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浙教版新版八上第一单元 新知超前
三角形的初步知识——单元小结（原卷版）
一、三角形的边与角
1. ______：三角形任意两边之和______第三边，任意两边之差______第三边。
2. ______：三角形三个内角的和等于______。
3. ______：三角形的一个外角等于______，且______任何一个与它不相邻的内角。
4. 三角形按角分为______（三个锐角）、______（一个直角）、______（一个钝角）。
二、三角形的重要线段
1. ______：连接顶点与对边______，三条中线交于一点，称为______。
2. ______：三角形一个内角的平分线与______相交，顶点与交点之间的线段。
3. ______：从顶点向对边作______，顶点与垂足间的线段。锐角三角形三条高在______，直角三角形有两条高为______，钝角三角形有______高在三角形外部。
三、全等三角形的性质与判定
1. ______：能够______的两个三角形叫做全等三角形，记作______。
2. ______：全等三角形的______相等，______相等；对应线段（中线、角平分线、高线）也______。
3. ______：
①______——三边分别相等的两个三角形全等；
②______——两边及其______分别相等的两个三角形全等；
③______——两角及其______分别相等的两个三角形全等；
④______——两角及其中一角的______分别相等的两个三角形全等。
四、线段垂直平分线与角平分线的性质
1. ______：线段垂直平分线上的点到线段______的距离______。三角形三边垂直平分线的交点到______的距离相等。
2. ______：角平分线上的点到角______的距离______。三角形三条角平分线的交点到______的距离相等。
五、命题与证明
1. ______：由______和______两部分组成，可写成______的形式。
2. 正确的命题叫______，不正确的叫______——只需______即可说明是假命题。
3. ______：经过推理论证得到的______。______：不需要证明、公认的______。
4. ______：从______出发，依据______，经过一步步推理，最后得出结论的过程。书写格式：∵……，∴……。
考点一 三角形的边与角
例1．下列各组线段能构成三角形的是（ ）
A． B． C． D．
变式1．三条线段的长度分别为下列数值，可以组成一个三角形的是（ ）
A．1，2，3 B．2，3，6 C．，， D．3，3，7
变式2．如图，在中，，点在的延长线上，，则（ ）
A． B． C． D．
考点二 三角形的重要线段
例2．下列说法错误的是（）
A．三角形的重心是三条中线的交点
B．钝角三角形有两条高线在三角形外部
C．直角三角形只有一条高线
D．任意三角形都有三条高线、三条中线、三条角平分线
变式1．如图，中的边上的高是（ ）
A． B． C． D．
变式2．如图，在中，是角平分线，点E是的中点，则下列结论中错误的是（ ）
A． B．
C．是的中线 D．
考点三 全等三角形的性质与判定
例3．如图，点、、在同一直线上，若，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
变式1．如图，，B、C、D在同一直线上，且，，则长（ ）
A．12 B．14 C．16 D．18
变式2．使的条件是（　　）
A．，，
B．，，
C．，，
D．，，
考点四 线段垂直平分线与角平分线的性质
例4．如图，电信部门要在A，B，C三个村庄所围成的三角形地块里面修建一座电视信号发射塔，按照设计要求，发射塔到三个村庄的距离相等，则信号发射塔应建在△ABC的（ ）
A．三条中线的交点处 B．三条角平分线的交点处
C．三条高线的交点处 D．三条垂直平分线的交点处
变式1．某镇准备在两两相交的三条公路围成的三角形空地上建一个物流园，使其到三条公路的距离相等，请问物流园所建位置应是（ ）
A．三角形三条角平分线的交点 B．三角形三边垂直平分线的交点
C．三角形三条中线的交点 D．三角形三条高的交点
变式2．如图，已知直线l垂直平分，点C在直线l的左侧，且，，，P是直线l上的任意一点，则的最小值是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．9
考点五 命题与证明
例5．能说明命题“一个钝角与一个锐角的差一定是锐角”是假命题的反例是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
变式1．“和为钝角的两个角都是锐角”是_________（填写“真”或“假”）命题．
变式2．把命题“等角的余角相等”写成“如果…，那么…．”的形式为________．
一、选择题
1.（24-25七年级下·全国·随堂练习）下列结论错误的是（ ）
A．全等三角形对应角所对的边是对应边
B．全等三角形两组对应边所夹的角是对应角
C．全等三角形是一个特殊的三角形
D．经过平移，旋转，轴对称变换前后的两个三角形全等
2．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，把两个直角三角板叠放在一起，已知，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025八年级上·全国·专题练习）下列命题不正确的是（ ）
