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江苏南京师范大学附属中学、天一中学、海安高级中学、海门中学2025-2026学年高二下学期6月测试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，则( )
A. B. C. D.
2.若随机变量，且，则的值为( )
A. B. C. D.
3.已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，若，，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.若命题“，使得”是假命题，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
5.为研究空气相对湿度和土壤含水量之间的关系，某课题研究小组采集了组数据，绘制散点图如图所示，并对，进行线性回归分析．若在此图中加上点后，再次对，进行线性回归分析，则下列说法正确的是( )
A. ，不具有线性相关性 B. ，线性相关性变强
C. 相关系数变小 D. ，负相关
6.某校高二年级开设数学、物理、化学、生物四个竞赛课程，小李，小王，小陈三名同学，每人至少选一个课程，至多选两个课程，且每个课程恰有人选择，则不同的选择方法种数为( )
A. B. C. D.
7.某平台有的文章由生成，为识别文章，平台使用一款检测系统．该系统对生成文章的识别率为，但对人类撰写的文章会有的概率误判为生成．现从平台上随机抽取一篇文章，如果被该系统判定为生成，那么这篇文章实际是生成的概率为( )
A. B. C. D.
8.已知平行六面体的底面是边长为的正方形，，动点满足，，且平面，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设，，且，则( )
A. B. C. D.
10.已知，则( )
A.
B.
C.
D. 今天是星期二，天后是星期三
11.已知函数，，则下列选项正确的是( )
A.
B. 函数的最小值为
C. 若有且仅有一个实根，则
D. 若有三个实根，，，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.的展开式中，的系数为 ．
13.已知，，，则 ．
14.某同学进行一项摸球试验，已知袋中装有三个形状、大小均相同的小球，分别标有数字，，某同学从袋中有放回地依次随机摸出一球：若连续摸出三次奇数编号的球，则试验成功；连续摸出两次偶数编号的球，则试验失败．则该同学试验成功的概率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知集合，集合或．
若，，求实数的取值范围；
设，，若是的充分条件，求实数的取值范围．
16.本小题分
如图，在四棱锥中，，，，为棱的中点，平面．
求证：平面；
若二面角的大小为，求点到平面的距离．
17.本小题分
某社团调研男女同学课余运动偏好，统计数据如下列联表：
喜爱球类 喜爱慢跑 合计
男生
女生
合计
依据小概率值的独立性检验，判断是否认为运动偏好与性别有关；
从男生中按喜爱的运动分层抽样抽取人，再从这人中随机选人，设为人中喜爱球类与喜爱慢跑人数之差的绝对值，求的分布列与数学期望．
附：，其中．
18.本小题分
已知函数．
当时，求函数在处的切线方程；
若函数在单调递增，求的取值范围；
当且时，求证：．
19.本小题分
某工厂生产某种商品的成本为每件元，正常售价为每件元．该商品的市场需求量为随机变量单位：万件，当产量大于市场需求量时会造成商品积压，积压的商品必须降价处理，按每件元售出假设降价后所有积压商品均可售出根据一段时间的统计，得到该商品的市场需求量的频率分布表如下：
万件
频率
万件
频率
以该商品需求量的频率代替其概率．设计划产量为为正整数，万件时，该商品的总利润为随机变量单位：万元．
求；
当时，求的分布列用含的式子表示；
证明：，并求计划产量的值，使总利润的数学期望最大．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：若，则的所有元素都不在中，可得不等式组
解得，即的取值范围为；
若是的充分条件，则，即的所有元素都属于，
，此时，解得；
，此时，解得；
综上，的取值范围是或．

16.【答案】解：如图，连接，
因为，，
又为棱的中点，则，，
所以四边形为平行四边形，则，
又平面，平面，
所以平面．
因为平面，平面．平面，
所以，因为，，所以，
以为原点，为轴，为轴，为轴建立如图的空间直角坐标系，
则，，，，设，
所以，，，
设平面一个的法向量为，
则，取，
取平面的一个法向量为，
因为二面角的大小为，
所以，
所以到平面的距离等于．

17.【答案】解：提出零假设：运动偏好与性别无关．
，
所以有的把握认为运动偏好与性别有关．
按分层抽样名男生中喜爱球类有人，喜爱慢跑有人．
的可能取值为，，，，
，
，
，
，
所以的分布列为：
所以．

18.【答案】解：当时，，，
对求导得，则，
故函数在处的切线方程为．
因为在单调递增，则对恒成立，
即，
令，则在恒成立，
对求导：，
当时，，，故，同时，
因此，所以在上单调递增，
，
所以在上的取值恒大于其下确界，因此的取值范围是．
当且时，因，
则要证只需证，
当时，令，则，
因为对，都有，所以，
即在上单调递增，当时，，
所以在上单调递增，且，
则对所有，都有，即，所以，
同理，令，，令，
解得，当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以是的极小值点，也是上的最小值点，
即，所以，即，
所以，即当时，和，则，
所以只需证，即，
令，求导得：，设，则，
因此在上单调递增，又因为，，
所以存在唯一的，，
因此在上单调递减，在上单调递增，
在处取到最小值，
所以在上恒成立，因此，当时，不等式成立．

19.【答案】解：由题意得
．
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
则分布列为：
证明：生产了万件，市场需求万件．
当时，，
当时，，
，得证
当时，，，
当时，，，
则最大，故．

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