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浙教版新版八上第一单元 新知超前
1.7 角平分线的性质（解析版）
1. 角平分线的定义与尺规作图
从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫作这个角的角平分线。
尺规作角平分线的方法：
① 以角的顶点为圆心，适当长为半径作弧，交角的两边于两点；
② 分别以这两点为圆心，大于两点距离一半的长为半径作弧，两弧交于角内一点；
③ 作射线，该射线即为角的平分线。
作图依据：由作法可证△ADF≌△ADE（SSS），得对应角相等。
2. 角平分线的性质定理
角平分线上的点到角两边的距离相等。
已知：AB∥CD，PB，PC 分别平分∠ABC，∠DCB，AD过点P，且与AB垂直。求证：PA=PD。
分析：由 AB∥CD，AD⊥AB，可得 AD⊥CD，则 PA，PD 的长分别是点P 到 AB，CD 的距离。根据角平分线的性质定理可知，它们与点 P 到BC 的距离相等。因此，可先作出点P到BC的垂线段。
注意："距离"指垂线段的长度，不是任意线段。
3. 角平分线性质的应用
① 利用角平分线性质将角平分线的条件转化为线段相等；
② 已知角平分线和一边的垂线段，可作另一边的垂线段构造等量关系；
③ 常用于求三角形面积、证明线段相等、求点到直线的距离等问题；
④ 到三角形三边距离相等的点是三条角平分线的交点（内心）。
4. 角平分线与综合图形
① 角平分线常与垂直平分线、全等三角形等知识联合考查；
② 在复杂图形中，角平分线往往是关键的隐含条件；
③ 利用角平分线的性质可以解决最小值问题（垂线段最短）；
④ 实际问题：快递站/休息点选址，使得到各边距离相等→找角平分线交点。
考点1、角平分线的定义与尺规作图
【解题思路】理解角平分线的定义和尺规作图步骤。作图依据：SSS证全等→对应角相等。
例1．观察如图作图痕迹，所作为的（ ）
A．高线 B．中线 C．角平分线 D．上的中垂线
【答案】C
【分析】本题考查了角平分线的画法，根据角平分线的画法即可判断求解，掌握角平分线的画法是解题的关键．
【详解】解：由作图可知，为的角平分线，
故选：．
变式1．已知，下列尺规作图的方法中，能确定的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查作图-基本作图，解题的关键是掌握垂直平分线，角平分线，垂线的尺规作图方法．观察各选项作图痕迹，根据垂直平分线、角平分线、垂线的性质，逐项判断即可．
【详解】解：A、图中是垂直平分线的作图，不能确定；
B、图中是垂直平分线的作图，可得，能确定；
C、图中是垂线或高线的作图，不能确定；
D、图中是角平分线的作图，不能确定．
故选：B．
变式2．如图，已知，以点为圆心，任意长度为半径画弧，分别交、于点、，再以点为圆心，的长为半径画弧，交前弧于点，画射线．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了基本作图知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
根据作图过程可得，即可得出结果．
【详解】解∶由作图过程可得，
∴
故选：B．
考点2、角平分线的性质定理
【解题思路】角平分线上的点到角两边的距离相等。关键："距离"必须是垂线段长度。
例2．如图，点在的平分线上，且点到边的距离等于2，点是边上的任意一点，则的长不可能是（ ）
A．1.5 B．2 C．2.5 D．3
【答案】A
【分析】本题主要考查了角平分线的性质以及垂线段最短，根据角平分线上的点到两边的距离相等，以及垂线段最短即可进行解答．
【详解】解：在的角平分线上，点到边的距离为，
点到边的距离为，
的最小值为，即，
∴的长不可能是．
故选：A．
变式1．到三角形三条边的距离都相等的点是（ ）
A．两条中线的交点 B．两条高的交点
C．两条角平线的交点 D．两条边的垂直平分线的交点
【答案】C
【分析】本题考查角平分线的性质，解题的关键是熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等．
根据角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等，解答即可．
【详解】解：∵角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴到三角形三条边的距离都相等的点是两条角平分线的交点．
故选：C
变式2．如图，在中，，平分，，的面积为，则的值为（ ）
A．6 B．10 C．12 D．15
【答案】C
【分析】本题考查角平分线的性质定理，过D作于E，根据角平分线的性质定理得到，然后利用三角形的面积公式求解即可．
【详解】解：过D作于E，
∵平分，，，
∴，
∵的面积为，
∴，
解得，
故选：C．
考点3、角平分线性质的应用
【解题思路】利用性质转化等量关系求面积、距离、线段长。到三边距离相等的点是内心。