A．锐角三角形中，任意两个内角之和都大于
B．三角形中至少有两个内角是锐角
C．有一个角是锐角的三角形是锐角三角形
D．三角形中至少有一个角小于等于
4．（24-25八年级上·安徽宿州·期末）如图，缺了一个角，若，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25七年级下·山东济南·期中）如图，已知，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25八年级上·河北秦皇岛·期末）在中，小明的作图痕迹如图所示，他作出的两条线的交点为O，下列说法正确的是（ ）
A．点O是的重心 B．的垂直平分线一定不经过点0
C．点O到三边距离相等 D．点O到三个顶点距离相等
7．（25-26八年级上·山西朔州·阶段检测）如图，乡村公路是交通事故的易发生地段，而超速是引发这些事故的主要原因．在笔直的乡村道路上，相距的，两点的正上方分别安装了，两个测速摄像头，摄像头距离地面的高度相等，观测方向与竖直方向的夹角相同（即），汽车经过两个摄像头的测速点，的时间间隔为．若该段道路限速，则该汽车（ ）
A．超速 B．超速 C．超速 D．没有超速
8．（24-25八年级上·辽宁沈阳·阶段检测）根据下列已知条件，能画出唯一的的是（　　）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
9．（25-26八年级上·陕西渭南·阶段检测）如图，，若，，则的长为__________．
10．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知线段，在平面上满足与点和点的距离相等的点有_____个．
11．（23-24八年级上·全国·课后作业）中，若，则_________．
12．（22-23八年级上·辽宁鞍山·期中）如图，是的中线，已知的周长为，比长，则的周长为_____．
13．（24-25八年级上·山东青岛·阶段检测）在中，，是的高，是的角平分线，则______ ．
三、解答题
14．（2025·陕西·中考真题）如图，点是的边延长线上一点，，，．求证：．
15．（22-23八年级·全国·课堂例题）说出如图所示图形中和的度数：
16．（22-23八年级·全国·课堂例题）已知a，b，c分别为的三边长，且满足，，c为偶数，求的周长．
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浙教版新版八上第一单元 新知超前
三角形的初步知识——单元小结（解析版）
一、三角形的边与角
1. 三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
2. 内角和定理：三角形三个内角的和等于180°。
3. 外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，且大于任何一个与它不相邻的内角。
4. 三角形按角分为锐角三角形（三个锐角）、直角三角形（一个直角）、钝角三角形（一个钝角）。
二、三角形的重要线段
1. 中线：连接顶点与对边中点，三条中线交于一点，称为重心。
2. 角平分线：三角形一个内角的平分线与对边相交，顶点与交点之间的线段。
3. 高线：从顶点向对边作垂线，顶点与垂足间的线段。锐角三角形三条高在内部，直角三角形有两条高为直角边，钝角三角形有两条高在三角形外部。
三、全等三角形的性质与判定
1. 定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形，记作"≌"。
2. 性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等；对应线段（中线、角平分线、高线）也相等。
3. 判定方法：
①SSS——三边分别相等的两个三角形全等；
②SAS——两边及其夹角分别相等的两个三角形全等；
③ASA——两角及其夹边分别相等的两个三角形全等；
④AAS——两角及其中一角的对边分别相等的两个三角形全等。
四、线段垂直平分线与角平分线的性质
1. 线段垂直平分线性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。三角形三边垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等。
2. 角平分线性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。三角形三条角平分线的交点到三边的距离相等。
五、命题与证明
1. 命题：由条件和结论两部分组成，可写成"如果……那么……"的形式。
2. 正确的命题叫真命题，不正确的叫假命题——只需举出一个反例即可说明是假命题。
3. 定理：经过推理论证得到的真命题。基本事实：不需要证明、公认的真命题。
4. 证明：从已知出发，依据定义/基本事实/定理，经过一步步推理，最后得出结论的过程。书写格式：∵……，∴……。
考点一 三角形的边与角
例1．下列各组线段能构成三角形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查三角形的三边关系，三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数．
根据三角形的三边关系，逐一比较两条较小边的和与最大边的大小即可得答案．
【详解】解：A、，不能构成三角形，故本选项不符合题意；
B、，能构成三角形，故本选项符合题意；
