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江苏无锡市2025-2026学年高二下学期调研考试数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设全集，，，则( )
A. B. C. D.
2.某电商平台的消费者中，男性用户占，其对某商品的好评率为；女性用户占，其对该商品的好评率为若随机选择一名用户，则该用户对该商品给予好评的概率为
A. B. C. D.
3.设，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.袋子中有个大小质地均相同的球，其中个红球、个白球，依次不放回地取球，每次取个球则在第一次取得白球的条件下，第二次取得红球的概率为
A. B. C. D.
5.根据如下样本数据
可得到的回归方程为，则( )
A. ， B. C. D. ，
6.往一个圆锥形漏斗中匀速注水，水面半径与水面高度始终满足单位：，漏斗内水的体积当水面高度为时，体积关于高度的瞬时变化率为( )
A. B. C. D.
7.有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参加服务，则两天中恰有人连续参加两天服务的选择种数为( )
A. B. C. D.
8.设是两个随机事件，且，，，则下列说法不正确的是( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知正实数、满足，则( )
A. 的最大值为 B. 的最小值为
C. 的最小值为 D. 的最大值为
10.已知，则( )
A. B.
C. D.
11.已知函数，为的导数，则( )
A. 任意实数，一定存在极大值和极小值
B. 存在实数，使得在区间上单调递增
C. 任意实数，曲线一定存在与直线平行的切线
D. 存在实数，使得函数有唯一零点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知随机变量，若，，则实数 ．
13.曲线在点处的切线与直线垂直，则实数的值为 ．
14.有张相同的卡片，分别标有数字，，，，，，从中不放回地随机取次，每次取张卡片记为取出的三张卡片上数字为奇数的张数，则的数学期望 ；若记为前两次取出的卡片上数字的平均值，为第三次取出的卡片上的数字，则的概率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设关于的不等式解集为．
若，求实数的值；
若，且，求实数的取值范围．
16.本小题分
已知函数．
当时，求在区间上的最大值；
当时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．
17.本小题分
某工厂有甲、乙两个车间生产同一种产品，甲车间的产量占总产量的，乙车间的产量占总产量的现按车间采用分层抽样的方法从该厂生产的产品中抽取件进行检测，测得甲车间有件一等品，乙车间有件一等品，其余均为二等品．
完成下面列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为产品为一等品与生产车间有关；
车间
等级 甲车间 乙车间 合计
一等品
二等品
合计
若从上述件一等品中任选件，求其中至少有件是甲车间生产的概率；
现需进一步对该厂生产的一等品进行三个不同指标的检测，每次都从上述件一等品中任选一件检测，记为至少被检测一次的产品的件数，求．
附：，．
18.本小题分
年央视春晚的舞台上，多款智能机器人协同完成舞蹈、列队、翻转等高难度表演某实验室为了检测机器人在目标位置定位的稳定性，设置了以下测试程序：机器人从图中的号位置出发，每次右移格或左移格，共移动了次，其中每次右移的概率为，左移的概率为．
当，时，求机器人最终回到号位置的概率；
当，时，记机器人最终位于号位置，求的分布列；
当时，机器人最终位于号位置的概率为，求的最大值．
19.本小题分
已知函数．
当时，讨论函数的单调性；
当时，
(ⅰ)若，且互不相同的正实数和满足，求证：；
(ⅱ)若对任意，且，都有恒成立，求实数的取值范围．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】

15.【答案】解：不等式化简为，，
所以，
由可知，即，
则，解得．
实数的取值范围．

16.【答案】解：当时，，
求导得，令，得和，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
当时，，单调递减，故为极小值点，为极大值点，
计算极大值，端点值，，
故在区间上的最大值为．
当时，恒成立；
当时，不等式变形，由于，
可得，
令，由得，，设，
求导得，
令，得定义域内临界点舍去：
时，，单调递减；时，，单调递增，
因此在处取最小值，要使恒成立，得，
综上，实数的取值范围为．

17.【答案】根据分层抽样，甲车间抽取数量：件，乙车间抽取数量：件，
据此填写列联表：
等级车间 甲车间 乙车间 合计
一等品
二等品
合计
计算卡方统计量：，
因为对应的临界值，
因此依据的独立性检验，不能认为产品为一等品与生产车间有关
18.【答案】解：机器人最终回到号位置的情况为：向右次移动格，向左次移动格，
所以概率为．
的可能取值为：，，，．
，
，
，
．
所以的分布列为：
机器人最终位于号位置的情况为：向右次移动格，向左次移动格，
，，
令得，得，
在上单调递增，在上单调递减，
．
19.【答案】解：当时，，则，，
令，，
当，即时，有，即，故在上单调递增；
当，即或，
当时，，有，即，故在上单调递增；
当时，方程有两个不等的正根，，且，
当时，有，即，
所以在和上单调递增，
当时，，即，所以在上单调递减，
综上，当时，在上单调递增；
当时，在和上单调递增，
在上单调递减．
由，，得，
所以，
所以，由知在上单调递增；
若正实数满足，则，，
所以，得证．
由，且，令，则，
所以，即恒成立，
所以，，，
由知函数在上单调递增，故，
当时，有恒成立；
当时，，
令，，则，
若，则，即，故在上单调递增，
所以，满足题意；
若，令，，在上，
所以在上，故在上单调递减，
所以，不合题意；
综上，满足题意的实数的取值范围为．

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