例3．如图，在中，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，作射线交边于点，过点作于点，若，，则的面积为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【分析】本题考查了角平分线的尺规作图方法和角平分线的性质，掌握其性质和准确添加辅助线是解题的关键．
过点作于点F，根据角平分线的性质得出，即可求的面积．
【详解】解：如图，过点作于点，
由题意可知：平分，
∵，，
∴，
∴，
故选：B．
变式1．如图，在中，，平分交于点，，若是上的动点，则线段的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了垂线段最短，角平分线的性质，当时，线段的值最小，再根据角平分线的性质解答即可求解，掌握角平分线的性质是解题的关键．
【详解】解：如图，当时，线段的值最小，
∵，
∴，
又∵平分，，
∴，
∴线段的最小值为，
故选：．
变式2．如图，平分交于点，于点，若，，，则的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【分析】本题考查了角平分线的性质定理，掌握角平分线的性质得到是解题的关键．
过点作于点，由角平分线的性质可得，根据三角形的面积计算方法，由此即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作于点，
∵是的角平分线，，
∴，
∵，
∴，
故选：A ．
考点4、角平分线与综合图形
【解题思路】角平分线+垂直平分线+全等联合考查。实际问题中找角平分线交点。
例4．某旅游景区内有一块三角形绿地，现要在绿地内建一个休息点，使它到，，三边的距离相等，下列作法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查作图—基本作图、角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解答本题的关键．
由题意可知，点O为各个内角的平分线的交点，结合各选项图的作图痕迹可得答案．
【详解】解：∵点O到三边的距离相等，
∴点O是角平分线的交点，
由各选项的作图痕迹可知，D选项中，点O为和的平分线的交点，即D选项符合题意．
故选：D．
变式1．纵横交错的公路和铁路将A，B，C三个村庄连成一个如图所示的三角形区域.若建一个到三条道路的距离相等的物流仓储基地，则这个基地应该建在（ ）
A．的三条高线的交点 B．的三条中线的交点
C．的三条角平分线的交点 D．的三边垂直平分线的交点
【答案】C
【分析】本题主要考查角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，即可得到答案．
【详解】解：到三条道路的距离相等的物流仓储基地，
这个基地应该建在的三条角平分线的交点，
故选：C．
变式2．如图，在中，．用直尺和圆规在边上确定一点P，使点P到，的距离相等，则符合要求的作图痕迹是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】点P到点、的距离相等知点P在的角平分线上，据此可得答案．
【详解】解：∵点P到点、的距离相等，
∴点P在的角平分线上，
故选：B．
一、选择题
1．（2025·湖北武汉·一模）如图，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，再分别以点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，画射线交于点．若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【难度】0.85【分析】本题考查了尺规作角平分线，平行线的性质，掌握以上知识，数形结合分析是关键．
根据作图可得是角平分，由平行可得，在中有内角和定理即可求解．
【详解】解：根据题意可得是角平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：A ．
2．（24-25八年级上·贵州遵义·期中）在中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，分别以为圆心大于为半径画弧，两弧交于点，连接交于点，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查角平分线的作图，直角三角形两锐角互余，掌握相关定义是解题的关键．先根据三角形内角和定理求出的度数，再由是的平分线得出，根据直角三角形的性质可知．
【详解】解：在中，，，
．
由作图可知，是的角平分线，
，
∴．
故选：B．
