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山东枣庄市部分校2025-2026学年高二第二学期教学质量检测
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若随机变量服从正态分布，且，则( )
A. B. C. D.
2.由若干根相同的木棍组成如图所示的长方体框架，一只蚂蚁从点出发，沿木棍爬行到点的最短路径有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
3.已知线性相关的两个变量，的取值如表所示，如果其线性回归方程为，那么当时的残差为( )
A. B. C. D.
4.已知离散型随机变量的分布列如下，若，则( )
A. B. C. D.
5.已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.某地区举办演唱会时，举办方为防止观众私自携带灯牌等应援物品，使用了安检门进行辅助检测依照以往数据，任一观众私自携带应援物品的概率为，若观众确实携带，安检门亮灯提示的概率为若观众没有携带，安检门依旧有的概率因误检其他物品而亮灯提示若某观众通过安检门时被亮灯提示，则该观众确
实私自携带应援物品的概率为( )
A. B. C. D.
7.已知，，，则，，的大小关系是( )
A. B. C. D.
8.已知函数和的定义域均为，为偶函数，且对任意，都有恒成立，，则不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题中，正确的命题为( )
A. 已知随机变量服从二项分布，若，，则
B. 将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差可能会变
C. 设随机变量服从正态分布，若，则
D. 对于回归分析，相关系数的绝对值越大，说明拟合效果越好
10.现有个编号为，，，的盒子和个编号为，，，的小球，要求把个小球全部放进盒子中，则下列结论正确的有( )
A. 没有空盒子的方法共有种
B. 可以有空盒子的方法共有种
C. 恰有个盒子不放球的方法共有种
D. 没有空盒子且恰有一个小球放入自己编号的盒子的方法有种
11.甲乙丙三人相互做传球训练，第次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，记次传球后球在乙手中的概率为，下列说法中正确的是( )
A. B. 第次传球后球在乙手中有种传法
C. 数列为等比数列 D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若，则的展开式中含项的系数为 ．
13.某人工智能博览会有个不同的场馆，，，，甲、乙两人各自从中随机选择个去参观，记这个场馆中被参观的场馆个数为，则的数学期望为 ．
14.已知，对任意，都有成立，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
年“元旦档”，某连锁购物中心在年月日隆重开业，该购物中心随机调查统计了连续天的客流量单位：百人，如下表：
日期 月日 月日 月日 月日 月日 月日 月日 月日
日期代码
客流量
由表中数据，知可用线性回归模型拟合与之间的关系，请用相关系数加以说明；结果精确到
求关于的线性回归方程系数精确到，并用精确后的的值计算的值，并预测月日的客流量．预测结果精确到
参考公式：相关系数，线性回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为．
参考数据：，．
16.本小题分
已知函数．
若函数在处有极小值，求实数的值；
若，求函数在区间上的最值．
17.本小题分
在的展开式中，第项的二项式系数是第项的二项式系数的倍，求：
的值及展开式中的常数项；
展开式中含项的系数；
展开式中第几项系数绝对值最大，请说明理由．
18.本小题分
某学校组织了网络安全知识竞赛，有，两类问题，每位参加比赛的同学回答次，每次回答一个问题，若回答错误，则下一个问题从另一类中随机抽取一个回答；若回答正确，则继续从该类中随机抽取一个回答．类问题中的每个问题回答正确得分，否则得分；类问题中的每个问题回答正确得分，否则得分．已知小明能正确回答类问题的概率为，能正确回答类问题的概率为，且能正确回答问题的概率与回答次序无关．
若且小明先回答类问题，记为小明累计得分，求的分布列；
若小明先回答类问题，当为何值时累计得分的期望最大？
19.本小题分
已知函数．
讨论的单调性；
当时，存在不相等的、，满足，证明：；
对任意的，恒成立，求的取值范围．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：由题意，知，
所以相关系数．
因为与的相关系数，接近于，
所以与的线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合与之间的关系．
因为，
，所以关于的线性回归方程为．
又月日对应的日期代码，
当时，，所以预测月日的客流量约为百人．

16.【答案】解：由，得．
因为为的极小值点，所以，解得或．
当时，，
当时，，单调递增；当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
所以为的极小值点．
当时，，
当时，，单调递增；当时，，单调递减；
当时，，单调递增．所以为的极大值点．
所以当时，在处取极大值，不符合题意，
综上：实数的值为．
当时，，
令得或．
当时，，单调递增；当时，，单调递减．
所以为在区间上的极大值，也是最大值．
因为，，，所以最小值为．
综上，函数在区间上的最小值为，最大值为．

17.【答案】解：因为第项的二项式系数是第项的二项式系数的倍，
所以，解得，
的展开式通项为，
令，得，故常数项为；
由，令，得，
所以含项的系数为；
设第项的系数的绝对值最大，
则可得，得，因为为整数，所以，
故展开式中系数绝对值最大的项为第项．
18.【答案】解：由题可得，
且，，，，
所以的分布列为：
设累计得分为，则，
且，，，，
所以累计得分的期望为
，
因为，，
所以当时，累计得分的期望最大为．

19.【答案】解：的定义域为，．
当时，，此时在上单调递增．
当时，令，得．
当时，；当时，．
在单调递减，在单调递增．
综上，当时，在上单调递增；
当时，在单调递减，在单调递增．
当时，由可得，在上单调递减，在上单调递增．
不妨设，要证，即证，即证．
，即证．
令，
在上单调递增，，．
，，，证毕．
，．
分离参数可得：，对都成立，即求右侧函数最小值．
令，则．
令，则，
在上单调递增，又，，
故存在唯一的，使得，．
令，，在上单调递增，
，，．
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增．
，
．

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