C、，不能构成三角形，故本选项不符合题意；
D、，不能构成三角形，故本选项不符合题意；
故选：B．
变式1．三条线段的长度分别为下列数值，可以组成一个三角形的是（ ）
A．1，2，3 B．2，3，6 C．，， D．3，3，7
【答案】C
【分析】本题考查了三角形的三边关系，解题的关键是了解三角形的任意两边之和大于第三边，用三角形的三边关系进行判断即可．
【详解】A、，不能组成三角形，故选项不符合题意；
B、，不能组成三角形，故选项不符合题意；
C、，能组成三角形，故选项符合题意；
D、，不能组成三角形，故选项不符合题意，
故选：C．
变式2．如图，在中，，点在的延长线上，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查三角形外角的性质，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，即可求解．
【详解】解：由题意知，，
，
故选C．
考点二 三角形的重要线段
例2．下列说法错误的是（）
A．三角形的重心是三条中线的交点
B．钝角三角形有两条高线在三角形外部
C．直角三角形只有一条高线
D．任意三角形都有三条高线、三条中线、三条角平分线
【答案】C
【分析】本题考查三角形的重心、高线、中线、角平分线的基本概念，根据三角形各线段的定义判断各选项正误即可．
【详解】解：A．三角形的重心是三条中线的交点，正确；
B．钝角三角形有两条高线在三角形外部，正确；
C．直角三角形有三条高线（两条直角边上的高和斜边上的高），并非只有一条，错误；
D．任意三角形都有三条高线、三条中线、三条角平分线，正确；
故选：C．
变式1．如图，中的边上的高是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据三角形高的定义即可解答．
本题考查了三角形的角平分线、中线和高：过三角形的一个顶点引对边的垂线，这个点与垂足的连线段叫三角形的高．
【详解】解：中的边上的高是，
故选：A．
变式2．如图，在中，是角平分线，点E是的中点，则下列结论中错误的是（ ）
A． B．
C．是的中线 D．
【答案】C
【分析】本题考查三角形的角平分线和中线，根据角平分线和中线的定义，逐一进行判断即可．
【详解】解：在中，是角平分线，点E是的中点，
∴，，，是的中线，
故错误的是选项C；
故选C．
考点三 全等三角形的性质与判定
例2．如图，点、、在同一直线上，若，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应边相等．
由全等三角形的性质推出，，求出，即可得到的长．
【详解】解：，
，，
，
，
．
故选：C．
变式1．如图，，B、C、D在同一直线上，且，，则长（ ）
A．12 B．14 C．16 D．18
【答案】B
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，根据全等三角形对应边相等得到，则．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选：B．
变式2．使的条件是（　　）
A．，，
B．，，
C．，，
D．，，
【答案】D
【分析】根据全等三角形判定定理，依次判断，即可求解，本题考查了全等三角形的判定，解题的关键是：熟练掌握全等三角形判定定理．
【详解】解：、满足，不能判定，不符合题意；
、满足，不能判定，不符合题意；
、满足，不能判定，不符合题意；
、满足，能判定，符合题意，
故选：．
考点四 线段垂直平分线与角平分线的性质
例4．如图，电信部门要在A，B，C三个村庄所围成的三角形地块里面修建一座电视信号发射塔，按照设计要求，发射塔到三个村庄的距离相等，则信号发射塔应建在△ABC的（ ）
A．三条中线的交点处 B．三条角平分线的交点处
C．三条高线的交点处 D．三条垂直平分线的交点处
【答案】D
【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质，掌握垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等成为解题的关键．
由发射塔到三个村庄的距离相等，即其在三边的垂直平分线的交点上，据此即可解答．
【详解】解：A．三角形中线的交点为三角形的重心，到顶点的距离是到对边中点的2倍，不符合题意；
B．三角形角平分线的交点为三角形的内心，到各边距离相等，不符合题意；
C．三角形高的交点为垂心，不符合题意；
D．三角形三边垂直平分线的交点到三角形的各顶点距离相等，符合题意．
故选D．
变式1．某镇准备在两两相交的三条公路围成的三角形空地上建一个物流园，使其到三条公路的距离相等，请问物流园所建位置应是（ ）
A．三角形三条角平分线的交点 B．三角形三边垂直平分线的交点
C．三角形三条中线的交点 D．三角形三条高的交点
【答案】A
【分析】本题主要考查角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线的性质定理是解题的关键．根据“要建一个加油站，使它到三条公路的距离相等”可知物流园需建在三条公路所围成三角形的角平分线的交点上．
【详解】解：∵角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴物流园需建在三条公路所围成三角形的角平分线的交点上．
故选A．
变式2．如图，已知直线l垂直平分，点C在直线l的左侧，且，，，P是直线l上的任意一点，则的最小值是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．9
