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江苏镇江市2025-2026学年第二学期期末样卷高二数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.( )
A. B.
C. D.
2.已知随机变量服从正态分布，且，则 ．
A. B. C. D.
3.已知向量，，且与互相垂直，则实数( )
A. B. C. D.
4.已知某品牌的新能源汽车的使用年限单位：年与维护费用单位：千元之间有如下数据：
使用年限单位：年
维护费用单位：千元
与之间具有线性相关关系，且关于的经验回归方程为据此估计，当使用年限为年时，维护费用约为( )
A. B. C. D.
5.甲、乙、丙、丁、戊五个人排一队，甲、乙不相邻的概率为( )
A. B. C. D.
6.从某学校随机抽取名同学，将他们全部的身高单位：厘米数据绘制成频率分布直方图如图若该校有名学生，则身高在内的学生估计有( )
A. 名 B. 名 C. 名 D. 名
7.端午节吃粽子是中国传统节日的重要习俗，粽子古称“角黍”某学校食堂早餐有豆沙粽子和蛋黄粽子出售，张同学第天早餐随机选择一类粽子购买，如果第天买的是豆沙粽子，则第天买豆沙粽子的概率为；如果第天买的是蛋黄粽子，则第天买豆沙粽子的概率为则张同学第天买豆沙粽子的概率为( )
A. B. C. D.
8.化简( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设随机事件，满足，，，则下列结论正确的是( )
A. 事件与为对立事件 B.
C. 事件与相互独立 D.
10.已知一组数：，，，，，则下列说法中正确的是( )
A. 这组数的最大数为 B. 这组数的中位数为
C. 这组数的上四分位数为 D. 这组数的平均数为
11.正方体的棱长为，点满足，则( )
A. 当，时，点恰为中点
B. 当，时，三棱锥的体积为定值
C. 当时，的最小值为
D. 当时，则点平面
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.抛掷一枚质地均匀的骰子次，恰好出现两次点数为的概率为 ．
13.正四面体的棱长为，为底面的中心，则 ．
14.一个质点从原点出发，每隔一秒就随机、等可能地向上、下、左、右移动一个单位，共移动次质点位于点的位置的概率为 ；若第秒位于的情况下，该质点共经过两次的位置的概率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
某市推行“垃圾分类”试点改革，为了解不同小区的执行效果，从，两个试点小区中随机抽取户居民进行调查，统计一周内的垃圾分类情况，数据如下：
分类达标 分类不达标 总计
小区
小区
总计
根据以上数据，能否有的把握认为、两小区的垃圾分类达标的情况存在差异？
附：．
现从所有不达标的居民中，按照分层抽样的方法随机抽取户进行回访调研，再从这户中随机选出户了解情况，求选出的户居民恰好不都来自同一个小区的概率．
16.本小题分
如图，在四面体中，，，，，点，分别为，的中点．
求线段的长；
若，，求证：，，，四点共面．
17.本小题分
在二项式的展开式中，第项与第项的系数比为．
求的值及展开式中的常数项；
求展开式中系数最大的项．
18.本小题分
已知四棱锥的底面是菱形，，交于点，底面，点为棱上的点在空间坐标系中，点，，，．
求点坐标；
求直线与平面所成的角；
求平面与平面的夹角的余弦值．
19.本小题分
盒子里放着三张卡片，一张卡片两面都是红色，一张卡片两面都是黑色，剩下的一张卡片一面是红色一面是黑色．
现随机抽出一张卡片，并展示它的一面的颜色假设这一面的颜色是红色，求另一面的颜色也是红色的概率；
现每次取出卡片后观察其两面的颜色，若两面都是红色，放回原卡片，且再往盒子中放入一张大小材质相同的两面红色卡片；若两面都是黑色，放回原卡片，且再往盒子中放入一张大小材质相同的两面黑色卡片；若一面是红色一面是黑色，仅将原卡片放回，不再另放卡片．
求第次摸出卡片是两面红色卡片的概率；
记次后摸出两面红色卡片的次数为，求的概率分布列及期望．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：由列联表得样本容量，
代入卡方公式：．
已知，
因此有的把握认为、两小区的垃圾分类达标情况存在差异．
不达标的居民共户，分层抽样的抽样比为，
因此抽取的户中：小区不达标户数为，小区不达标户数为．
从户中任选户的总基本事件数为；
事件“户恰好不都来自同一个小区”包含两类情况：
户来自小区户来自小区、户来自小区户来自小区，
包含的基本事件数为．
所以所求概率．

16.【答案】解：设，且，分别为，的中点．
所以．
则
，
所以．
由题意知，，
因为，所以，
所以，，
，
不妨设，
即，解得即，
根据共面向量定理，共面，即四点共面．

17.【答案】解：二项展开式的通项为，其中．
第项对应，系数为；第项对应，系数为．
由题意得，化简得，即，解得．
令，解得，故常数项为．
设展开式中第项的系数最大，对应系数为，则需满足
即
化简第一个不等式得，解得；
化简第二个不等式得，解得．
由且，得，对应系数最大的项为．

18.【答案】解：因底面，且均在平面上，所以面即为平面．
又因为，所以平行于轴且在平面上，
故点的横、纵坐标与点相同，竖坐标为，所以．
如图，作出符合题意的图形，
直线的方向向量可取，已知，，，
所以，，设平面的法向量为，
则，解得，，取得．
设直线与平面所成角为，且，，
则，因为，故．
因此直线与平面所成的角为．
平面，，，
设平面的法向量为，则
即，令，得，，即．
由的分析知，平面的法向量为，
设平面与平面的夹角为，
则．
因此平面与平面的夹角的余弦值为．

19.【答案】解：设抽出的一张展示一面是红色为事件，抽出的卡片两面全是红色为事件，如果展示的一面是红色，且这张卡片是两面全是红色的那张为事件，
由题意可知：，，
所以；
设第次摸出卡片是两面红色卡片为事件，第次摸出卡片是两面黑色卡片为事件，
第次摸出卡片是一面红色一面黑色为事件，
由题意可知，，
则；
由题意可得随机变量的可能取值为，
，
，
，
所以随机变量的分布列为：
所以．

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