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江苏盐城市2025-2026学年高二下学期期末考试数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.样本数据，，，，，，的众数为( )
A. B. C. D.
2.已知随机变量，则( )
A. B. C. D.
3.在中，，，为的中点，则( )
A. B. C. D.
4.名女生、名男生排成一排，则名女生不相邻的不同排法种数为
A. B. C. D.
5.已知，的取值如下表所示，从散点图分析可知与线性相关，如果经验回归方程为，则表格中数据的值为
A. B. C. D.
6.在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，点在抛物线上，若直线的倾斜角为，则点到直线的距离为( )
A. B. C. D.
7.已知随机事件，相互独立，，，则( )
A. B. C. D.
8.如图，计划建造一个半径为且圆心角不超过的扇形花园，再建造一个圆形花坛，使其与扇形的两条半径边以及圆弧边都相切，最后再建造一个圆形喷泉，使其与两条半径边相切，并且与花坛外切．要使喷泉的效果最好即圆形喷泉半径最大，则建造扇形花园圆心角的正弦值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知双曲线：的一个焦点为，则双曲线的( )
A. 焦距为 B. 实轴长为
C. 离心率为 D. 渐近线方程为
10.已知函数的导函数为，则下列说法正确的是
A.
B. 函数的极大值为
C.
D. 若存在唯一的整数，使得，则实数的取值范围为
11.三棱锥中，为等腰直角三角形，，为等边三角形，，记二面角的大小为，则( )
A.
B. 不存在，使三棱锥的体积为
C. 存在钝角，使得
D. 当，三棱锥的外接球表面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知随机变量，若，则 ．
13.若函数有三个零点，则实数的取值范围为 ．
14.若的展开式中的系数为，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，四棱锥中，底面为矩形，平面，，，点满足．
证明：直线平面；
求平面与平面夹角的余弦值．
16.本小题分
已知数列满足，且．
求证：为等比数列；
求数列的前项和．
17.本小题分
甲、乙两人进行象棋比赛，每局比赛的结果相互独立且没有平局．若每局比赛甲获胜的概率为记为结束时比赛的局数．
当时，比赛采用三局两胜制．
求甲最终获胜的概率；
求的分布列．
比赛有两种赛制供选择．
赛制一：比赛采取三局两胜制；
赛制二：比赛采取五局三胜制．
判断哪种赛制对甲最终获胜有利？请说明理由．
18.本小题分
已知椭圆：经过，且离心率为．
求椭圆的方程；
设斜率为的直线交椭圆于，两点．
若直线经过椭圆的右焦点，求的面积；
求的最小值．
19.本小题分
已知函数，．
求函数的单调区间；
证明：有且仅有两条直线与曲线，均相切；
若，恒有，求实数的取值范围．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
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6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：平面，平面，，
底面为矩形，，
又平面，
所以平面．
平面，平面，，
底面为矩形，，
以为原点，，，向量方向分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，
设平面的法向量为，
，取，则，，即，
平面的一个法向量为，
设平面与平面夹角为，
所以．

16.【答案】证明：，
，
数列为等比数列；
解：，
数列是首项、公比均为的等比数列，
，即，
．
17.【答案】解：甲最终获胜的概率为．
由题意得的取值为和，
当时，甲结束比赛或乙结束比赛，
则，
则，
所以的分布列为：
当时，五局三胜制对甲更有利；当时，两种赛制甲获胜概率相等；当时，三局两胜制对甲更有利，理由如下：
三局两胜制：
设甲在此赛制下获胜的概率为，甲获胜包含两种情况：或，
其中胜的概率为，胜的概率为，
即，
五局三胜制：
设甲在此赛制下获胜的概率为，甲获胜包含三种情况：，和，
其中胜的概率为，
胜的概率为，
胜的概率为，
则，
，
，
，
，
因为，且，
因此，当时，，则即，此时赛制五局三胜制对甲更有利，
当时，，则即，此时赛制三局两胜制对甲更有利，
当时，，即，此时两种赛制甲获胜概率相等．

18.【答案】解：因为椭圆：经过，所以，因为椭圆离心率为，
所以，因为，所以解得，所以椭圆：．
由题意可得，，因为直线的斜率为，所以直线：，所以联立
可得，化简可得，解得或，
所以，，故点到直线的距离为，
所以．
设直线：，设，，
所以联立，可得，
可得，由韦达定理可得
则，，
所以，
因为，，
所以，
即，
所以，
当时，取得最小值，即此时．

19.【答案】解：因的定义域为，则，
由可得，由可得，
即函数的单调递增区间为，单调递减区间为
证明：设与曲线，均相切的直线的切点依次为，
因，则曲线在处的切线方程为，即；
因，则曲线在处的切线方程为，即
依题意，与为同一条直线，则，消去，可得，
设，则，
由可得，由可得，
即函数在上单调递减，在上单调递增，则，
且，故方程在区间和上各有个实根，
也即有且仅有两条直线与曲线，均相切，得证；
依题意，，恒有，
设，则，
设，则，且，
当时，，因，则函数在上单调递增，
故，即在上恒成立，符合题意；
当时，，令，则记，
显然该函数在上单调递增，故，则，即函数在上单调递增，
则，故，即函数在上单调递增，则，
即在上恒成立，符合题意；
当时，因，
根据导数的连续性，必存在，当时，有，
即函数在上单调递减，则，即，
则函数在上单调递减，故，不合题意．
综上分析，可得实数的取值范围为．

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