【答案】C
【分析】本题考查了最短路径，垂直平分线的性质，根据垂直平分线的性质得到，利用两点之间线段最短，找出最短距离为即可得到结果．
【详解】解：连接，
∵l垂直平分，
，
，
的最小值是，值为7，
故选：C．
考点五 命题与证明
例5．能说明命题“一个钝角与一个锐角的差一定是锐角”是假命题的反例是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【分析】本题考查反例的定义，熟练掌握反例的定义是解题的关键．
分别计算各选项中钝角与锐角的差，若差不是锐角，则为反例．
【详解】解：反例需满足命题条件但结论不成立，即钝角减锐角差非锐角，
选项A、，是锐角，不符合题意；
选项B、非钝角，不符合命题条件；
选项C、，是锐角，不符合题意；
选项D、，是钝角，非锐角，符合题意，
故选：D．
变式1．“和为钝角的两个角都是锐角”是_________（填写“真”或“假”）命题．
【答案】假
【分析】本题考查的是命题与定理，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
根据锐角、钝角的概念判断即可．
【详解】解：，即与的和是，而、都是钝角，
∴“和为钝角的两个角都是锐角”是假命题，
故答案为：假．
变式2．
把命题“等角的余角相等”写成“如果…，那么…．”的形式为________．
【答案】如果两个角是相等角的余角，那么这两个角相等．
【分析】先找出该命题的条件与结论，再将条件放在“如果”之后，结论放在“那么”之后即可完成改写．
【详解】解：命题“等角的余角相等”中，题设为两个角相等，结论为这两个角的余角相等，因此改写成“如果…，那么…”的形式为：如果两个角是相等角的余角，那么这两个角相等．
一、选择题
1.（24-25七年级下·全国·随堂练习）下列结论错误的是（ ）
A．全等三角形对应角所对的边是对应边
B．全等三角形两组对应边所夹的角是对应角
C．全等三角形是一个特殊的三角形
D．经过平移，旋转，轴对称变换前后的两个三角形全等
【答案】C
【分析】本题考查了全等三角形的定义以及性质，熟记相关结论即可求解．
【详解】解：全等三角形对应角所对的边是对应边，故A正确，不符合题意；
全等三角形两组对应边所夹的角是对应角，故B正确，不符合题意；
全等三角形是指三角形间的关系，不是一个特殊的三角形，故C错误，符合题意；
经过平移，旋转，轴对称变换前后的两个三角形全等，故D正确，不符合题意；
故选： C．
2.（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，把两个直角三角板叠放在一起，已知，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了三角形外角的性质及直角三角板的特殊性.
根据直角三角板的特殊性和三角形外角即可求出的度数.
【详解】解：根据直角三角板的特殊性，，
故选： D．
3.（2025八年级上·全国·专题练习）下列命题不正确的是（ ）
A．锐角三角形中，任意两个内角之和都大于
B．三角形中至少有两个内角是锐角
C．有一个角是锐角的三角形是锐角三角形
D．三角形中至少有一个角小于等于
【答案】C
【分析】本题考查了三角形的分类及定义，关键是确定锐角的个数及特殊角．
根据三角形的分类及定义，三角形分为锐角．直角和钝角三角形，三个角都是锐角的三角形是锐角三角形，有一个角是直角其余两角是锐角的三角形是直角三角形，有一个角是钝角其余两角是锐角的三角形是钝角三角形．
【详解】对于A，锐角三角形中，任意两个内角之和都大于，选项说法正确，不符合题意；
对于B，三角形中至少有两个角是锐角，选项说法正确，不符合题意；
对于C，由定义三个角都是锐角的三角形是锐角三角形，故C说法错误，符合题意；
对于D，三角形中至少有一个角小于等于，选项说法正确，不符合题意．
故选：C．
4.（24-25八年级上·安徽宿州·期末）如图，缺了一个角，若，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了三角形内角和定理，根据三角形内角和定理可得，由此即可求出答案．
【详解】解：，，，
，
故选：C．
5．（24-25七年级下·山东济南·期中）如图，已知，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了全等三角形对应角相等的性质，根据全等三角形对应角相等可得，进而可求出的度数．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴．
故选C．
6．（24-25八年级上·河北秦皇岛·期末）在中，小明的作图痕迹如图所示，他作出的两条线的交点为O，下列说法正确的是（ ）
A．点O是的重心 B．的垂直平分线一定不经过点0
C．点O到三边距离相等 D．点O到三个顶点距离相等
【答案】D
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，利用三线合一的性质可得为的平分线，又是底边上的高和中线，即可解答，熟知线段垂直平分线的性质是解题的关键．
【详解】解：如图，由题意可得为的平分线，为的垂直平分线，
，
，
为的垂直平分线，
交点O为三角形垂直平分线的交点，
点O到三个顶点距离相等，
故选：D．