3．（2024·天津·中考真题）如图，中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点；再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在的内部相交于点；画射线，与相交于点，则的大小为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查基本作图，直角三角形两锐角互余以及三角形外角的性质，由直角三角形两锐角互余可求出，由作图得，由三角形的外角的性质可得，故可得答案
【详解】解：∵，
∴，
由作图知，平分，
∴，
又
∴
故选：B
4．（22-23八年级上·陕西西安·开学考试）如图，在中，为的中点，平分，，与相交于点，若的面积比的面积大2，则的面积是（　　）
A．8 B．9 C．10 D．28
【答案】D
【分析】作于，于，根据角平分线的性质得到，根据三角形的面积公式得到，根据题意列式计算得到答案．
【详解】解：作于，于，
平分，，，
，
，
设的面积为，则，，
的面积比的面积大2，
的面积比的面积大2，
，
，
故选：D．
5．（24-25八年级上·山东济南·阶段检测）下列命题的逆命题是假命题的是（ ）
A．在角的内部，角平分线上的点到这个角两边的距离相等
B．等腰三角形的两底角相等
C．有两边相等的三角形是等腰三角形
D．两个全等三角形的面积相等
【答案】D
【分析】此题考查命题，正确的命题是真命题，错误的命题是假命题，正确确定每个命题的逆命题是解此题的关键．先确定每个命题的逆命题，再对每个选项依次判定即可解答．
【详解】解：A、逆命题为：到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上，是真命题，不符合题意.
B、逆命题为：两个角相等的三角形是等腰三角形，是真命题，不符合题意；
C、逆命题为：等腰三角形有两条边相等，是真命题，不符合题意；
D、.逆命题为：面积相等的两个三角形是全等三角形，是假命题，符合题意；
故选：D．
二、填空题
6．（23-24八年级上·内蒙古锡林郭勒·期中）如图，在中，，是的角平分线，于点E，，，则的面积是__________．
【答案】15
【分析】本题考查的是角平分线的性质，根据角平分线的性质求出，再根据三角形面积公式计算即可．
【详解】解：∵是的角平分线，，
∴，
∴，
故答案为：15．
三、解答题
7．（23-24八年级上·上海崇明·期末）如图所示，在中，平分，于，于，厘米，厘米．已知的面积为平方厘米，求的长度．
【答案】厘米
【分析】此题主要考查角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，以及三角形面积的求法．
由角平分线的性质可得，，又，据此求解．
【详解】解：平分，于，于，
，
，厘米，厘米，
，
解得
即的长度为3厘米．
8．（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）如图，在中，平分交AC于点于点，若，，求的周长．
【答案】10.5
【分析】本题考查角平分线的性质，解题的关键是利用角平分线的性质得出，进而将的周长进行转化计算．
根据角平分线的性质得到，然后将的周长转化为，再代入已知条件计算．
【详解】解：平分，
，
∴的周长，
，
的周长为．
答：的周长为10.5．
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浙教版新版八上第一单元 新知超前
1.7 角平分线的性质（原卷版）
1. 角平分线的定义与尺规作图
从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫作这个角的______。
尺规作角平分线的方法：
① 以角的顶点为圆心，适当长为半径作弧，交角的两边于两点；
② 分别以这两点为圆心，大于两点距离______的长为半径作弧，两弧交于角内一点；
③ 作射线，该射线即为角的平分线。
作图依据：由作法可证△ADF≌△ADE（______），得对应角相等。
2. 角平分线的性质定理
______。
已知：AB∥CD，PB，PC 分别平分∠ABC，∠DCB，AD过点P，且与AB垂直。求证：PA=PD。
分析：由 AB∥CD，AD⊥AB，可得 AD⊥CD，则 PA，PD 的长分别是点P 到 AB，CD 的距离。根据角平分线的性质定理可知，它们与点 P 到BC 的距离相等。因此，可先作出点P到BC的垂线段。
注意："距离"指______的长度，不是任意线段。
3. 角平分线性质的应用
① 利用角平分线性质将角平分线的条件转化为______；
② 已知角平分线和一边的垂线段，可作另一边的______构造等量关系；
③ 常用于求三角形面积、证明线段相等、求点到直线的距离等问题；
④ 到三角形三边距离相等的点是______（内心）。
4. 角平分线与综合图形
① 角平分线常与______、______等知识联合考查；
② 在复杂图形中，角平分线往往是关键的______；
③ 利用角平分线的性质可以解决______问题（垂线段最短）；
④ 实际问题：选址使得到各边距离相等→找______交点。
