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江苏苏州市2025-2026学年高二下学期期末考试数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.( )
A. B. C. D.
2.已知车轮旋转的角度单位：与时间单位：之间的函数关系为，则车轮开始转动后第时的瞬时角速度单位：为( )
A. B. C. D.
3.某班要从名女生和名男生中选择人参加学生代表大会，则选出的代表中女生人数不少于男生人数的选法种数为( )
A. B. C. D.
4.已知函数在上的最大值和最小值分别为，，则( )
A. ． B. ． C. ． D.
5.统计某超市连续年的广告支出费万元与销售额万元的数据如下：
广告支出费
销售额
得出经验回归方程为，则( )
A. 与呈负相关关系 B. 当时，一定有
C. D. 当时，残差为
6.在空间直角坐标系中，已知点，，，则点到平面的距离为( )
A. B. C. D.
7.小明常用人工智能大模型解决学习疑问．当小明输入的问题表达清晰时，的回复被采纳的概率为；当小明输入的问题表达不清晰时，的回复被采纳的概率为若小明输入的问题表达清晰的概率为，则的回复被采纳的概率为( )
A. B. C. D.
8.已知函数在上单调递增，则和的取值不可能是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知随机变量，，则下列说法正确的有( )
A. 若，则
B. 若，，则
C. 若，，则
D. 若，，则
10.如图，在平行六面体中，已知，，，分别为，的中点，则( )
A.
B.
C.
D. 与平面所成角的正弦值为
11.已知函数，则下列说法正确的有( )
A. 若，则存在极值点 B. 若是增函数，则
C. 曲线是中心对称图形 D. 存在，使得有三个不同的零点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数，，若曲线与在点处有相同的切线，则实数的值为 ．
13.在空间直角坐标系中，已知向量，，，若点在平面内，则实数的值为 ．
14.我国南宋数学家杨辉在年所著的详解九章算法一书里给出了著名的“杨辉三角”，它揭示了展开式的项数及各项系数的规律，这是我国数学史上的一个伟大成就．在如图所示的“杨辉三角”中，第行从左到右第个数是 ；记第行从左到右第个数为，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知的展开式中第项与第项的二项式系数之差为．
求；
求展开式中第项与第项的系数的比值；
求展开式中的常数项．
16.本小题分
江苏省城市足球联赛简称“苏超”正如火如荼开展，赛事凭借鲜明的本土地域特色广受省内市民喜爱．为调查某市市民购票前往现场观赛的意愿，某调研机构随机选取名市民开展问卷调查，统计数据如下：
愿意购票到场观赛 不愿购票到场观赛 合计
女性
男性
合计
依据小概率值的独立性检验，能否认为“愿意购票到场观赛”与性别有关联？
附：．
为鼓励市民到场观赛，先对“愿意购票到场观赛”的名被调查者按性别分层，用比例分配的分层随机抽样方法抽取人，再从这人中随机抽取人发放观赛补贴，补贴标准：女性每人元，男性每人元．求补贴金额的分布列与数学期望结果四舍五入精确到整数．
17.本小题分
如图，在直三棱柱中，已知，，，分别是线段，上的动点不含端点，．
求证：；
当三棱锥的体积取得最大值时，求平面与平面的夹角的余弦值．
18.本小题分
已知函数，
当时，求的单调区间；
当时，若存在极小值点，证明：；
若对任意，都有，求的取值范围．
19.本小题分
某科技公司为推广某款机器人产品，举办“人类机器人”挑战赛，规则如下：人类选派名挑战者参赛，每名挑战者仅与一台该款机器人进行一场比赛，共进行场比赛，每场比赛只有胜、败两种结果．所有场次比赛结束后，若人类总获胜场数多于机器人总获胜场数，则人类队获胜，否则机器人队获胜．已知单场比赛中挑战者战胜机器人的概率恒为，所有场次的比赛结果相互独立．
若，，记人类总获胜场数与机器人总获胜场数之差的绝对值为随机变量，求的分布列和数学期望；
若，记事件“在前场比赛中人类胜了场”，事件“人类队获胜”．
求，用含的式子表示，无需书写推导过程；
研究表明：随着的增大，人类队获胜的概率越来越小．请从数学角度证明上述观点．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：由二项式系数的定义，第项的二项式系数为，第项的二项式系数为，
根据题意得，即，化简得，
解得不符合正整数要求，舍去．
由得，二项式的展开式通项为：，
第项对应，系数为；第项对应，系数为，
由组合数性质，故展开式中第项与第项的系数比值为．
令展开式通项中的指数为，即，解得，
代入通项得常数项为：．

16.【答案】解：提出零假设：“愿意购票到场观赛”与性别无关联，
由列联表得：，
代入卡方公式，
小概率值 对应的临界值为，
因，故拒绝，
结论：依据 的独立性检验，能认为“愿意购票到场观赛”与性别有关联
分层抽样抽样比：，
抽取女性人数：，抽取男性人数：，
补贴金额 的可能取值：，
抽取人都是男性时，，
抽取男女时，
抽取人都是女性时，
所以的分布列
，
数学期望约为．

17.【答案】解：以为坐标原点，，，所在的直线分别为轴，轴、轴建立空间直角坐标系，
设，，
则，，，，
所以，，
又，所以．
结合设，，则，
由，
所以当时，三棱锥的体积取得最大值．
所以结合的空间直角坐标系有，，，，，
则，，，，
设平面的法向量为，则
令，则，，即，
设平面的法向量为，则
令，则，，即可得，
记平面与平面的夹角，
则有，
所以平面与平面的夹角的余弦值为．

18.【答案】解：当时，，
则，
令，解得，或，
当时，，，则，所以在上单调递减；
当时，，，则，所以在上单调递增；
当时，，，则，所以在上单调递减，
综上，在上单调递减；在上单调递增；在上单调递减．
由，
令，解得，或，
当时，，
当时，，，则，所以在上单调递减；
当时，，，则，所以在上单调递增；
当时，，，则，所以在上单调递减，
此时是的极小值点，而是的极大值点；
则，所以，得证；
当时，，，
当时，，，则，所以在上单调递减；
当时，，，则，所以在上单调递减，
此时无极值点，更无极小值点；
当时，，
当时，，，则，所以在上单调递减；
当时，，，则，所以在上单调递增；
当时，，，则，所以在上单调递减，
此时是的极小值点，而是的极大值点；
则，所以，得证．
综上，当时，若存在极小值点，必有，得证．
对任意，有，即，
当时，恒成立，此时的取值范围为，
当时，，
令，，则，
令，，则，
所以在上单调递增，且，
所以当时，，即，所以在上单调递减；
当时，，即，所以在上单调递增，
所以，即，
综上，当时，；当时，．
故对任意，都有时，的取值范围为．

19.【答案】解：时，比赛场次为场，的所有可能取值为，
，，
所以的分布列为：
；
总共比赛场，已比，还需再比场，
表示“在前场比赛中人类胜了场”，
人类要获胜，则要胜场数，即剩余两场均要胜利，
所以，
表示“在前场比赛中人类胜了场”，
人类要获胜，则要胜场数，即剩余两场至少胜一场，
所以；
设在场中人类至少胜场，
人类在场中获胜，需要最终胜场数至少为，
按前场的胜数分类：
若，则无论后两场结果如何，人类已获胜；
若，则后两场至少胜场，概率为，
若，则后两场必须全胜，概率为，
若，即使后两场全胜，人类不可能获胜，
所以，
又，
两式相减
，
又因为，
所以，
由于，所以，且，
故，即，
所以随着的增大，人类队获胜的概率越来越小．

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