7.（25-26八年级上·山西朔州·阶段检测）如图，乡村公路是交通事故的易发生地段，而超速是引发这些事故的主要原因．在笔直的乡村道路上，相距的，两点的正上方分别安装了，两个测速摄像头，摄像头距离地面的高度相等，观测方向与竖直方向的夹角相同（即），汽车经过两个摄像头的测速点，的时间间隔为．若该段道路限速，则该汽车（ ）
A．超速 B．超速 C．超速 D．没有超速
【答案】D
【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定方法，是解题的关键．先证明，得出，求出，再求出汽车的速度，然后进行比较即可．
【详解】解：根据题意得：，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴汽车的速度为，
，
∵，
∴该汽车没有超速．
故选：D．
8．（24-25七年级下·辽宁沈阳·阶段检测）根据下列已知条件，能画出唯一的的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】本题考查了全等三角形的判定方法，三角形三边关系应用；判定两个三角形全等的方法有、、、、，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．根据全等三角形的判定，三角形的三边关系一一判断即可．
【详解】解：A、∵，
不能画出，故本选项不符合题意；
B、已知三个角，不能画出唯一三角形，故本选项不符合题意；
C、已知两边及其中一边的对角，不能画出唯一三角形，故本选项不符合题意；
D、已知两角及其夹边，能画出唯一三角形，故本选项符合题意．
故选：D．
二、填空题
9．（25-26八年级上·陕西渭南·阶段检测）如图，，若，，则的长为__________．
【答案】
【分析】本题考查的是全等三角形的性质，根据全等三角形的性质可得．
【详解】解：∵，，
∴．
故答案为：
10．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知线段，在平面上满足与点和点的距离相等的点有_____个．
【答案】无数
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，掌握到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上是解题的关键．
到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，垂直平分线是直线，有无数个点．
【详解】解：根据线段垂直平分线的性质：到点距离相等的点，都在线段的垂直平分线上；
因为垂直平分线是一条直线，直线上有无数个点，所以满足条件的点有无数个．
故答案为：无数．
11．（23-24八年级上·全国·课后作业）中，若，则_________．
【答案】/60度
【分析】本题考查了三角形内角和定理，解题的关键是利用三角形内角和为这一性质建立等式求解．
根据三角形内角和定理得到，再结合已知条件，代入求解．
【详解】在中，，
又已知，
将代入到中，
可得，
即，
解得，
故答案为：．
12．（22-23八年级上·辽宁鞍山·期中）如图，是的中线，已知的周长为，比长，则的周长为_____．
【答案】/13厘米
【分析】本题考查的是三角形的中线的概念，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．根据三角形的中线的概念得到，再根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【详解】解：是的中线，
，
的周长为，
，
，
比长，
，
，
，
的周长，
故答案为：．
13．（24-25八年级上·山东青岛·阶段检测）在中，，是的高，是的角平分线，则______ ．
【答案】/15度
【分析】本题考查了三角形的内角和定理，直角三角形两锐角互余，角平分线的定义．根据已知条件用表示出和，利用三角形的内角和求出，再求出，然后根据直角三角形两锐角互余求出，最后根据角平分线的定义求出即可．
【详解】解：∵，
设，
∴，，
∵，
∴，
解得：，
∴，，
∵是的高，
∴，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∴．
故答案为：．
三、解答题
14．（2025·陕西·中考真题）如图，点是的边延长线上一点，，，．求证：．
【答案】
证明：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
先根据平行得到，再证明即可．
15．（22-23八年级·全国·课堂例题）说出如图所示图形中和的度数：
【答案】，
【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角性质，根据三角形内角和可求出的度数，根据三角形外角性质可求出的度数．
【详解】解：，
．
16．（22-23八年级·全国·课堂例题）已知a，b，c分别为的三边长，且满足，，c为偶数，求的周长．
【答案】12
【分析】此题考查三角形的三边关系，利用三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，建立不等式解决问题．根据三角形任意两边之和大于第三边得出，任意两边之差小于第三边得出，列不等式组并求得c的取值范围；结合限制性条件“c为偶数”求得c的值；最后由三角形周长公式解答．
【详解】解：由三角形三边关系，得，
解得．
∵c为偶数，
．
，
解得，
∴的周长为．
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