考点1、角平分线的定义与尺规作图
【解题思路】理解角平分线的定义和尺规作图步骤。作图依据：SSS证全等→对应角相等。
例1．观察如图作图痕迹，所作为的（ ）
A．高线 B．中线 C．角平分线 D．上的中垂线
变式1．已知，下列尺规作图的方法中，能确定的是（ ）
A． B．
C． D．
变式2．如图，已知，以点为圆心，任意长度为半径画弧，分别交、于点、，再以点为圆心，的长为半径画弧，交前弧于点，画射线．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
考点2、角平分线的性质定理
【解题思路】角平分线上的点到角两边的距离相等。关键："距离"必须是垂线段长度。
例2．如图，点在的平分线上，且点到边的距离等于2，点是边上的任意一点，则的长不可能是（ ）
A．1.5 B．2 C．2.5 D．3
变式1．到三角形三条边的距离都相等的点是（ ）
A．两条中线的交点 B．两条高的交点
C．两条角平线的交点 D．两条边的垂直平分线的交点
变式2．如图，在中，，平分，，的面积为，则的值为（ ）
A．6 B．10 C．12 D．15
考点3、角平分线性质的应用
【解题思路】利用性质转化等量关系求面积、距离、线段长。到三边距离相等的点是内心。
例3．如图，在中，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，作射线交边于点，过点作于点，若，，则的面积为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
变式1．如图，在中，，平分交于点，，若是上的动点，则线段的最小值是（ ）
A． B． C． D．
变式2．如图，平分交于点，于点，若，，，则的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
考点4、角平分线与综合图形
【解题思路】角平分线+垂直平分线+全等联合考查。实际问题中找角平分线交点。
例4．某旅游景区内有一块三角形绿地，现要在绿地内建一个休息点，使它到，，三边的距离相等，下列作法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
变式1．纵横交错的公路和铁路将A，B，C三个村庄连成一个如图所示的三角形区域.若建一个到三条道路的距离相等的物流仓储基地，则这个基地应该建在（ ）
A．的三条高线的交点 B．的三条中线的交点
C．的三条角平分线的交点 D．的三边垂直平分线的交点
变式2．如图，在中，．用直尺和圆规在边上确定一点P，使点P到，的距离相等，则符合要求的作图痕迹是（　　）
A．
B．
C．
D．
一、选择题
1．（2025·湖北武汉·一模）如图，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，再分别以点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，画射线交于点．若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25八年级上·贵州遵义·期中）在中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，分别以为圆心大于为半径画弧，两弧交于点，连接交于点，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
3．（2024·天津·中考真题）如图，中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点；再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在的内部相交于点；画射线，与相交于点，则的大小为（ ）

A． B． C． D．
4．（23-24八年级上·陕西西安·开学考试）如图，在中，为的中点，平分，，与相交于点，若的面积比的面积大2，则的面积是（　　）
A．8 B．9 C．10 D．28
5．（24-25八年级上·山东济南·阶段检测）下列命题的逆命题是假命题的是（ ）
A．在角的内部，角平分线上的点到这个角两边的距离相等
B．等腰三角形的两底角相等
C．有两边相等的三角形是等腰三角形
D．两个全等三角形的面积相等
二、填空题
6．44．（23-24八年级上·内蒙古锡林郭勒·期中）如图，在中，，是的角平分线，于点E，，，则的面积是__________．
三、解答题
7．（23-24八年级上·上海崇明·期末）如图所示，在中，平分，于，于，厘米，厘米．已知的面积为平方厘米，求的长度．
8．（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）如图，在中，平分交AC于点于点，若，，求的周长．
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