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江苏宿迁市2025-2026学年高二下学期期末质量监测数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.的值为( )
A. B. C. D.
2.在的展开式中，的系数是( )
A. B. C. D.
3.某市高三理科学生有名，在一次调研测试中，数学成绩，且，若按分层抽样的方式取份试卷进行成绩分析，则应从分以上的试卷中抽取( )
A. 份 B. 份 C. 份 D. 份
4.下表提供了某厂进行技术改造后生产产品过程中记录的产量单位：与相应的生产能耗单位：标准煤的几组数据：
标准煤
根据散点图分析知与线性相关，且求得经验回归方程为，则( )
A. 与负相关 B.
C. 回归直线过点 D. 时的残差为
5.已知一个正三棱台的两个底面的边长分别为和，侧棱长为，则它的侧面积为( )
A. B. C. D.
6.已知，，为三条不同的直线，，，为三个不同的平面，则下列命题正确的是( )
A. 若，，则
B. 若，，则
C. 若，，，，则
D. 若，，，，则
7.已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是( )
A. B. C. D.
8.如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点出发，每次等可能地向左或向右移动一个单位，且每次移动是相互独立的，共移动次，则下列说法正确的是( )
A. 质点回到原点的概率为 B. 质点回到原点的概率为
C. 质点位于的位置的概率为 D. 质点位于的位置的概率为
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 独立性检验方法不适用于普查数据
B. 数据，，，，，，，，，的第百分位数是
C. 若散点图中所有的散点都落在一条直线上，则决定系数
D. 若事件，相互独立，则
10.一只不透明的口袋内装有个大小、质地均相同的小球，分别标有这个自然数个小球上标个数，从中依次不放回地抽取次，每次抽取个小球．“第一次抽取的小球标号为奇数”记为事件，“前两次抽取的小球标号之和为偶数”记为事件，则( )
A. B.
C. D.
11.已知正方体的棱长为，动点满足，其中，，，则下列说法正确的是( )
A. 若，，则
B. 若，，则平面
C. 平面与平面夹角的大小与，，都有关
D. 若，则点到平面的距离是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若随机变量的方差，则 ．
13.名同学到个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去个小区，每个小区至少安排名同学，则不同的安排方法共有 种．
14.已知球是棱长为的正方体的内切球，点为球表面上一动点，且满足平面，则的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设，的展开式中所有二项式系数之和为．
求的值及展开式中二项式系数最大的项；
求的值．
16.本小题分
如图，在直三棱柱中，，，点，分别为，的中点．

证明：平面；
求直线与平面所成角的正弦值．
17.本小题分
某高中研究小组为研究学生学习效果与主动预习的关系，从全市若干所高中学校的所有学生中随机抽取名学生进行调查．经统计，其中主动预习的有人，且这名学生近期考试成绩分数均在内的频率分布直方图如图所示，记总成绩不低于分的为优秀，其余为合格．
主动预习 不主动预习 合计
合格
优秀
合计
根据这名学生成绩频率分布直方图，估计全市学生成绩的众数和中位数；
请完成上面的列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为学生的成绩优秀与主动预习有关？
若将频率视作概率，从全市所有高中在校学生中随机抽取人进行调查，记人中主动预习的人数为，求的均值和方差．
附：，其中．
18.本小题分
如图，三棱锥中，底面，平面平面．
求证：；
若，且二面角的正弦值为．
求的长；
为平面内一点，且满足，求点到平面距离的最大值．
19.本小题分
某高中的足球社团组织甲、乙、丙三人进行传球游戏．传球规则如下：依据掷骰子的点数决定持球者将球传给谁．当足球在甲处时，若掷出骰子的点数大于，则传给乙，否则留在甲处也算一次传球；当足球在乙处时，若掷出骰子的点数大于，则传给甲，否则传给丙；当足球在丙处时，若掷出骰子的点数大于，则传给甲，否则传给乙．假设初始时足球在甲处，经过次掷骰子即次传球后，足球在甲处的概率为．
求，；
三次掷骰子过程中，记每次掷骰子后足球在甲处的次数总和为，求的分布列和数学期望；
次掷骰子过程中，记每次掷骰子后足球在甲处的次数总和为，求的数学期望．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：因为展开式中所有二项式系数之和为，即，所以，
故二项式系数最大的项为．
令，
所以，令，可得．
令，可得，
故．

16.【答案】解：解法：连接，，
因为在直三棱柱中，四边形为平行四边形，
所以为中点，又为的中点，所以．
因为平面，平面，所以平面．

解法：证明：取中点，连结，，由，分别是与的中点，
所以，
又因为平面，平面，
所以平面．
同理，平面．
又，平面，
所以面面．
而平面，所以平面．
以为正交基底，建立如图所示空间直角坐标系，

设，则．
则，，，，，，
所以，，．
设平面的一个法向量为，
则，．
即，令，则．
所以平面的一个法向量为．
设直线与平面所成角为，又，
则．
所以直线与平面所成角的正弦值为．

17.【答案】解：由频率分布直方图得，众数为；
，，
中位数为．
由频率分布直方图可知，抽取的名学生中成绩合格的有人，则成绩优秀的有人．
补全列联表如下：
主动预习 不主动预习 合计
合格
优秀
合计
提出假设：学生成绩优秀与主动预习无关．
因为，
所以依据小概率值的独立性检验，推断不成立．
即可以认为学生成绩优秀与主动预习有关．
由题意可知从全市所有在校学生中随机抽取人，其主动预习的概率为，
则．
所以，．

18.【答案】解：在面内，过作交于，
因为平面平面，平面平面，
平面，
所以平面．
平面，所以．
因为底面，底面，所以．
又，且平面，所以平面．
因为平面，所以．
解法：如图所示，在内过点作交于，连接，
由知，平面，又平面，所以．
又，平面，，所以平面．
又因为平面，所以．
故为二面角的平面角．
因为平面，平面，所以．
因为平面，平面，平面，所以，．
设，则在中，，中，，．
在中，，即．
解得，即
解法：以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，设，由可知，即．
设平面的一个法向量，
又，
所以，即，取，则，，
所以．
由题意得，平面的一个法向量
因为二面角的正弦值为，
所以二面角的余弦值的绝对值为．
所以．
即，将代入得，．
解得，．
当时，，此时，与重合，舍；
当时，，此时
解法：以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系，则，，，．
因为，为平面内一点，
所以在以为直径的圆上，则设．
设平面的一个法向量，
则，即，取，则．
所以．
到平面的距离为．
因为，所以到平面的距离最大值为．
解法：因为平面，所以为三棱锥的高，
由知，平面，平面，所以．
在直角三角形中，，，所以．
由知，
设到平面的距离为，
因为，所以，即．
又在平面内，且，所以在以为直径的圆上，
所以面积的最大值为．
故到平面的距离的最大值为．

19.【答案】解：由题意，当掷次骰子后，球在甲处，共有种情况：
，其概率为；，其概率为；
所以掷次后，球在甲处的概率为．
当掷次骰子后，球在甲处，共有种情况：
，其概率为；
，其概率为；
，其概率为；
，其概率为；
所以掷次后，球在甲处的概率为．
由题意知，，
，
，
，
，
所以随机变量的分布列为：
随机变量的数学期望为；
设掷次后，球在乙处的概率为，
所以当时，，
，
所以．
所以数列是以为首项，为公比的等比数列．
所以．
所以符合该式．所以．
设变量，那么，
．

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