可知在单调递增，所以，得证．
法二：为唯一零点，所以，
，
要证，即证，即证，
即证，即证，
即证，
即证，
即证，
即证，
记，则，令，则，
所以在上单调递减，上单调递增，
所以，所以原命题得证．

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